Drehung. Die orthogonale n n-matrix 1 0. c s. Zeile j. s c

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Kristin Küchler
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1 Drehung Die orthogonale n n-matrix Q i,j... Zeile i c s... Zeile j s c... mit c = cos ϕ und s = sin ϕ beschreibt eine Drehung um den Winkel ϕ in der x i x j -Ebene des R n. Drehung -

2 Drehung Die orthogonale n n-matrix Q i,j... Zeile i c s... Zeile j s c... mit c = cos ϕ und s = sin ϕ beschreibt eine Drehung um den Winkel ϕ in der x i x j -Ebene des R n. Jede orthogonale Matrix Q mit det Q = ist als Produkt von Drehungen in Koordinatenebenen darstellbar: Q = i<j Q i,j. Drehung -

3 Beweis: (i) Orthogonalität: Drehung -

4 Beweis: (i) Orthogonalität: cos ϕ + sin ϕ = = Drehung -

5 Beweis: (i) Orthogonalität: cos ϕ + sin ϕ = =... c + s sc + sc QQ t =... sc + sc c + s... = E Drehung -3

6 Beweis: (i) Orthogonalität: cos ϕ + sin ϕ = =... c + s sc + sc QQ t =... sc + sc c + s... Orthogonalität der Drehmatrix Q = E Drehung -4

7 (ii) Herleitung der Faktorisierung für n = 3: Drehung -5

8 (ii) Herleitung der Faktorisierung für n = 3: Bestimmung der Drehungen durch sukzessives Annulieren der Elemente q, q 3, q 3 von Q: Drehung -6

9 (ii) Herleitung der Faktorisierung für n = 3: Bestimmung der Drehungen durch sukzessives Annulieren der Elemente q, q 3, q 3 von Q: Q, Q = Drehung -7

10 (ii) Herleitung der Faktorisierung für n = 3: Bestimmung der Drehungen durch sukzessives Annulieren der Elemente q, q 3, q 3 von Q: Q, Q = Q,3 Q, Q = Drehung -8

11 (ii) Herleitung der Faktorisierung für n = 3: Bestimmung der Drehungen durch sukzessives Annulieren der Elemente q, q 3, q 3 von Q: Q, Q = Q,3 Q, Q = Q,3 Q,3 Q, Q = = R Drehung -9

12 (ii) Herleitung der Faktorisierung für n = 3: Bestimmung der Drehungen durch sukzessives Annulieren der Elemente q, q 3, q 3 von Q: Q, Q = Q,3 Q, Q = Q,3 Q,3 Q, Q = = R Q,3, Q,3, Q, bilden jeweils Vektoren (v, v ) t auf Vielfache von Einheitsvektoren ab. Drehung -

13 (ii) Herleitung der Faktorisierung für n = 3: Bestimmung der Drehungen durch sukzessives Annulieren der Elemente q, q 3, q 3 von Q: Q, Q = Q,3 Q, Q = Q,3 Q,3 Q, Q = = R Q,3, Q,3, Q, bilden jeweils Vektoren (v, v ) t auf Vielfache von Einheitsvektoren ab. det Q i,j =, det Q = = det R = = r 3,3 = Drehung -

14 (ii) Herleitung der Faktorisierung für n = 3: Bestimmung der Drehungen durch sukzessives Annulieren der Elemente q, q 3, q 3 von Q: Q, Q = Q,3 Q, Q = Q,3 Q,3 Q, Q = = R Q,3, Q,3, Q, bilden jeweils Vektoren (v, v ) t auf Vielfache von Einheitsvektoren ab. det Q i,j =, det Q = = det R = = r 3,3 = Normierung der Spalten = R = E und Q = Q, Q,3 Q,3 Drehung -

15 Beispiel: Faktorisierung der Drehmatrix Q = Drehung 3-

16 Beispiel: Faktorisierung der Drehmatrix Q = Drehung D z = Q, um π um die z-achse: Q = Drehung 3-

17 Drehung Dy = Q,3 um π 4 um die y-achse: Dz Q = 3 3 Drehung 3-3

18 Drehung Dy = Q,3 um π 4 um die y-achse: Dz Q = 3 3 Drehung D x = Q,3 um π 3 um die x-achse Drehung 3-4

19 Drehung Dy = Q,3 um π 4 um die y-achse: Dz Q = 3 3 Drehung D x = Q,3 um π 3 um die x-achse Insgesamt folgt Q = 3 3 D z D y D x Drehung 3-5

20 Drehung im Raum Eine Drehung im R 3 mit normierter Drehachsenrichtung u und Drehwinkel ϕ, orientiert wie eine Rechtsschraube, bildet einen Vektor x auf Qx = cos ϕ x + ( cos ϕ)uu t x + sin ϕ u x ab, wobei u x das Kreuzprodukt von u und x bezeichnet. Drehung 4-

21 Drehung im Raum Eine Drehung im R 3 mit normierter Drehachsenrichtung u und Drehwinkel ϕ, orientiert wie eine Rechtsschraube, bildet einen Vektor x auf Qx = cos ϕ x + ( cos ϕ)uu t x + sin ϕ u x ab, wobei u x das Kreuzprodukt von u und x bezeichnet. Die entsprechende Drehmatrix ist Q : q i,k = cos ϕ δ i,k + ( cos ϕ) u i u k + sin ϕ j ε ijk u j, mit dem Kroneckersymbol δ i,k und dem ε-tensor ε ijk. Drehung 4-

22 Beweis: zeige: Qu = u und Q dreht einen zu u orthogonaler Vektor v um einen Winkel ϕ um die Achse u. Drehung 5-

23 Beweis: zeige: Qu = u und Q dreht einen zu u orthogonaler Vektor v um einen Winkel ϕ um die Achse u. (i) Bild von u: Qu = cos ϕ u + ( cos ϕ)u }{{} u t u + sin ϕ } u {{ u } = u = = Drehung 5-

24 Beweis: zeige: Qu = u und Q dreht einen zu u orthogonaler Vektor v um einen Winkel ϕ um die Achse u. (i) Bild von u: (ii) Bild von v: Qu = cos ϕ u + ( cos ϕ)u }{{} u t u + sin ϕ } u {{ u } = u = = Qv = cos ϕ v + + sin ϕ u v Drehung um ϕ in der von v und u v aufgespannten Ebene Drehung 5-3

25 Beispiel: Matrix Q einer Drehung um ϕ = π 3 um die Achse u = 3 ( ) t : Drehung 6-

26 Beispiel: Matrix Q einer Drehung um ϕ = π 3 cos ϕ δ ik : um die Achse u = 3 ( ) t : Drehung 6-

27 Beispiel: Matrix Q einer Drehung um ϕ = π 3 cos ϕ δ ik : ( cos ϕ)u i u k : um die Achse u = 3 ( ) t : 6 Drehung 6-3

28 Beispiel: Matrix Q einer Drehung um ϕ = π 3 cos ϕ δ ik : ( cos ϕ)u i u k : sin ϕ ε ijk u j j : um die Achse u = 3 ( ) t : 6 Drehung 6-4

29 Beispiel: Matrix Q einer Drehung um ϕ = π 3 = cos ϕ δ ik : ( cos ϕ)u i u k : sin ϕ j ε ijk u j : Q = 3 um die Achse u = 3 ( ) t : 6 Drehung 6-5

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