14 Die Integralsätze der Vektoranalysis

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1 4 Die Integralsätze der Vektoranalysis 72 4 Die Integralsätze der Vektoranalysis Die Integralsätze stellen eine Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrecnung dar und sind für viele Anwendungen wictig. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrecnung b a F (x)dx F (b) F (a) besagt, dass es möglic ist, ein Integral auf einen Ausdruck zurückzufüren, in dem nur die Funktionswerte am Rande des Intervalls [a, b] auftreten. Entsprecend wollen wir nun ereicsintegrale auf Randintegrale zurückfüren. Es sei R 2 ein Gebiet, dessen Rand aus einer gesclossenen, stückweise stetig differenzierbaren Kurve bestet. Nun kann man jede Kurve in zwei Rictungen durclaufen: entweder gegen den Urzeigersinn oder im Urzeigersinn. Man sprict von Orientierungen der Kurve. Wir wälen eine Parametrisierung σ : [a, b] der Randkurve, so dass die Kurve entgegen dem Urzeigersinn durclaufen wird. Wir nennen die Kurve dann positiv orientiert. Setzt sic die Kurve σ aus den stetig differenzierbaren Kurvenstücken σ i, i,..., N, zusammen und ist v ein Vektorfeld auf, so definiert man v ds : N i σ i v ds. Satz 4. (Satz von Green) Es sei R 2 ein Gebiet, dessen Rand aus einer gesclossenen stückweise stetig differenzierbaren Kurve σ, die positiv orientiert ist, bestet. Es sei D R 2 eine offene Menge mit D und v : D R 2 ein C -Vektorfeld. Dann gilt ( v2 v ds x v ) dxdy. y ( ) eispiel 4. Mit v(x) ergibt sic für den Fläceninalt von x Mit v(x) F () ( y dxdy ) ergibt sic F () v ds dxdy x(t)y (t)dt ydx. xdy. Daraus ergibt sic die folgende Formel für den Fläceninalt von F () xdy ydx. 2 Satz 4.2 (Satz von Stokes) Es sei : D S R 3 ein reguläres Fläcenstück mit einer gesclossenen stückweise stetig differenzierbaren und einfacen

2 4 Die Integralsätze der Vektoranalysis 73 n S Abbildung 8: Orientierung des Randes Randkurve, die in ezug auf die Normalenrictung n positiv orientiert ist (vgl. Abbildung 8). Es sei U R 3 eine offene Menge, die S entält, und v : U R 3 ein C -Vektorfeld. Dann gilt v ds rotv ds (rot v n)ds. eispiel 4.2 Es sei S (D) R 2 und v Dann gilt n v v 2, rotv n v 2 x v y, also nac dem Satz von Stokes v ds (rotv n)ds S ein ebenes Vektorfeld. ( v2 x v ) dxdy. y Damit folgt der Satz von Green aus dem Satz von Stokes. eispiel 4.3 Es sei Q ein Quader im R 3 und v : Q R 3 ein C -Vektorfeld auf Q mit rotv. Es sei σ eine einface gesclossene stetig differenzierbare Kurve in Q und : D S ein beliebiges reguläres Fläcenstück in Q mit dem Rand σ. Dann gilt nac dem Satz von Stokes v ds rotv ds. σ Damit aben wir den eweis der Aussage (b) (c) von Satz 2.2 nacgetragen. Der Satz von Stokes lässt sic wie folgt pysikalisc begründen. Es sei v das Gescwindigkeitsfeld einer stationären Flüssigkeitsströmung. Wir aben bereits geseen, dass das Integral v ds dem Integral der tangentialen Komponente von v längs entsprict. Das Integral misst also, in wie weit sic die Vektoren von v längs wie die Tangentialvektoren dreen, wenn man einmal den Rand der Fläce S im positiven Sinne umläuft. Zeigen die Vektoren von v in Tangentialrictung zu der orientierten

3 4 Die Integralsätze der Vektoranalysis 74 v ds > v ds < v ds Abbildung 9: edeutung der möglicen Vorzeicen von v ds Kurve, so ist v ds > und die Partikel der Flüssigkeit auf aben die Neigung, sic entgegen dem Urzeigersinn zu dreen (vgl. Abbildung 9). Zeigen die Vektoren von v in Gegenrictung zu den Tangentialvektoren von, so ist v ds < und die Partikel auf rotieren im Urzeigersinn. Ist das Vektorfeld v senkrect zu, so gilt v ds und die Flüssigkeitsteilcen rotieren auf überaupt nict. Deswegen stellt das Integral v ds die Gesamtrotation der Flüssigkeit entgegen dem Urzeigersinn entlang dar. Man nennt dieses Integral daer auc die Zirkulation (oder Wirbelstärke) der Flüssigkeit entlang. Der Satz von Stokes besagt nun, dass die Zirkulation von v entlang gleic dem Integral der normalen Komponente der Rotation rotv n über S ist. Also ist rotv n(x) die Zirkulation von v in x pro Fläceneineit auf einer Fläce senkrect zu n(x). Man nennt daer rot v n(x) die spezifisce Zirkulation (oder Wirbeldicte) der Strömung durc S in x. Die Strömung eißt wirbelfrei, wenn rotv gilt. Wir wollen nun den Satz von Gauß formulieren. Dazu sei R 3 ein Gebiet. Wir nemen an, dass sic der Rand aus endlicen vielen regulären Fläcenstücken S, S 2,..., S N zusammensetzt. Es sei i : D i S i, i,..., N, eine Parametrisierung des Fläcenstückes S i, so dass der zugeörige Normalenvektor n i nac außen zeigt. Es sei U R 3 eine offene Teilmenge mit U und v : U R 3 ein C -Vektorfeld. Wir setzen v d S : N i i v d S. Satz 4.3 (Satz von Gauß) Es sei R 3 ein Gebiet, dessen Rand aus endlic vielen regulären Fläcenstücken bestet. Es sei U R 3 eine offene Teilmenge mit U und v : U R 3 ein C -Vektorfeld auf U. Dann gilt div vdxdydz v ds. Der Satz von Gauß lässt sic wie folgt pysikalisc deuten. Es sei dazu v wieder das Gescwindigkeitsfeld einer stationären Flüssigkeitsströmung. Wir atten in 8 geseen, dass das Integral v d S ein Maß für den Fluß der Flüssigkeit durc den Rand des ereics von innen nac außen ist. Der

4 4 Die Integralsätze der Vektoranalysis 75 z S 2 R R M y x S Abbildung 2: Kegelstumpf Satz von Gauß besagt also, dass dieser Fluß gleic dem Integral der Divergenz div v von v ist. Die Divergenz misst also den aus der Volumeneineit eraustretenden Fluß. Man nennt div v(x) die spezifisce Ergiebigkeit oder Quelldicte der Strömung in x. Man nennt x Quelle, wenn div v(x) > ist, und Senke, wenn div v(x) <. Die Strömung eißt quellenfrei, wenn div v ist. Die Integralsätze aben viele Anwendungen, so etwa in der Strömungsmecanik. Daneben kann man sie auc anwenden, um Integrale, z.. Volumina und Scwerpunkte, auszurecnen. Eine solce Anwendung wollen wir zum Abscluss betracten. eispiel 4.4 Wir wollen das Volumen eines Kegelstumpfes von der Höe und den Radien R und R ( R < R) berecnen (vgl. Abbildung 2). Wir betracten ein zur Mantelfläce M tangentiales Vektorfeld v(x, y, z) x y. R R x2 + y 2 Es gilt div v 2. Nac dem Satz von Gauß gilt daer 2V () div vdxdydz v ds. Der Rand bestet aus der Mantelfläce M und den beiden Deckelfläcen S und S 2. Da v tangential zu M ist, gilt v ds. Die Abbildung : D R 3 mit (r, θ) r cos( θ) r sin( θ), M D {(r, θ) r R, θ 2π}, ist eine Parameterdarstellung von S und die Abbildung 2 : D 2 R 3 mit 2 (r, θ) r cos θ r sin θ, D 2 {(r, θ) r R, θ 2π},

5 4 Die Integralsätze der Vektoranalysis 76 eine Parameterdarstellung von S 2. Es gilt auf S T r T θ r, v( (r, θ)) ( T r T θ ) r2, und auf S 2 T r T θ r, v( 2 (r, θ)) ( T r T θ ) r2. Also gilt 2V () v ds + v ds S S 2 D r2 r drdθ + D2 2 drdθ ( 2π R 2π ) R r 2 drdθ r 2 drdθ ( 2π 3 R 3 ) 3 R3 2 3 π(r2 + R R + R 2 ). Daraus folgt V () 3 π(r2 + R R + R 2 ).