Mathematik für Ingenieure A III Wintersemester 2008

Transkript

1 1 / 35 Mathematik für Ingenieure A III Wintersemester 28 J. Michael Fried Lehrstuhl Angewandte Mathematik III

2 2 / 35 Wiederholung Divergenz und Rotation Gradient und Laplace-Operator Merkregeln Rechenregeln und Eigenschaften von Div und Rot

3 3 / 35 Orientierung von Flächen Eine Fläche S R 3 heißt zweiseitig oder orientierbar, wenn man eindeutig von einer Ober- und Unterseite bzw. einer inneren und äußeren Seite sprechen kann. Für glatte Flächen legt man die Orientierung durch die Flächennormale fest: n := ± x u x v x u x v n heißt auch der Normaleneinheitsvektor.

4 4 / 35 Orientierung von Flächen Umlaufsinn einer geschlossenen doppelpunktfreien Kurve K S: Rechtsschraube oder Linksschraube bezüglich n. Eine stückweise glatte Fläche heißt zweiseitig oder orientierbar, wenn sich die Oberseiten der glatten Flächenstücke S i so festlegen lassen, dass sich der Umlaufsinn über die Kanten S i S j hinweg stetig fortsetzt.

5 Orientierung von Flächen 5 / 35

6 Der Gaußsche Integralsatz Satz: G R 3 sei ein regulärer Bereich mit der Oberfläche S. Die Parameterdarstellungen x(u, v) der Flächenstücke seien so gewählt, dass die Flächennormale n = ± x u x v x u x v bezüglich des Bereichs G nach außen zeigt. Ist V : G R 3 ein Vektorfeld, das auf einer offenen Menge G G stetige partielle Ableitungen erster Ordnung besitzt, so gilt (div V)dV = ( V n)ds G S 6 / 35

7 7 / 35 Beispiel 1 S sei die Oberfläche der Halbkugel. und G = x y z R 3 x 2 + y 2 + z 2 1,z V(x,y,z) = 3xz 2 + y 3 y 3 + xz 3x 2 z y

8 8 / 35 Beispiel 1 Zu berechnen ist das Flächenintegral ( V n)ds = V dds S S Wegen div V = 3z 2 + 3y 2 + 3x 2 folgt aus dem Gaußschen Integralsatz ( V n)ds = (div V)dV S = 3 G G (x 2 + y 2 + z 2 )d(x,y,z)

9 9 / 35 Beispiel 1 Mit Kugelkoordinaten x = r sinψ cosϕ y = r sinψ sinϕ z = r cosψ erhält man nach der Substitutionsregel r 1, ψ π 2, ϕ 2π

10 Beispiel 1 1 π 2 2π ( V n)ds = 3 r 2 r 2 sin ψ dϕdψdr S = 6π 1 π 2 1 = 6π r 4 dr r 4 sin ψdψdr = 6π 5 1 / 35

11 11 / 35 Beispiel 2 Für die Kugeloberfläche x S = y R 3 x 2 + y 2 + z 2 = 1 z soll das Oberflächenintegral f ds mit dem Skalarfeld S f (x,y,z) = (x + y + z) 2 berechnet werden.

12 12 / 35 Beispiel 2 Den Gaußschen Integralsatz kann man anwenden, wenn man das Skalarfeld in der Form f = V n mit der Flächennormale der Kugeloberfläche darstellen kann. Wie bei der Parameterdarstellung der Sphäre schon früher berechnet, ist x u x v und damit n ein Vielfaches des Ortsvektors x so, dass n = 1. Da aber x auf der Oberfläche der Einheitskugel liegt, ist x = 1 und damit n = x.

13 Beispiel 2 Für das Vektorfeld V muss also gelten oder V n = V x = f ( x) V n = V 1 x + V 2 y + V 3 z = (x + y + z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2xz + 2yz = (x + 2y)x + (y + 2z)y + (z + 2x)z 13 / 35

14 14 / 35 Beispiel 2 Das Vektorfeld mit der Divergenz V(x,y,z) = x + 2y y + 2z z + 2x erfüllt diese Bedingung. div V = = 3

15 Beispiel 2 Nach dem Gaußschen Integralsatz gilt daher f ds = V nds = 3dV = 3 dv S S G Das Volumen der Einheitskugel ist G dv = 4π 3 und damit fds = 4π. S G 15 / 35

16 16 / 35 Der Satz von Stokes In der Strömungslehre heißt das Integral V dk eines Geschwindigkeitsfelds V längs einer geschlossenen Kurve K die Zirkulation des Feldes längs K. Physikalische Bedeutung: Wegen V dk = V TdK S S S wird die skalare Tangentialkomponente von V längs K aufintegriert.

17 17 / 35 Der Satz von Stokes S V dk = S (rot V n)ds

18 Der Satz von Stokes Satz: (Stokesscher Integralsatz) S R 3 sei eine stückweise glatte zweiseitige Fläche. Der Rand S von S sei eine stückweise glatte geschlossene Kurve ohne Doppelpunkte. Der Umlaufsinn sei so gewählt, dass beim Durchlaufen des Randes die Fläche S links liegt und dass er mit dem Normaleneinheitsvektor eine Rechtsschraube bildet. Ist V : G R 3 ein Vektorfeld, das auf einer offenen Menge G R 3 mit S G stetige partielle Ableitungen 1. Ordnung besitzt, so gilt V dk = (rot V n)ds S S 18 / 35

19 Beispiel 1 Das Geschwindigkeitsfeld einer turbulenten Strömung auf dem Zylinder x 2 + y 2 = 1 sei V(x,y,z) = y 3 x 3 z 3 Zu berechnen ist die Zirkulation von V längs der Schnittkurve S des Zylinders mit der Ebene x + y + z = / 35

20 Beispiel 1 Die zugehörige Fläche S ist die Menge der Punkte (x,y,z) mit x 2 + y 2 1 und x + y + z = 1: S = { x y 1 x y (x,y) G} mit dem Einheitskreis G = {(x,y) x 2 + y 2 1}. 2 / 35

21 21 / 35 Beispiel 1 1. Methode: Direkte Berechnung des Kurvenintegrals. Der Rand S besitzt die Parameterdarstellung S = { k(t) = cost sint 1 cost sint t 2π} Also ist S V 2π dk = V( k(t)) k(t)dt

22 Beispiel 1 2. Methode: Anwendung des Satzes von Stokes. Die Fläche S ist ein Graph mit h(x,y) = 1 x y und dem Normalenvektor x x x y = h x h y 1 = der in die richtige Richtung zeigt. Ferner ist rot V = V = 3 x 2 + y / 35

23 23 / 35 Beispiel 1 Folglich ist V dk = S = (rot V n)ds S G rot V ( x x x y )d(x,y) = 3 (x 2 + y 2 )d(x,y) G = 3 2 π

24 24 / 35 Beispiel 2 Zu berechnen ist (rot V n)ds, über die Oberfläche der S Halbkugel S = und das Vektorfeld x y z R 3 x 2 + y 2 + z 2 = 1,z V(x,y,z) = y 2z 3x wobei die Flächennormale n = x nach oben zeigt.

25 25 / 35 Beispiel 2 Der Rand besitzt die Parameterdarstellung cost S = k(t) = sint t 2π

26 26 / 35 Beispiel 2 Nach dem Stokesschen Integralsatz ist S (rot V n)ds = = = V 2π dk = V( k(t)) k(t)dt S 2π 2π = 1 2 = π sint 3cost ( sin 2 t)dt = 1 2 sint cost 2π dt (1 cos(2t))dt [t 12 ] 2π sin(2t) = 1 2 2π

27 27 / 35 Beispiel 2 Bei diesem speziellen Beispiel gibt es noch eine einfachere Berechnungsmethode. Der Stokessche Satz besagt nämlich, dass der Wert des Flächenintegrals nur vom Rand S und den Werten des Vektorfeldes auf dem Rand abhängt. Für zwei Flächen S 1 und S 2 mit gleichem Rand S und gleicher Orientierung gilt nämlich (rot V n)ds = S 1 S V dk = (rot V n)ds S 2

28 Beispiel 2 Anstelle des Flächenintegrals über die Halbkugeloberfläche kann man ersatzweise das Flächenintegral über die Einheitskreisscheibe in der x-y-ebene berechnen: S 2 = { x(x,y) = x y (x,y) G} mit Es ist x x = 1 G = {(x,y) R 2 x 2 + y 2 1}, x y = 1, x x x y = 1 = n 28 / 35

29 29 / 35 Beispiel 2 und daher S 2 rot V nds = = G G V 2 x V 1 y 1 1 = 1 d(x,y) = π G 1 d(x,y) d(x,y) denn d(x, y) ist die Fläche der Einheitskreisscheibe. G

30 3 / 35 Der Greensche Integralsatz Der Greensche Integralsatz beinhaltet eine Aussage über zweidimensionale Bereiche und Kurven in der x-y-ebene. Für das Kurvenintegral im R 2 verwenden wir das für den R 3 definierte Kurvenintegral, wobei z = und dz = gesetzt wird.

31 Der Greensche Integralsatz Satz: (Greenscher Integralsatz) G R 2 sei ein regulärer Bereich, dessen Rand G R 2 eine stückweise glatte geschlossene Kurve ohne Doppelpunkte ist. Die Kurve G werde so durchlaufen, dass das Innere von G zur Linken von K liegt. V(x,y) = V 1 (x,y) V 2 (x,y) sei ein Vektorfeld, das auf einer offenen Menge G G stetige partielle Ableitungen 1. Ordnung besitzt. Dann gilt G ( V2 x V ) 1 d(x,y) = V dk y G 31 / 35

32 32 / 35 Der Greensche Integralsatz Beweis: Die Aussage lässt sich auf die des Stokesschen Integralsatzes zurückführen: rot V = x y z V 1 V 2 n = = 1 V 2 x V 1 y

33 33 / 35 Der Greensche Integralsatz Dem Bereich G R 2 entspricht die Fläche x S = y (x,y) G so dass G V dk = S rot V nds = G ( V2 x V ) 1 d(x, y) y

34 34 / 35 Beispiel Für das Vektorfeld 1 3 (y3 x 3 )x 2 V(x,y) = x 3 y 2 und die nebenstehend abgebildete Kurve berechne man V dk K

35 35 / 35 Beispiel Mit und ergibt sich G = {(x,y) R 2 1 x 1, 1 y 1} K V 2 x = 3x2 y 2, V 1 y = x2 y 2 V dk = = 2 2x 2 y 2 d(x,y) G 1 ( = [ x y x 2 y 2 dx 1 ] 1 dy 1 ) dy = y 2 dy = 8 9