Ist C eine Kurve mit Anfangspunkt a und Endpunkt b und f eine stetig differenzierbare Funktion, grad f( r ) d r = f( b) f( a).

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1 KAPITEL 5. MEHRDIMENSIONALE INTERATION. Berechnung Integralsätze in R Hauptsatz für Kurvenintegrale wegunabhängig radientenfeld Integrabilitätsbedingung Hauptsatz für Kurvenintegrale a b Ist eine Kurve mit Anfangspunkt a und Endpunkt b und f eine stetig differenzierbare Funktion, so ist grad f( r ) d r f( b) f( a). grad f( r ) kann man natürlich durch f ( r ) ersetzen. Ist eine zweite Kurve mit gleichem Anfangspunkt a und Endpunkt b, so ist grad f( r ) d r grad f( r ) d r, das Kurvenintegral ist also wegunabhängig. Ein Kriterium dafür, daß ein gegebenes Vektorfeld v ein radientenfeld oder Potentialfeld ist, d.h. daß es ein Potential f gibt mit v grad f, ist Integrabilitätsbedingung: Ist sternförmiges ebiet und gilt für das Vektorfeld v (P, Q) die Bedingung P Q, so gibt es ein Potential f, das nach den Methoden von Kapitel 4.8 berechnet werden kann. Ist insbesondere v ein Potentialfeld und eine geschlossene Kurve, ist v d r. Beispiel : d r mit der Kurve {(sin t, t) t π} π Die Integrabilitätsbedingung ist erfüllt: mit P und Q ist P Q. Damit gibt es ein Potential f. Mit der Hinguckmethode aus Kapitel 4.8 erkennt man, daß f(, ) ein Potential ist. Die Kurve hat den Anfangspunkt (, ) und den Endpunkt (, π). Da- mit ist v( r ) d r f(, π) f(, ) 8 π. Alternativ läßt sich das auch mit Hilfe der Wegunabhängigkeit des Integrals berechnen: statt über die komplizierte Kurve zu integrieren, berechnet man das Integral über {(, t) t π}, also über das Stück der -Achse zwischen

2 5.5. INTERALSÄTZE Anfangs- und Endpunkt. Aus φ(t) v( r ) d r π, t π und φ t t t dt 8 π. folgt (Erster) Satz von auß, Divergenzsatz Sei R ein ebiet mit Randkurve und äußerem Normalenvektor. v sei ein Vektorfeld. v( r ) ds div v d(, ). (Erster) Satz von auß Divergenzsatz Eine andere Schreibweise für das Integral auf der linken Seite ist ) Abschnitt. Die Divergenz von v ( v v v( r ) d, vgl. ist div v v + v v + v. In Anwendungen wird die Divergenz als Quellenstärke des Vektorfeldes betrachtet. Dann hat der außsche Satz die Interpretation Der Fluß des Vektorfelds durch die Randkurve des ebiets ist gleich dem Integral der Quellstärke im Inneren. Ist insbesondere die Divergenz des Vektorfelds null, verschwindet das Integral über jede geschlossene Kurve. Divergenz Beispiel : Der Fluß von v(, ) Radius um den Ursprung. durch den Rand des Kreises mit r Der Normalenvektor, der senkrecht auf der Kreislinie steht, hat dieselbe Richtung wie der Ortsvektor r. Da dieser Vektor den Betrag zwei hat, erhält man. Den Kreis parametrisiert man natürlich wie in 5. mit φ(t) cos t sin t und

3 KAPITEL 5. MEHRDIMENSIONALE INTERATION φ t. Dann wird mit cos 4 t dt 8 t + 4 v d ds π ( 8 cos ) t sin t + sin 4t cos t dt sin t π 6 cos 4 t dt π. Mit dem außschen Satz berechnet man div v + und damit v d d(, ). Unter Verwendung von Polarkoordinaten ist dieses Integral K π ϕ r r cos ϕ r dr dϕ r4 4 ( ϕ + 4 sin ϕ) π 4 π π. Satz von reen (Zweiter) Satz von auß Satz von reen oder Zweiter Satz von auß Sei R ein ebiet mit Randkurve, P (, ) und Q(, ) seien stetig differenzierbare Funktionen. Dann ist P d + Q d (Q P ) d(, ). Mit v P Q v v schreibt man das auch als v( r ) d r (v v ) d(, ). Beispiel : (e ) d + (sin + ) d. Dabei ist das ebiet zwischen den raphen von und 4. Die Randkurve besteht aus den beiden Teilen 4 und.( Der ) Teil läßt sich parametrisieren mit t φ(t) t mit t. Statt mit läßt( sich ) einfacher mit der Kurve arbeiten: t φ(t) mit t. 4 Beim Berechnen des entsprechenden Kurvenintegrals wird die Regel angewandt. Das Kurvenintegral berechnet sich nun als P d + Q d (P d + Q d) (P d + Q d)

4 5.5. INTERALSÄTZE [ (e t t ) + (sin t + t)(t) ] dt [ (e t 4) + (sin 4 + t) ] dt (e t t + t sin t + t e t + 4) dt [ t cos t + 4t ] Mit dem zweiten Satz von auß erhält man P und Q und damit P d + Q d (Q P ) d(, ) ( ( )) d(, ) 4 d d 8 d [ 8 ] 64. Sektorformel Im Spezialfall Q und P erhält man Q P. Damit läßt sich die Fläche des ebiets als Integral über die Randkurve berechnen: Sektorformel Vol () d d. Natürlich kann man auch andere Vektorfelder mit dieser Eigenschaft verwenden, z.b. Q und P oder Q und P. Beispiel 4: Der Flächeninhalt des ebiets aus Beispiel. Mit den oben angegebenen Parametrisierungen erhält man Vol () ( d d) ( d d) und damit Vol (). [(t t t ) ( 4 )] dt t + 4 dt [ t + 4t] 64.

5 4 KAPITEL 5. MEHRDIMENSIONALE INTERATION reensche Formel Satz von reen Satz von reen, reensche Formel Sei R ein ebiet mit Randkurve und äußerem Normalenvektor, g und h seien zweimal stetig differenzierbare Funktionen. Dann ist ( h g h ) ds (g h h g) d(, ). Dabei ist der Laplaceoperator, f f + f und von g in Richtung, also grad g. Es ist die Richtungsableitung ds der Fluß des Vektorfeldes grad g durch die Kurve, also ds grad g d. Spezialfälle Zwei Spezialfälle: Für h(, ) ist ds g d(, ). Ist g eine harmonische Funktion, also g, so ist ds. Beispiel 5: Das Integral von g +. über den Rand R des Einheitskreises K für enau wie in Beispiel ist ( der ) Normalenvektor im Punkt (, ) des Einheitskreises + wieder. Daraus folgt Damit ist R ds grad g (, ) R ds π 4π. +. Andererseits ist g + 4 und g d(, ) 4Vol (K) 4π. K