Satz von Stokes. Für ein stetig differenzierbares Vektorfeld F auf einer regulären Fläche S mit orientiertem Rand C gilt. Satz von Stokes 1-1
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- Jan Pohl
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1 Satz von Stokes Für ein stetig differenzierbares Vektorfeld F auf einer regulären Fläche S mit orientiertem Rand C gilt rot F ds = F d r. S C Satz von Stokes 1-1
2 Satz von Stokes Für ein stetig differenzierbares Vektorfeld F auf einer regulären Fläche S mit orientiertem Rand C gilt rot F ds = F d r. S Die Glattheitsvoraussetzungen an F und S können abgeschwächt werden, indem man die Integrale über geeignete Grenzprozesse definiert. C Satz von Stokes 1-2
3 Beweisidee: Approximation von F durch ein stückweise lineares Vektorfeld auf einer Triangulierung von S Satz von Stokes 2-1
4 Beweisidee: Approximation von F durch ein stückweise lineares Vektorfeld auf einer Triangulierung von S Satz von Stokes 2-2
5 Beweisidee: Approximation von F durch ein stückweise lineares Vektorfeld auf einer Triangulierung von S Aufhebung der Arbeitsintegrale im Inneren Satz von Stokes 2-3
6 Beweisidee: Approximation von F durch ein stückweise lineares Vektorfeld auf einer Triangulierung von S Aufhebung der Arbeitsintegrale im Inneren nur ein Dreieck zu betrachten Satz von Stokes 2-4
7 R F P F = A x + b, bestimmt durch Werte an den Eckpunkten P, Q, R Q Satz von Stokes 2-5
8 R F P F = A x + b, bestimmt durch Werte an den Eckpunkten P, Q, R Q Zerlegung von A in einen symmetrischen und antisymmetrischen Anteil A = D + E, d j,k = 1 2 (a j,k + a k,j ), e j,k = 1 2 (a j,k a k,j ) Satz von Stokes 2-6
9 R F P F = A x + b, bestimmt durch Werte an den Eckpunkten P, Q, R Q Zerlegung von A in einen symmetrischen und antisymmetrischen Anteil A = D + E, d j,k = 1 2 (a j,k + a k,j ), e j,k = 1 2 (a j,k a k,j ) Der symmetrische Anteil G = D x + b besitzt ein Potential: U = 1 2 x (D x) + b x, grad U = G Satz von Stokes 2-7
10 R F P F = A x + b, bestimmt durch Werte an den Eckpunkten P, Q, R Q Zerlegung von A in einen symmetrischen und antisymmetrischen Anteil A = D + E, d j,k = 1 2 (a j,k + a k,j ), e j,k = 1 2 (a j,k a k,j ) Der symmetrische Anteil G = D x + b besitzt ein Potential: U = 1 2 x (D x) + b x, grad U = G null. Für den symmetrischen Anteil sin beide Seiten im Satz von Stokes Satz von Stokes 2-8
11 betrachte nur ein antisymmetrisches Feld h 3 h 2 x 1 H = h 3 h 1 x 2 h 2 h 1 x 3 = h x Satz von Stokes 2-9
12 betrachte nur ein antisymmetrisches Feld h 3 h 2 x 1 H = h 3 h 1 x 2 h 2 h 1 x 3 = h x (i) Linke Seite S rot H d S: Satz von Stokes 2-1
13 betrachte nur ein antisymmetrisches Feld h 3 h 2 x 1 H = h 3 h 1 x 2 h 2 h 1 x 3 = h x (i) Linke Seite S rot H ds: rot H = rot h 3 x 2 + h 2 x 3 h 1 x 3 + h 3 x 1 h 2 x 1 + h 1 x 2 = 2 h Satz von Stokes 2-11
14 betrachte nur ein antisymmetrisches Feld h 3 h 2 x 1 H = h 3 h 1 x 2 h 2 h 1 x 3 = h x (i) Linke Seite S rot H ds: rot H = rot h 3 x 2 + h 2 x 3 h 1 x 3 + h 3 x 1 h 2 x 1 + h 1 x 2 Normale: ( q p) ( r p)/ ( q p) ( r p), = 2 h Satz von Stokes 2-12
15 betrachte nur ein antisymmetrisches Feld h 3 h 2 x 1 H = h 3 h 1 x 2 h 2 h 1 x 3 = h x (i) Linke Seite S rot H ds: rot H = rot h 3 x 2 + h 2 x 3 h 1 x 3 + h 3 x 1 h 2 x 1 + h 1 x 2 = 2 h Normale: ( q p) ( r p)/ ( q p) ( r p), area S = 1 2 ( q p) ( r p) = rot H ds = h ( q r + r p + p q) S Satz von Stokes 2-13
16 (ii) Rechte Seite C H d r: Satz von Stokes 2-14
17 (ii) Rechte Seite C H d r: betrachte Teilrand C r : p + t( q p), t 1 Satz von Stokes 2-15
18 (ii) Rechte Seite C H d r: betrachte Teilrand C r : p + t( q p), t 1 Arbeitsintegral 1 h ( p + t( q p)) ( q p) dt = ( h p) q Satz von Stokes 2-16
19 (ii) Rechte Seite C H d r: betrachte Teilrand C r : p + t( q p), t 1 Arbeitsintegral 1 h ( p + t( q p)) ( q p) dt = ( h p) q (Der zweite Term verschwindet, da ( a b) b =.) Satz von Stokes 2-17
20 (ii) Rechte Seite C H d r: betrachte Teilrand C r : p + t( q p), t 1 Arbeitsintegral 1 h ( p + t( q p)) ( q p) dt = ( h p) q (Der zweite Term verschwindet, da ( a b) b =.) analoge Betrachtung für die Wege C p und C q H d r = ( h p) q + ( h q) r + ( h r) p C = ( p q) h + ( q r) h + ( r p) h aufgrund der zyklischen Invarianz des Spatproduktes Satz von Stokes 2-18
21 (ii) Rechte Seite C H d r: betrachte Teilrand C r : p + t( q p), t 1 Arbeitsintegral 1 h ( p + t( q p)) ( q p) dt = ( h p) q (Der zweite Term verschwindet, da ( a b) b =.) analoge Betrachtung für die Wege C p und C q H d r = ( h p) q + ( h q) r + ( h r) p C = ( p q) h + ( q r) h + ( r p) h aufgrund der zyklischen Invarianz des Spatproduktes Übereinstimmung mit dem Ergebnis aus (i) Satz von Stokes 2-19
22 Beispiel: Illustration des Satzes von Stokes für das Vektorfeld F = (z, x, y) t und die Halbkugelschale S : x 2 + y 2 + z 2 = 1, z Satz von Stokes 3-1
23 Beispiel: Illustration des Satzes von Stokes für das Vektorfeld F = (z, x, y) t und die Halbkugelschale S : x 2 + y 2 + z 2 = 1, z Rotation von F rot F = y y z x z z x y x x y z = Satz von Stokes 3-2
24 Beispiel: Illustration des Satzes von Stokes für das Vektorfeld F = (z, x, y) t und die Halbkugelschale S : x 2 + y 2 + z 2 = 1, z Rotation von F rot F = y y z x z z x y x x y z = vektorielles Flächenelement in Kugelkoordinaten d S = e r ds = (sin ϑ cos ϕ, sin ϑ sin ϕ, cos ϑ) t sin ϑ dϕdϑ Satz von Stokes 3-3
25 Beispiel: Illustration des Satzes von Stokes für das Vektorfeld F = (z, x, y) t und die Halbkugelschale S : x 2 + y 2 + z 2 = 1, z Rotation von F rot F = y y z x z z x y x x y z = vektorielles Flächenelement in Kugelkoordinaten ds = e r ds = (sin ϑ cos ϕ, sin ϑ sin ϕ, cos ϑ) t sin ϑ dϕdϑ Randkurve: C : t r(t) = (cos t, sin t, ) t, t [, 2π] Satz von Stokes 3-4
26 Linke Seite im Satz von Stokes: S rot F d S = π/2 2π = + + 2π (cos ϕ sin ϑ + sin ϕ sin ϑ + cos ϑ) sin ϑ dϕdϑ [ ] 1 π/2 2 sin2 ϑ = π ϑ= Satz von Stokes 3-5
27 Linke Seite im Satz von Stokes: S rot F d S = π/2 2π = + + 2π (cos ϕ sin ϑ + sin ϕ sin ϑ + cos ϑ) sin ϑ dϕdϑ [ ] 1 π/2 2 sin2 ϑ = π ϑ= Rechte Seite: C F d r = 2π cos t sin t sin t cos t } {{ } r (t) dt = 2π cos 2 t dt = π Satz von Stokes 3-6
28 gleiches Resultat für die Kreisscheibe r cos ϕ A : s(r, ϕ) = r sin ϕ, r 1, ϕ 2π, wegen des unveränderten Randes: Satz von Stokes 3-7
29 gleiches Resultat für die Kreisscheibe r cos ϕ A : s(r, ϕ) = r sin ϕ, r 1, ϕ 2π, wegen des unveränderten Randes: A rot F d A = 1 2π r dϕdr = π Satz von Stokes 3-8
30 gleiches Resultat für die Kreisscheibe r cos ϕ A : s(r, ϕ) = r sin ϕ, r 1, ϕ 2π, wegen des unveränderten Randes: A rot F d A = 1 2π (Polarkoordinaten: da = r dϕdr) r dϕdr = π Satz von Stokes 3-9
31 Beispiel: Fluss der Rotation des Vektorfeldes F (x, y, z) = nach außen durch den Zylindermantel yz xz z S : x 2 + y 2 = 1, z 1, Satz von Stokes 4-1
32 Beispiel: Fluss der Rotation des Vektorfeldes F (x, y, z) = nach außen durch den Zylindermantel yz xz z S : x 2 + y 2 = 1, z 1, Berechnung mit Hilfe des Satzes von Stokes als Arbeitsintegral über die Randkurven cos t cos( t) C u : r u (t) = sin t, C o : r o (t) = sin( t) 1 Satz von Stokes 4-2
33 Beispiel: Fluss der Rotation des Vektorfeldes F (x, y, z) = nach außen durch den Zylindermantel yz xz z S : x 2 + y 2 = 1, z 1, Berechnung mit Hilfe des Satzes von Stokes als Arbeitsintegral über die Randkurven cos t cos( t) C u : r u (t) = sin t, C o : r o (t) = sin( t) 1 (t [, 2π], entgegengesetzte Orientierung beachten) Satz von Stokes 4-3
34 Flussberechnung als Arbeitsintegral: F d r + C u C o F d r Satz von Stokes 4-4
35 Flussberechnung als Arbeitsintegral: F d r + C u C o F d r mit und C o F d r = C u F d r = 2π 2π sin( t) cos( t) 1 sin t cos t dt = sin( t) cos( t) } {{ } r o(t) dt = 2π Satz von Stokes 4-5
36 Flussberechnung als Arbeitsintegral: F d r + C u C o F d r mit und C o F d r = C u F d r = 2π 2π sin( t) cos( t) 1 sin t cos t dt = sin( t) cos( t) } {{ } r o(t) dt = 2π (sin 2 t + cos 2 t = 1) Satz von Stokes 4-6
37 Flussberechnung als Arbeitsintegral: F d r + C u C o F d r mit und C o F d r = C u F d r = 2π 2π sin( t) cos( t) 1 sin t cos t dt = sin( t) cos( t) } {{ } r o(t) dt = 2π (sin 2 t + cos 2 t = 1) = Fluss durch den Mantel gleich 2π Satz von Stokes 4-7
38 alternative direkte Berechnung: Satz von Stokes 4-8
39 alternative direkte Berechnung: Gesamtfluss durch die Zylinderoberfläche null wegen div rot F = Satz von Stokes 4-9
40 alternative direkte Berechnung: Gesamtfluss durch die Zylinderoberfläche null wegen div rot F = = Fluss durch den Mantel entspricht der negativen Summe der Flüsse durch Boden und Deckel Satz von Stokes 4-1
41 alternative direkte Berechnung: Gesamtfluss durch die Zylinderoberfläche null wegen div rot F = = Fluss durch den Mantel entspricht der negativen Summe der Flüsse durch Boden und Deckel n e z = nur z-komponente der Rotation relevant ( rot F ) = x( xz) y (yz) = 2z z Satz von Stokes 4-11
42 alternative direkte Berechnung: Gesamtfluss durch die Zylinderoberfläche null wegen div rot F = = Fluss durch den Mantel entspricht der negativen Summe der Flüsse durch Boden und Deckel n e z = nur z-komponente der Rotation relevant ( rot F ) = x( xz) y (yz) = 2z z Fluss durch den Boden (z = ) null Satz von Stokes 4-12
43 alternative direkte Berechnung: Gesamtfluss durch die Zylinderoberfläche null wegen div rot F = = Fluss durch den Mantel entspricht der negativen Summe der Flüsse durch Boden und Deckel n e z = nur z-komponente der Rotation relevant ( rot F ) = x( xz) y (yz) = 2z z Fluss durch den Boden (z = ) null Fluss durch den Deckel A (z = 1): ( 2) da = 2 area A = 2π A Satz von Stokes 4-13
44 alternative direkte Berechnung: Gesamtfluss durch die Zylinderoberfläche null wegen div rot F = = Fluss durch den Mantel entspricht der negativen Summe der Flüsse durch Boden und Deckel n e z = nur z-komponente der Rotation relevant ( rot F ) = x( xz) y (yz) = 2z z Fluss durch den Boden (z = ) null Fluss durch den Deckel A (z = 1): ( 2) da = 2 area A = 2π = Fluss durch den Mantel gleich 2π A Satz von Stokes 4-14
45 Beispiel: wirbelförmige Strömung um die z-achse y 1 F = f (ϱ) e }{{} ϕ, e ϕ = x ϱ F ϕ, ϱ = x 2 + y 2 Satz von Stokes 5-1
46 Beispiel: wirbelförmige Strömung um die z-achse y 1 F = f (ϱ) e }{{} ϕ, e ϕ = x ϱ F ϕ, ϱ = x 2 + y 2 Formel für die Rotation in Zylinderkoordinaten rot F = ( z F ϕ ) e ϱ + e ϕ + 1 ϱ ( ϱ(ϱf ϕ )) e z = f + ϱ 1 f Satz von Stokes 5-2
47 (i) Fluss von rot F durch die Kreisscheibe A: x 2 + y 2 R 2 nach oben: Satz von Stokes 5-3
48 (i) Fluss von rot F durch die Kreisscheibe A: x 2 + y 2 R 2 nach oben: Satz von Stokes Arbeitsintegral über die Randkurve ( ) R cos t C : r(t) =, t [, 2π], R sin t Satz von Stokes 5-4
49 (i) Fluss von rot F durch die Kreisscheibe A: x 2 + y 2 R 2 nach oben: Satz von Stokes Arbeitsintegral über die Randkurve ( ) R cos t C : r(t) =, t [, 2π], R sin t d.h. S rot F d S = = C 2π F d r ( ) sin t f (R) cos t }{{} e ϕ ( R sin t R cos t } {{ } d r ) dt = 2πR f (R) Satz von Stokes 5-5
50 (i) Fluss von rot F durch die Kreisscheibe A: x 2 + y 2 R 2 nach oben: Satz von Stokes Arbeitsintegral über die Randkurve ( ) R cos t C : r(t) =, t [, 2π], R sin t d.h. S rot F d S = = C 2π F d r ( ) sin t f (R) cos t }{{} e ϕ ( R sin t R cos t } {{ } d r ) dt = 2πR f (R) (ii) Fluss von rot F durch das Rechteck S = [ a, a] [ b, b] nach oben im Spezialfall f (ϱ) = ϱ: S rot F ds = S 2 1 ds = 8ab }{{} Satz von Stokes 5-6
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