Vorschau: Eine komplexe Funktion sei nur von der Kombination. und "komplex differenzierbar" ( existiert) in. Dann gelten (u.a.):

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1 C8: Komplexe Analysis (KA) Saff & Snyder, Fundamentals of Complex Analysis", Prentice Hall, Motivation: Differenzieren und Integrieren in der komplexen Ebene Vorschau: Eine komplexe Funktion sei nur von der Kombination abhängig, Realteil Imaginärteil Cauchy und "komplex differenzierbar" ( existiert) in. Dann gelten (u.a.): - Cauchy-Riemann-Gleichungen: - Geschlossene Linienintegrale in liefern 0: - Integralsatz von Cauchy: - "Residuen-Satz": Sei (verallgmeinerte Taylor- Reihe, mit Divergenz bei ) dann: Wichtige Anwendung der KA in der Physik: als Hilfsmittel beim Berechnen von Integralen C8.1 Komplexe Differenzierbarkeit Definition: Eine komplexwertige Funktion einer komplexen Variable [ offen] (wichtig!) heißt "komplex differenzierbar" an der Stelle, folgender Limes existiert: (beachte Notation: totale Ableitung nach ) Anmerkung: Der Limes (2) muss unabhängig von der Richtung sein, entlang der nach Null strebt. Das ist gewährleistet, wenn von und nur in der Kombination abhängt. Kettenregel Definition: Jeder Punkt bei dem nicht existiert, ist eine "Singularität" von

2 Definition: heisst "analytisch" auf differenzierbar ist., in ganz komplex Anmerkung zur Nomenklatur: Manche Autoren nennen eine Funktion "holomorph" in sie (1) erfüllt, und "analytisch" in, ihre Taylor-Entwicklung überall in konvergiert. Man kann zeigen, dass eine komplexe Funktion genau dann holomorph ist, wenn sie analytisch ist. Deswegen verzichten wir hier auf eine Unterscheidung. Beispiele für analytische Funktionen: sind analytisch auf ist analytisch auf [das ganze, ausser ] Beispiele für nicht-analytische Funktionen: hängt nicht nur von sondern auch von ab, ist nicht eine analytische Funktion von denn Limes ist nicht eindeutig: Ableitungsregeln für analytische Funktionen (wie im Reellen): (i) Linearität: (ii) Produktregel: Folgerung: [Abl. v. Polynomen wie im Reellen] (iii) Quotientenregel: (iii) Kettenregel: Komplexe Differenzierbarkeit ist viel stärkere Bedingung als reelle Differenzierbarkeit. Wir diskutieren nur einige ihrer weitreichenden Folgen für analytische Funktionen.

3 Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen Schreibe Cauchy Riemann Also: sei komplex differenzierbar, dann gilt: Aber aus (2) folgt: und auch: Laut (4) ist (5) = (6): Cauchy-Riemann- Differentialgleichungen: Folgerung: komplexe Differenzierbarkeit Cauchy-Riemann-Gleichungen (CRG) Beispiel: Gelten CRG? [also gilt (e.9)] [also gilt (e.8)]

4 Umkehrschluss gilt auch: Cauchy-Riemann-Gl. komplexe Differenzierbarkeit: Satz: Sei eine komplexe Abbildung, mit d.h. Falls stetig differenzierbar sind für und die Cauchy-Riemann-Gl. erfüllen, ist komplex differenzierbar an der Stelle. Begründung: (Optional) Schreibe mit Taylor für u: (C5.10.4) Taylor für v: (C5.10.4) (4+5) -(4+5) : Nutze CRG, um (f.6): durch zu ersetzen: CRG: Es geht auch anders herum: nutze CRG, um durch zu ersetzen: (f.6): CRG: Fazit: ist komplex differenzbierbar in bei!!

5 Anmerkung: sind beide Abbildungen Folgerung aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen: Die Höhenlinien dieser Abbildungen (1) sind orthogonal zu einander: Begründung: Höhenlinien von sind (entlang denen konstant): (siehe V3f.6) Höhenlinien von sind (entlang denen konstant): = konstant = konstant CRG: Weitere Folgerung: eine analytische Funktion definiert [via (1)] eine "konforme" ("winkeltreue") Abbildung zwischen den Koordinatensystemen und C8.2 Integration im Komplexen Hauptsatz der Analysis für komplexe Funktionen einer reellen Variable: Sei Variable eine komplexwertige, stetige Funktion einer reellen, mit Stammfunktion, d.h., dann [genau wie im Reellen] Triviales Beispiel: Integration einer Funktion einer komplexen Variable,, entspricht einem Linienintegral in der komplexen Ebene. Dafür benötigen wir folgende Begriffe: Definition: Eine Menge (oder auch ) heißt "Gebiet" (nicht leer) und "zusammenhängend" ist (d.h. je zwei Punkte können durch eine stetige Kurve verbunden werden). Definition: ein Gebiet ist "einfach zusammenhängend", sich jeder geschlossene Weg zu einem Punkt zusammenziehen lässt.

6 Definition: Komplexes Wegintegral (oder "Kontur-Integral") Sei eine glatte, gerichtete Kurve in einem zusammenhängenden Gebiet parametrisiert durch die reelle Variable : Ferner sei Das "komplexe Wegintegral von eine stetige Funktion auf dem Gebiet entlang " ist wie folgt definiert: (V1m.6) Parametrisierung: Kann gezeigt werden: Wegintegral ist unabhängig von der Parametrisierung (d.h. eine andere Parametrisierung des selben Weges liefert dasselbe Ergebnis). Einfaches Beispiel 1: Einfaches Beispiel 2: kein Zufall, siehe Seite C8.2e!

7 Wichtiges Beispiel: Kreisintegral v. um den Ursprung herum sei Kreis in, mit Radius, Mittelpunkt bei : Substitution: In diesem Beispiel hat das komplexe Wegelement folgende Form: Beachten: sind i.a. alle Funktionen des Kurvenparameters (hier ), d.h. sie ändern sich entlang der Kurve! Wegunabhängigkeit: Satz: in, d.h. sei stetig und dessen Stammfunktion existiere überall Dann gilt für jede glatte Kontur mit Anfangspunkt und Endpunkt Ergebnis hängt nur von den Anfangs- und Endpunkten ab, nicht vom Weg dazwischen! [Beispiel: (c.4) = (c.8)] Begründung: Parametrisiere Weg mit Dann Kettenregel (4) ermöglicht Interpretation für Wegintegral als Summe:

8 Definition: Eine "zusammengesetzte Kontur" bestehe aus glatten, gerichteten Teilstücken. Das Wegintegral einer auf stetigen Funktion ist definiert durch: Satz (e.2) gilt für jedes Zeilstück, also auch für zusammengesetzte Kontur: Korollar [mit denselben Voraussetzungen wie (e.2)]: Für einen geschlossenen Weg ist Anfangspunkt = Endpunkt: Beispiel: (2d.4b) für [Für nämlich, (d.4a), sind Voraussetzungen v. (d.2) nicht erfüllt, da die Stammfunktion von, nicht überall auf einem geschlossenem Weg um 0 herum existiert.] Falls analytisch ist, läßt sich (3) zeigen auch ohne Verweis auf die Stammfunktion, und zwar mittels Satz. von Cauchy: Satz v. Chauchy: Sei ein einfach zusammenhängendes Gebiet, (C8.1e.2) eine analytische Funktion auf eine stetige, geschlossene Kurve in Dann gilt: Begründung: Interpretiere (5) als reelles Wegintegral in der x-y-ebene, entlang dem Weg Realteil v. (5): Imaginärteil v. (5):

9 (V1m.6) (V1m.6) Schreibe diese Wegintegrale mittels Stokes als Flussintegrale, über die von eingeschlossene Fläche (nenne sie ) in der x-y-ebene, mit (ZV4.3b.1) (ZV4.3b.1) CRG (C8.1e.9): CRG (C8.1e.8): Wir durften Cauchy-Riemann-Gleichungen (C8.1e.8-9) nutzen, da auf analytisch ist! Beispiel: denn der Integrand ist überall analytisch ausser bei, d.h. überall analytisch in einem Gebiet, das enthält, also gilt der Satz v. Cauchy, (2g.3). Faustregel: geschlossenes Wegintegral verschwindet, "innerhalb des Wegs" (= "im vom Weg eingeschlossenen Gebiet")! analytisch ist Korollar aus Satz v. Cauchy (mit denselben Voraussetzungen): Verschiedene Wegintegrale mit demselben Start- und Endpunkt sind gleich: Begründung: bildet geschlossenen Weg, also:

10 Zusammenfassung: C8.1-2 Analytische Funktionen I Def: Komplexe Funktion ist analytisch in, überall in existiert. Cauchy-Riemann- Differentialgleichungen (CRG): Def: Komplexes Wegintegral: Substitution: Wichtiges Beispiel: Satz v. Cauchy: analytisch ist auf einfach zusammenhängendem Gebiet, gilt: Geschlossener Weg liefert 0: Wegunabhängigkeit: mit