Fluss durch einen Zylindermantel
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- Josef Krause
- vor 9 Jahren
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1 Fluss durch einen Zylindermantel Der Fluss eines Vektorfeldes F = F ϱ e ϱ + F ϕ e ϕ + F z e z nach außen durch den Mantel eines Zylinders mit Randkurve ϱ = ϱ(ϕ) ist 2π z max z min F ϱ ϱ F ϕ ϕ ϱ dz dϕ. Fluss durch einen Zylindermantel 1-1
2 Fluss durch einen Zylindermantel Der Fluss eines Vektorfeldes F = F ϱ e ϱ + F ϕ e ϕ + F z e z nach außen durch den Mantel eines Zylinders mit Randkurve ϱ = ϱ(ϕ) ist 2π z max z min F ϱ ϱ F ϕ ϕ ϱ dz dϕ. Der Fluss des Vektorfeldes durch eine Rotationsfläche, die durch Drehung der Kurve ϱ = ϱ(z) um die z-achse entsteht, ist Fluss durch einen Zylindermantel 1-2
3 Fluss durch einen Zylindermantel Der Fluss eines Vektorfeldes F = F ϱ e ϱ + F ϕ e ϕ + F z e z nach außen durch den Mantel eines Zylinders mit Randkurve ϱ = ϱ(ϕ) ist 2π z max z min F ϱ ϱ F ϕ ϕ ϱ dz dϕ. Der Fluss des Vektorfeldes durch eine Rotationsfläche, die durch Drehung der Kurve ϱ = ϱ(z) um die z-achse entsteht, ist 2π z max z min F ϱ ϱ F z ϱ z ϱ dz dϕ. Fluss durch einen Zylindermantel 1-3
4 Der Fluss durch den Mantel eines Kreiszylinders mit ϱ = a ist demnach 2π a z max z min F ϱ dz dϕ, d.h. nur die axialsymmetrische Komponente des Feldes liefert einen Beitrag. Fluss durch einen Zylindermantel 1-4
5 Der Fluss durch den Mantel eines Kreiszylinders mit ϱ = a ist demnach 2π a z max z min F ϱ dz dϕ, d.h. nur die axialsymmetrische Komponente des Feldes liefert einen Beitrag. Insbesondere ist beim Kreiszylinder der Fluss für ein axialsymmetrisches Feld F = f (ϱ) e ϱ gleich 2πa(z max z min )f (a). Fluss durch einen Zylindermantel 1-5
6 Beweis: Darstellung des Vektorfeldes und Parametrisierung der Mantelfläche in Zylinderkoordinaten ϱ cos ϕ F = F ϱ e ϱ + F ϕ e ϕ + F z e z, S : r(ϕ, z) = ϱ sin ϕ z Fluss durch einen Zylindermantel 2-1
7 Beweis: Darstellung des Vektorfeldes und Parametrisierung der Mantelfläche in Zylinderkoordinaten ϱ cos ϕ F = F ϱ e ϱ + F ϕ e ϕ + F z e z, S : r(ϕ, z) = ϱ sin ϕ z (i) ϱ = ϱ(ϕ): Fluss durch einen Zylindermantel 2-2
8 Beweis: Darstellung des Vektorfeldes und Parametrisierung der Mantelfläche in Zylinderkoordinaten ϱ cos ϕ F = F ϱ e ϱ + F ϕ e ϕ + F z e z, S : r(ϕ, z) = ϱ sin ϕ z (i) ϱ = ϱ(ϕ): nach außen gerichtete Flächennormale ϕ ϱ cos ϕ ϱ sin ϕ n(ϕ, z) = ϕ r z r = ϕ ϱ sin ϕ + ϱ cos ϕ 1 ϕ ϱ sin ϕ + ϱ cos ϕ = ϕ ϱ cos ϕ + ϱ sin ϕ = ϕ ϱ e ϕ + ϱ e ϱ Fluss durch einen Zylindermantel 2-3
9 Beweis: Darstellung des Vektorfeldes und Parametrisierung der Mantelfläche in Zylinderkoordinaten ϱ cos ϕ F = F ϱ e ϱ + F ϕ e ϕ + F z e z, S : r(ϕ, z) = ϱ sin ϕ z (i) ϱ = ϱ(ϕ): nach außen gerichtete Flächennormale ϕ ϱ cos ϕ ϱ sin ϕ n(ϕ, z) = ϕ r z r = ϕ ϱ sin ϕ + ϱ cos ϕ 1 ϕ ϱ sin ϕ + ϱ cos ϕ = ϕ ϱ cos ϕ + ϱ sin ϕ = ϕ ϱ e ϕ + ϱ e ϱ Orthogonalität der Basisvektoren e ϱ, e ϕ, e z F n = F ϱ ϱ F ϕ ϕ ϱ Fluss durch einen Zylindermantel 2-4
10 (ii) ϱ = ϱ(z): Fluss durch einen Zylindermantel 2-5
11 (ii) ϱ = ϱ(z): nach außen gerichtete Flächennormale ϱ sin ϕ z ϱ cos ϕ n(ϕ, z) = ϕ r z r = ϱ cos ϕ z ϱ sin ϕ 1 ϱ cos ϕ = ϱ sin ϕ = ϱ e ϱ ϱ z ϱ e z ϱ z ϱ Fluss durch einen Zylindermantel 2-6
12 (ii) ϱ = ϱ(z): nach außen gerichtete Flächennormale ϱ sin ϕ z ϱ cos ϕ n(ϕ, z) = ϕ r z r = ϱ cos ϕ z ϱ sin ϕ 1 ϱ cos ϕ = ϱ sin ϕ = ϱ e ϱ ϱ z ϱ e z ϱ z ϱ Feldkomponente in Normalenrichtung F n = F ϱ ϱ F z ϱ z ϱ Fluss durch einen Zylindermantel 2-7
13 (ii) ϱ = ϱ(z): nach außen gerichtete Flächennormale ϱ sin ϕ z ϱ cos ϕ n(ϕ, z) = ϕ r z r = ϱ cos ϕ z ϱ sin ϕ 1 ϱ cos ϕ = ϱ sin ϕ = ϱ e ϱ ϱ z ϱ e z ϱ z ϱ Feldkomponente in Normalenrichtung F n = F ϱ ϱ F z ϱ z ϱ ϱ konstant für einen Kreiszylinder Verschwinden der Terme mit Ableitungen von ϱ Fluss durch einen Zylindermantel 2-8
14 Beispiel: Fluss des Feldes F = xz 2 yz 2 (x 2 + y 2 )z = ϱz 2 cos ϕ ϱz 2 sin ϕ ϱ 2 z von innen nach außen durch den Mantel eines Zylinders mit Abstand a zur z-achse und z min =, z max = b Fluss durch einen Zylindermantel 3-1
15 Beispiel: Fluss des Feldes F = xz 2 yz 2 (x 2 + y 2 )z = ϱz 2 cos ϕ ϱz 2 sin ϕ ϱ 2 z von innen nach außen durch den Mantel eines Zylinders mit Abstand a zur z-achse und z min =, z max = b normale Feldkomponente F ϱ = F e ϱ = ϱz 2 cos ϕ ϱz 2 sin ϕ ϱ 2 z cos ϕ sin ϕ = ϱz 2 Fluss durch einen Zylindermantel 3-2
16 Beispiel: Fluss des Feldes F = xz 2 yz 2 (x 2 + y 2 )z = ϱz 2 cos ϕ ϱz 2 sin ϕ ϱ 2 z von innen nach außen durch den Mantel eines Zylinders mit Abstand a zur z-achse und z min =, z max = b normale Feldkomponente Fluss 2π a z max z min F ϱ = F e ϱ = F ϱ (a, ϕ, z) dz dϕ = a ϱz 2 cos ϕ ϱz 2 sin ϕ ϱ 2 z 2π b cos ϕ sin ϕ az 2 dz dϕ = 1 3 a2 b 3 = ϱz 2 2π dϕ = 2 3 πa2 b 3 Fluss durch einen Zylindermantel 3-3
17 Beispiel: Fluss des Vektorfeldes F = ϱ e ϱ + z e z nach außen durch einen Zylindermantel, der durch die Kardioide ϱ(ϕ) = 1 cos ϕ im Bereich z [, a] erzeugt wird Fluss durch einen Zylindermantel 4-1
18 Beispiel: Fluss des Vektorfeldes F = ϱ e ϱ + z e z nach außen durch einen Zylindermantel, der durch die Kardioide ϱ(ϕ) = 1 cos ϕ im Bereich z [, a] erzeugt wird 2π a F ϱ ϱ F ϕ ϕ ϱ dz dϕ Fluss durch einen Zylindermantel 4-2
19 Beispiel: Fluss des Vektorfeldes F = ϱ e ϱ + z e z nach außen durch einen Zylindermantel, der durch die Kardioide ϱ(ϕ) = 1 cos ϕ im Bereich z [, a] erzeugt wird F ϱ = ϱ, F ϕ = = 2π a F ϱ ϱ F ϕ ϕ ϱ dz dϕ 2π a ϱ 2 (ϕ) dz dϕ = a 2π (1 cos ϕ) 2 dϕ = a ( 2π + + 2π 2 ) = 3πa Fluss durch einen Zylindermantel 4-3
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