8 Oberflächenintegrale

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1 Mathematik für Physiker III, WS 22/23 reitag 8. $Id: flaechen.tex,v.6 23//8 6:4:9 hk Exp $ $Id: rot.tex,v.3 23//8 7:4:9 hk Exp hk $ 8 Oberflächenintegrale 8.2 lächenintegrale erster rt In der letzten Sitzung hatten wir die lächenintegrale erster rt eingeführt, gegeben ist bei diesen ein lächenstück R 3 mit einer Parametrisierung ϕ : R 3 wobei R 2 eine kompakte, Jordan-meßbare Teilmenge des R 2 ist. Etwas genauer war = U mit einer offenen Jordan-meßbaren Menge U R 2 und ϕ U ist die Parametrisierung einer zweidimensionalen C -Untermannigfaltigkeit des R 3. Ist dann weiter f : R eine stetige unktion, so hatten wir das skalare lächenintegral von f über als f(x) dx := f(ϕ(u)) (u) x y (u) du definiert. Da auf der rechten Seite eine stetige unktion über eine Jordan-meßbare Menge integriert wird ist dieses Integral nach 4.Korollar 5 dabei überhaupt definiert. Verwenden wir für f die unktion konstant gleich Eins, so ergibt das skalare lächenintegral gerade die läche des lächenstücks. Wie am Ende der letzten Sitzung rechnen wir jetzt ein Beispiel bei dem das lächenstück die Oberfläche der Kugel mit Radius R > und Mittelpunkt z R 3 ist. ür dieses lächenstück hatten wir die Parametrisierung ϕ : [, 2π] [, π] R 3 ; (φ, ψ) z + R cos φ sin ψ z 2 + R sin φ sin ψ z 3 + R cos ψ verwendet und hatten bereits die ormeln φ cos φ sin ψ ψ = R2 sin ψ sin φ sin ψ cos ψ und φ ψ = R2 sin ψ für alle φ [, 2π], ψ [, π] festgehalten. Beachte das die beiden Tangentenvektoren / x, /ϕ/ y für ψ = und ψ = π linear abhängig werden und das Vektorprodukt Null ist, unsere Definition einer Parametrisierung haben wir genau so eingerichtet das so etwas noch erlaubt ist. Nur in der offenen Mengen (, 2π) (, π) liegt die Parametrisierung einer C -Untermannigfaltigkeit vor. Wir wollen jetzt auch einmal ein Beispiel eines skalaren lächenintegrals behandeln bei dem eine nicht konstante unktion integriert wird. Konkret wollen wir die unktion 22-

2 Mathematik für Physiker III, WS 22/23 reitag 8. f(x, y, z) = x 2 +y 2 +z 2 über unsere Kugeloberfläche integrieren. ür alle φ 2π, ψ π haben wir z + R cos φ sin ψ f z 2 + R sin φ sin ψ = R 2 +z 2 +z2 2 +z3 2 +2R(z cos φ sin ψ+z 2 sin φ sin ψ+z 3 cos ψ), z 3 + R cos ψ und wegen 2π sin φ dφ = 2π cos φ dφ = und π sin ψ cos ψ dψ = folgt π f(x) dx = 2πR 2 (R 2 + z 2 + z2 2 + z3) 2 sin ψ dψ = 4πR 2 (R 2 + z 2 + z2 2 + z3) 2 = 4πR 2 (R 2 + z 2 ). ls nächstes Beispiel wollen wir uns skalare lächenintegrale über Rotationsflächen anschauen. Gegeben seien also a, b R mit a < b und eine stetig differenzierbare unktion f : [a, b] R mit f(x) > für a < x < b. Dann betrachten wir die zugehörige Rotationsfläche R f und hatten bereits in der letzten Sitzung die Parametrisierung ϕ : [, 2π] [a, b] R 3 ; (φ, z) (f(z) cos φ, f(z) sin φ, z) von R f angegeben. ls Tangentialvektoren erhalten wir für alle φ 2π, a z b φ =, z = f(z) sin φ f(z) cos φ und deren Vektorprodukt ergibt sich als φ f(z) cos φ z = f(z) sin φ f(z)f (z) = f(z) f (z) cos φ f (z) sin φ cos φ sin φ f (z) Dieser Vektor zeigt übrigens von der z-chse weg. Die Länge des Vektors ist φ z = f(z) + f (z) 2, und die ormel für lächenintegrale über R f ergibt sich für jede stetige unktion g : R f R als g(x) dx = g(f(z) cos φ, f(z) sin φ, z)f(z) + f (z) 2 d(φ, z). R f [,2π] [a,b] 22-2

3 Mathematik für Physiker III, WS 22/23 reitag 8. Setzen wir speziell die unktion g konstant Eins ein, so erhalten wir die lächenformel (R f ) = 2π b a f(z) + f (z) 2 dz. ls konkretes Beispiel nehmen wir das Paraboloid P gegeben durch die Gleichung z = x 2 + y 2, etwa für z h. Dieses ist eine Rotationsfläche P = R f bezüglich der unktion f(z) = z und da für alle z h stets f(z) + f (z) 2 = z + 4z = + 4z gilt wird die ormel für lächenintegrale erster rt über dieses Paraboloid zu g(x) dx = g( z cos φ, z sin φ, z) + 4z d(φ, z). 2 P [,2π] [,h] Somit ergibt sich die läche h π (P ) = π + 4z dz = ( + 4z)3/2 6 h 2 = π 6 (( + 4h)3/2 ), und als ein Beispiel für einen nicht konstanten Integranden verwenden wir die unktion f(x, y, z) = x 2 z, deren lächenintegral über das Paraboloid sich als P x z d(x, y, z) = 2 = π 28 +4h [,2π] [,h] z 2 cos 2 φ + 4z d(φ, z) = π 2 u /2 2u 3/2 + u 5/2 du = h z 2 + 4z dz π ( ( + 4h) 3/2 (3h 2 6h + ) ) 84 ergibt. ls ein ein weiteres Beispiel schauen wir uns unktionsgraphen an. Gegeben seien also offene Mengen U, V R 2 mit := U V und eine stetig differenzierbare unktion f : V R, wobei die Menge U Jordan-meßbar sei. Dann ist der Graph := {(x, y, f(x, y)) (x, y) } eine läche mit der Parametrisierung ϕ : R 3 ; (x, y) (x, y, f(x, y)). ür alle (x, y) haben wir (x, y) = x f x, (x, y) (x, y) = y und als Vektorprodukt ergibt sich x f (x, y) y = x f (x, y) mit y x y = f y, (x, y) ( ) 2 f + x ( ) 2 f. y

4 Mathematik für Physiker III, WS 22/23 reitag 8. Die läche solch eines Graphen ist also gegeben als ( ) = + ( ) 2 f + x ( ) 2 f d(x, y). y Schauen wir uns beispielsweise noch einmal das Paraboloid P des obigen Beispiels an. Ist := B h (), so können wir P auch als den Graphen der unktion f(x, y) = x2 +y 2 auf interpretieren. Verwenden wir diese Darstellung, so ergibt sich die läche von P durch Transformation auf Polarkoordinaten gemäß 5 als (P ) = + 4x2 + 4y 2 d(x, y) B h () = [, h] [,2π] r + 4r 2 d(r, φ) = π h 6 ( + 4r2 ) 3/2 = π 6 (( + 4h)3/2 ), also dasselbe Ergebnis das sich auch über die Darstellung als Rotationsfläche ergeben hatte. Dies ist eine gute Gelegenheit auf ein bisher unterschlagenes Detail hinzuweisen. Wir sprechen vom lächenintegral erster rt über das lächenstück, in der Definition dieses Integrals geht dann allerdings die spezielle Parametrisierung ϕ dieses lächenstücks ein. Streng genommen müssten wir uns überlegen das das Ergebnis von der speziell gewählten Parametrisierung unabhängig ist. Eine solche Unabhängigkeitsaussage wird in ufgabe (52) bewiesen, diese ufgabe erfasst allerdings nicht alle möglichen Parametrisierungen. Tatsächlich ist unsere Definition der Parametrisierung von lächenstücken für solche theoretischen ragen etwas unhandlich, wir hatten ja schon früher angemerkt das die gewählte Definition hauptsächlich rechnerischen Zwecken dient. ür eine exakte Behandlung der lächenintegrale ist es unter Verwendung unserer Definition am geschicktesten, die lächenstücke nicht als Teilmengen des R 3 zu interpretieren, sondern wie bei den Kurvenintegralen die Parametrisierung selbst als lächenstück zu bezeichnen. Da wir in diesem Kapitel aber nicht an der Theorie interessiert sind, wollen wir derartige ragen im folgenden ignorieren. Wir kommen lieber zum nächsten Schritt unserer Definition von lächenintegralen und dehnen diese jetzt auf den all einer allgemeinen, aus mehreren lächenstücken zusammengesetzten, läche aus. Definition 8.4: Sei R 3 eine läche und schreibe als eine Vereinigung =... r endlich vieler lächenstücke i mit Parametrisierung ϕ i für i r so, dass ϕ i ( j ) für alle i, j r mit j i stets eine Jordansche Nullmenge ist. Ist dann f : R eine stetige unktion, so definiere das skalare lächenintegral von f über als r f(x) dx := f(x) dx. i i= 22-4

5 Mathematik für Physiker III, WS 22/23 reitag 8. Die Bedingung an die Parametrisierungen ist nötig, andernfalls könnten sich zwei verschiedene der lächenstücke i und j mit i < j r so schneiden, dass i j bezüglich der Parametrisierungen von i und von j positives Volumen hat, dann würde das Integral von f über i j in beiden Summanden i f(x) dx und j f(x) dx auftauchen und damit doppelt, oder gar noch häufiger, gezählt werden. Streng genommen müssten wir uns hier auch überlegen ob unser Integral von gewählten Zerlegung der läche unabhängig ist, aber dieses Problem wollen wir, wie schon bei den lächenstücken, ignorieren. Wir wollen jetzt ein Beispiel mit einer solchen zusammengesetzten läche rechnen. Hierzu z betrachten wir erst einmal einen Kegel C der Höhe h >, dessen Grundfläche ein Kreis mit r > und Mittelpunkt in (, ) ist. Die läche soll der C Rand = C von C sein. Der Rand setzt sich hier aus zwei lächenstücken zusammen, einmal die untere Kreisscheibe in der (x, y)-ebene, die wir beispielsweise durch sich selbst parametrisieren y h können, also ϕ : := {(x, y) R 2 x 2 + y 2 r x r 2 } R 3 definiert als ϕ (x, y) = x y mit x = e, y = e 2, x y = e 3. Das zweite lächenstück 2 ist die Mantelfläche des Kegels. Diese können wir als Rotationsfläche 2 = R f der unktion ( f : [, h] R ; z r z ) h beschreiben. Integrieren wollen wir die unktion ϱ(x, y, z) := x 2 + z. Nach Definition ist ϱ(p) dp = ϱ(p) dp + ϱ(p) dp. 2 Das erste Teilintegral ist einfach ein ganz normales ebenes Riemannintegral über unseren Kreis in der (x, y)-ebene, und ergibt sich als ϱ(x, y, z) d(x, y, z) = x 2 d(x, y) = s 3 cos 2 φ d(s, φ) [,r] [ π,π] ( r ) ( π = s 3 ds 22-5 π ) cos 2 φ dφ = 4 πr4.

6 Mathematik für Physiker III, WS 22/23 reitag 8. Dies ist übrigens ein allgemeines Phänomon, liegt unser lächenstück in der xy-ebene, so ist das skalare lächenintegral über das lächenstück ein ganz normales ebenes Riemanintegral über das dasselbe lächenstück. Entsprechendes gilt dann auch für lächenstücke in der xz- oder der yz-ebene. Das Integral über die Mantelfläche des Kegels C berechnet sich als ϱ(p) dp = ϱ(f(z) cos φ, f(z) sin φ, z)f(z) + f (z) 2 d(φ, z) 2 = = Insgesamt ist damit [,2π] [,h] + r2 h 2 [,2π] [,h] ( r2 + h [πr 2 3 h h 4 = πr r 2 + h 2 [ r h 3 [f(z) 3 cos 2 φ + zf(z)] d(φ, z) ( z h ]. ) ) 4 h + 2π ( r 2 z2 ( r 3 ϱ(p) dp = πr 4 + r2 r2 + h h ) r2 + h lächenintegrale zweiter rt h r 3h z3 )] h Wir kommen jetzt zu den vektoriellen lächenintegralen oder lächintegralen zweiter rt. Wie bei den skalaren lächenintegralen wollen wir erst einmal eine typische Situation besprechen in der solche Integrale auftreten. Gegeben sei ein stetiges Vektorfeld G etwa definiert auf einer offenen Menge U R 3. Wir denken uns G als das Geschwindigkeitsfeld einer die Menge U ausfüllenden lüssigkeit, d.h. der Vektor G(p) in einem Punkt p U sei der Geschwindigkeitsvektor der lüssigkeit im Punkt p zu einem im folgenden fixierten Zeitpunkt. Weiter betrachten wir ein lächenstück U. Das vektorielle lächenintegral G(x) dx soll dann der luß von G durch das lächenstück zu unserem gegebenen Zeitpunkt sein. Um zu sehen wie dieser luß zu berechnen ist, sei ϕ : V R 3 eine Parametrisierung von und betrachte erst einmal einen einzelnen Punkt p, wobei = ϕ(v ) ist. Da G stetig ist, können wir G nahe bei p als näherungsweise konstant gleich G(p) annehmen. Ist weiter E die Tangentialebene an im Punkt p, so können wir die läche nahe bei p durch die Ebene E approximieren. Dann ist die in einem kleinen Zeitintervall durch diese kleine Umgebung von p in fließende lüssigkeitsmenge näherungsweise das Skalarprodukt von G(p) mit dem Normalenvektor n(p) auf 22-6 n(p) p Tp

7 Mathematik für Physiker III, WS 22/23 reitag 8. E im Punkt p multipliziert mit der Dauer des Zeitintervalls und der läche des kleinen lächenstücks bei p. Der luß durch den Punkt p wird damit zu G(p) n(p). Um dann den luß durch die gesamte läche zu erhalten müssen wir diese Größe über integrieren, also das skalare lächenintegral luß durch = G(p) n(p) dp bilden. Beachte das der Normalenvektor n(p) nicht ganz eindeutig festliegt, es gibt für diesen zwei Möglichkeiten die sich durch ein Vorzeichen unterscheiden. Einer dieser beiden wird von uns als n(p) ausgewählt, für den luß durch die läche bedeutet dies das wir vorgeben müssen welche lußrichtung wir positiv zählen wollen und welche negativ. Wird der Punkt p variiert, so müssen die gewählten Normalenvektoren n(p) zusammenpassen, wir wollen das n(p) eine stetige unktion von p ist. Die getroffene uswahl der Normalenvektoren n(p) nennt man eine Orientierung des lächenstücks. Wir können unsere obige ormel für den luß durch noch weiter auswerten und uns dabei auch die Gestalt der möglichen Orientierungen von überlegen. Sei wieder p. Die Tangentialebene E von in p ist nach 3.Satz 4.(b) als E = p + (q), x y (q) gegeben, wobei q V mit p = ϕ(q) der dem Punkt p entsprechende Parameter sei. Der Normalenvektor n(p) in p muss also senkrecht auf den beiden Tangentialvektoren / x und / y sein, und damit ist n(p) wie in I. 2.4 besprochen ein Vielfaches des Vektorprodukts dieser beiden Vektoren. Wegen q V sind die beiden Tangentenvektoren dabei linear unabhängig und ihr Vektorprodukt ist somit von Null verschieden. olglich ist n(p) bis auf das Vorzeichen gleich dem auf Länge normierten Vektorprodukt der beiden Tangentenvektoren. Dass n(p) stetig von p abhängt bedeutet dann das dieses Vorzeichen ebenfalls stetig in p ist, also entweder durchgehend Minus oder durchgehend Plus ist. Dabei nehmen wir stillscheigend an, dass der Parameterbereich V zusammenhängend ist, andernfalls könnte auf verschiedenen Komponenten von V ein unterschiedliches Vorzeichen vorkommen. In diesem zusammenhängenden all ist die Wahl einer Orientierung von also gleichwertig zur Wahl eines Vorzeichens, und dies führt uns auf die folgende Definition orientierter lächenstücke. Definition 8.5: Sei R 3 ein lächenstück versehen mit einer Parametrisierung ϕ : U R 3. ür jedes p U definieren wir den Normalenvektor von bezüglich ϕ in ϕ(p) als (p) x y n ϕ (ϕ(p)) := (p). (p) (p) x y Weiter nennen wir ein orientiertes lächenstück wenn für jeden Punkt p ϕ(u) ein Vektor n(p) R 3, genannt der Normalenvektor des orientierten lächenstücks in p, 22-7

8 Mathematik für Physiker III, WS 22/23 reitag 8. gegeben ist so, dass entweder n(p) = n ϕ (p) für alle p ϕ(u) oder n(p) = n ϕ (p) für alle p ϕ(u) gilt. Im ersten all nennen wir die Parametrisierung ϕ positiv und im zweiten all nennen wir sie negativ. usgestattet mit diesem Begriff können wir jetzt unsere Diskussion zur Berechnung des lusses des Vektorfelds G durch das lächenstück fortsetzen. Dabei wird als orientiert mit den Normalenvektoren n(p) für p angenommen. Bezeichnet ϕ : weiterhin die Parametrisierung von, und setzen wir in das lußintegral G(p) n(p) dp sowohl die Beschreibung des Normalenvektors n(p) als n(p) = ±n ϕ(p) als auch die Definition des skalaren lächenintegrals ein, so ergibt sich luß durch = G(p) n(p) dp (x, y) (x, y) x y = ± G(ϕ(x, y)) (x, y) (x, y) (x, y) (x, y) x y d(x, y) x y = ± G(ϕ(x, y)) (x, y) (x, y) d(x, y), x y wobei das Vorzeichen bei einer positiven Parametrisierung ϕ Plus und bei einer negativen Parametrisierung ϕ Minus ist. Streng genommen müsste im mittleren Integral dabei über das Innere V von integriert werden, da die beiden Tangentenvektoren auf dem Rand von ja linear abhängig werden können, da aber nach 4.Satz 4 eine Jordansche Nullmenge ist spielt dies keine Rolle. Im Endergebnis tritt dieses Problem dann nicht mehr auf, da sowieso keine Division durch die Länge des Vektorprodukts mehr stattfindet. Dieses Endergebnis verwenden wir jetzt als unsere Definition des lächenintegrals zweiter rt. Definition 8.6: Seien R 3 ein orientiertes lächenstück mit einer Parametrisierung ϕ : und G : R 3 ein stetiges Vektorfeld. Das lächenintegral zweiter rt von G über ist dann definiert als G(x) dx := G(ϕ(u)) (u) x y (u) du wenn die Parametrisierung ϕ von positiv ist und G(x) dx := G(ϖ(u)) (u) x y (u) du wenn die Orientierung ϕ von negativ ist. Wir wollen zwei kleine Beispiele zum lächenintegral zweiter rt rechnen. ls orientierte läche verwenden wir in beiden Beispielen die Oberfläche einer Kugel mit Radius R > und Mittelpunkt in, wobei die Normalenvektoren auf vom Nullpunkt wegzeigend orientiert sein sollen. Wie schon in unseren Beispielen zu den lächenintegralen erster rt verwenden wir die Parametrisierung ϕ(φ, ψ) = (R cos φ sin ψ, R sin φ sin ψ, R cos ψ) 22-8

9 Mathematik für Physiker III, WS 22/23 reitag 8. definiert auf = [, 2π] [, π], und das Vektorprodukt der Tangentenvektoren dieser Parametrisierung hatten wir bereits als φ cos φ sin ψ ψ = R2 sin ψ sin φ sin ψ cos ψ berechnet. Diese Vektoren zeigen aber gerade zum Nullpunkt hin, d.h. die Parametrisierung ϕ ist negativ. ls ein erstes Beispiel wollen wir einmal das Vektorfeld G(x, y, z) := y x + x y + z z über die Kugeloberfläche integrieren. Dann haben wir G(φ, ψ) φ R sin φ sin ψ = R 2 sin ψ R cos φ sin ψ ψ R cos ψ cos φ sin ψ sin φ sin ψ cos ψ = R 3 (sin(2φ) sin 3 ψ + sin ψ cos 2 ψ) für alle (φ, ψ), also wird der luß von G durch die Kugeloberbläche zu y x d(x, y, z) = R 3 (sin(2φ) sin 3 ψ + sin ψ cos 2 ψ) d(φ, ψ) z [,2π] [,π] ( = 2πR 3 cos3 π) ψ 3 = 4 3 πr3 da 2π sin(2φ) dφ = ist. Das Vorzeichen wurde dabei entfernt da unsere Parametrisierung ϕ von negativ ist. ls ein zweites Beispiel nehmen wir das Vektorfeld G(x, y, z) := x x + 2y y z z. Der Integrand ergibt sich diesmal als G(φ, ψ) φ = R 3 ((cos 2 φ + 2 sin 2 φ) sin 3 ψ cos 2 ψ sin ψ) ψ = R 3 (( + sin 2 φ) sin 3 ψ cos 2 ψ sin ψ) und wegen ( 2π ) 2π ( + sin 2 φ sin φ cos φ φ) dφ = 2π + 2 = 3π, π π sin 3 ψ dψ = sin ψ sin ψ cos 2 ψ dψ = cos3 ψ cos ψ 3 π cos 2 ψ sin ψ dψ = cos3 π ψ 3 = π = 4 3,

10 Mathematik für Physiker III, WS 22/23 reitag 8. wird das vektorielle lächenintegral insgesamt zu x 2y d(x, y, z) = 8 3 πr3. z Wie schon im vorigen bschnitt beim lächenintegral erster rt dehnen wir jetzt auch die Definition des vektoriellen lächenintegrals auf beliebige, also aus mehreren lächenstücken zusammengesetzte, lächen aus. Der einzige Unterschied zum skalaren all ist, dass wir in der vektoriellen Version orientierte lächenstücke zusammensetzen müssen. Definition 8.7: Eine orientierte läche R 3 ist ist eine Vereinigung =... r endlich vieler orientierter lächenstücke i mit Parametrisierung ϕ i für i r so, dass ϕ i ( j ) für alle i, j r mit i j stets eine Jordansche Nullmenge ist. Ist G : R 3 dann ein stetiges Vektorfeld, so wird das lächenintegral zweiter rt von G über als r G(x) dx := G(x) dx i definiert. Es gibt einen besonders wichtigen Spezialfall der vorigen Definition, der nun auch noch einen eigenen Namen erhält. Dieser liegt vor wenn die orientierte läche der Rand eines Körpers im R 3 ist. nschaulich ist dann klar, dass für jeden Punkt p = in dem einen Tangentialraum hat, einer der beiden Normalenvektoren auf in p aus dem Körper herauszeigt und der andere nach hineinzeigt. Die läche soll dann so orientiert sein, dass für jeden solchen Punkt p als n(p) gerade der aus herauszeigende Normalenvektor gewählt wird. Streng genommen ist dies eigentlich keine mathematische Definition, da man hierzu wirklich beweisen müsste das stets einer der Normalenvektoren nach hinein und der andere aus heraus zeigt. Schlimmer noch man müsste erst einmal definieren was nach hineinzeigen beziehungsweise aus heraus zeigen überhaupt bedeutet. Da wir, wie schon mehrfach erwähnt, hier hauptsächlich an rechnerischen ragen interessiert sind, wollen wir auf derartige Probleme nicht eingehen, in allen Beispielsituation wird immer völlig klar sein welcher der aus dem Körper herauszeigende Normalenvektor ist. Definition 8.8: Wir nennen eine kompakte, Jordan-meßbare Teilmenge B R 3 einen Standardkörper wenn B = U für eine offene, zusammenhängende Menge U R 3 gilt und der Rand B von B eine läche im R 3 ist. Dann können wir B als eine orientierte läche auffassen indem jedes der einzelnen lächenstücke in B mit aus B herauszeigenden Normalenvektor orientiert wird. Ist weiter G : B R 3 ein stetiges Vektorfeld, so definieren wir das Oberflächenintegral von G über den Rand von B als G(x) dx := G(x) dx. B i= 22- B

11 Mathematik für Physiker III, WS 22/23 reitag 8. Beachte das hier kein wirklich neuer Integraltyp definiert wird, das Symbol soll nur explizit darauf hinweisen das die betrachtete läche geschlossen, also Rand eines Standardkörpers, ist. Unsere beiden obigen Beispiele können wir dann auch als Oberflächenintegrale für die Kugel B = B R () schreiben, also B B y x + x y + z z d(x, y, z) = 4 3 πr3 und x x + 2y y z z d(x, y, z) = 8 3 πr3. 9 Rotation und Divergenz In diesem Kapitel wollen wir die verschiedenen klassischen Integralsätze, also den Gaußschen Divergenzsatz im R 2 und im R 3, den Satz von Stokes und die Greensche ormel im R 2 besprechen. ll diese Sätze stellen Zusammenhänge zwischen Riemannintegralen im R 2 und im R 3 und zwischen vektoriellen Kurvenintegralen und vektoriellen lächenintegralen her. Wir werden keine vollständigen Beweise dieser Sätze angeben, sondern uns auf Plausibilitätsbetrachtungen und den Beweis von gut handhabbaren Spezialfällen beschränken. Dies liegt zum einen daran das die Beweise dieser Sätze technisch etwas unangenehm werden wenn man auch etwas irreguläre lächen mit Kanten erfassen will, wie zum Beispiel den Rand eines Würfels, und zum anderen daran das wir im vorigen Kapitel teilweise beweistechnisch etwas unpraktische Definitionen und für das Oberflächenintegral sogar eine nicht wirklich exakte Definition gegeben haben. Es wird in diesem Kapitel sogar noch eine weitere Definition dieser rt hinzukommen. uf Grundlage derartiger Definitionen ist damit sowieso kein exakter Beweis möglich. ür das Verständnis der Integralsätze ist all das unproblematisch, da die anschauliche Bedeutung auch der nicht exakt definierten Begriffe klar ist. Wenn man den schon im vorigen Kapitel erwähnten allgemeineren Zugang über die Integration von Differentialformen verwendet, so stellt sich heraus das alle unsere Integralsätze tatsächlich Spezialfälle eines einzigen allgemeinen Satzes sind. Insofern wäre ein Beweis der Einzelsätze auch noch etwa unökonomisch. 9. Die Greensche ormel Wir beginnen mit der sogenannten Greenschen ormel im R 2. Diese handelt von der sogenannten Rotation von stetig differenzierbaren Vektorfeldern im R 2, und wir müssen zunächst einmal klären was die Rotation eines Vektorfelds sein soll. Dabei wollen wir nicht gleich mit der exakten Definition beginnen, sondern zunächst einmal ihre geome- 22-

12 Mathematik für Physiker III, WS 22/23 reitag 8. trische Bedeutung behandeln. Es sei also ein stetig differenzierbares Vektorfeld = f x + g y auf einer offenen, zusammenhängenden Menge U R 2 gegeben. Weiter betrachten wir erst einmal einen einzelnen Punkt p U und wollen die einführen was die Rotation des Vektorfelds um den Punkt p ist. Wir betrachten dann eine stückweise C -Kurve γ in U, die ihr Inneres R 2 einmal im Gegenuhrzeigersinn umläuft. Wir nehmen dabei an, dass p U ist, denn ist γ ausreichend nahe bei p, so liegen auch alle von γ umlaufenen Punkte innerhalb der offenen Menge U. Die Zirkulation C() des Vektorfelds um die Menge beschreibt wie sich um den Rand von, also die Kurve γ, herumdreht. Dabei wird Zirkulation im Gegenuhrzeigersinn als positiv und Zirkulatiom im Uhrzeigersinn als negativ gezählt. C() > C() < Um diese Zirkulation zu ermitteln, bestimmen wir in jedem Punkt p = γ(t) auf dem Rand von die Stärke des Vektorfelds (p) in p tangential zur Kurve γ, d.h. wir bilden das Skalarprodukt G(p) γ (t) = (γ(t)) γ (t). Dieses Skalarprodukt gibt uns den Beitrag zur Zirkulation im Punkt p und durch Integration längs der gesamten Kurve erhalten wir die Zirkulation C() von um. ndererseits ist unser Skalarprodukt auch gerade der Integrand aus der Definition des Kurvenintegrals (t) dt in 7.3, wir γ können die Zirkulation C() also als das vektorielle Kurvenintegral C() := (t) dt definieren. Setzen wir die Zirkulation C() nun in Relation zur läche von, bilden also den Quotienten C()/ vol(), so ergibt sich die relative Dichte der Zirkulation von in der Menge. Die Rotation von im Punkt p soll dann die Zirkulationsdichte von in p sein, also der Grenzwert C() rot (p) = lim p vol(), γ 22-2

13 Mathematik für Physiker III, WS 22/23 reitag 8. wobei der Grenzwert über sich auf den Punkt p zusammenziehende Mengen gebildet wird. Dies ist natürlich noch keine formale Definition, solch einen Grenzwert haben wir bisher weder definiert noch seine Existenz eingesehen. Diese Beschreibung soll uns nur die geometrische Bedeutung der Rotation rot (p) geben, es handelt sich um die Zirkulationsdichte von im Punkt p. ls nächsten Schritt werden wir uns überlegen wie sich dieser Grenzwert berechnen läßt, das Ergebnis wird ein recht einfacher usdruck in den Komponenten f und g von sein, den wir dann als die formale Definition der Rotation verwenden werden. 22-3