EINFÜHRUNG IN DIE KOMPLEXE ANALYSIS

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1 EINFÜHRUNG IN DIE KOMPLEXE ANALYSIS WERNER MÜLLER Sommersemester 205 Inhaltsverzeichnis 0. Die komplexen Zahlen 3. Holomorphe Funktionen 6 2. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen 9 3. Potenzreihen 9 4. Elementare Funktionen Integration Stammfunktionen Der Cauchyche Integralsatz Die Cauchysche Integralformel Potenzreihenentwicklung holomorpher Funktionen Cauchysche Ungleichung und Maximumprinzip 60. Konvergenzsätze Laurentreihen Isolierte Singularitäten Der allgemeine Cauchysche Integralsatz Der Residuensatz 86 Date: Sommersemester 205.

2 2 WERNER MÜLLER Danksagung Dieses Skript ist durch die tatkräftige Unterstützung von Frau Silke Engels und Frau Monika Barthelme zustande gekommen, die große Teile geschrieben haben. Insbesondere hat Frau Barthelme die schönnen Illustrationen erstellt. Herr Dr. Clemens Kienzler hat durch viele Hinweise wesentlich zur Verbesserung des Skriptes beigetragen. Ihnen allen gilt mein herzlicher Dank. Hinweis Das Skript wurde zwar Korrektur gelesen. Es ist aber nicht ausgeschlossen, dass es noch Fehler enthält. Tippfehler und Korrekturen bitte an schicken.

3 KOMPLEXE ANALYSIS 3 0. Die komplexen Zahlen Die Grundlage der komplexen Analysis bildet der Körper der komplexen Zahlen C. Ich erinnere kurz an die Definition der komplexen Zahlen und einige ihrer Eigenschaften. Eine ausführliche Darstellung findet man z.b. in dem Buch Analysis I von Königsberger. Definition und Eigenschaften Wir führen in R 2 eine Addition und Multiplikation wie folgt ein: () (x, y ) + (x 2, y 2 ) = (x + x 2, y + y 2 ), (2) (x, y ) (x 2, y 2 ) = (x x 2 y y 2, x y 2 + x 2 y ). Dann prüft man leicht nach, dass für R 2 mit der Addition () und der Multiplikation (2) die Körperaxiome erfüllt sind. Wir erhalten also einen Körper (R 2, +, ), den wir mit C bezeichnen. Null - und Einselement in C sind gegeben durch 0 = (0, 0), = (, 0). Wenn z = (x, y) 0, dann existiert z und ist gegeben durch ( ) z x = x 2 + y, y. 2 x 2 + y 2 Es sei j : R C definiert durch j(x) = (x, 0). Dann ist j ein Homomorphismus von Körpern und j(r) ist ein Teilkörper von C. Wir identifizieren R mit j(r) und sehen R als Teilkörper von C an. Sei i := (0, ). Dann gilt i 2 = (, 0) =. Wir nennen i die imaginäre Einheit. Mit diesen Bezeichnungen können wir eine komplexe Zahl z = (x, y) schreiben als Wir führen folgende Bezeichnung ein: x = Re(z), z = x + iy. y = Im(z). Re(z) heißt Realteil und Im(z) Imaginärteil von z. Die komplexe Konjugation z C z C ist die Spieglung an der reellen Achse. Für z = x + iy ist z = x iy. Es gelten folgende Rechenregeln: ) z + w = z + w, z w = z w. 2) z = z. 3) Re(z) = (z + z), Im(z) = (z z), 2 2i 4) z = z z R, 5) Für z = x + iy ist z z = x 2 + y 2.

4 4 WERNER MÜLLER Der Absolutbetrag z einer komplexen Zahl z = x + iy ist definiert als z := x 2 + y 2. Der Absolutbetrag hat folgende Eigenschaften. Für alle w, z C gilt: ) z 0 und z = 0 z = 0, 2) z = z, 3) w z = w z, 4) w + z w + z. Polarkoordinaten In R 2 führen wir Polarkoordinaten (r, ϕ) ein. Dabei ist r R + und ϕ [0, 2π). Für z = x + iy 0 gibt es genau ein r > 0 und einen Winkel ϕ [0, 2π), so dass x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Es ist r = z und z = r(cos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ = z e iϕ. Den Winkel ϕ nennt man das Argument von z und schreibt dafür arg(z). Topologie von C In diesem Abschnitt erinnere ich an einige Fakten, die die Topologie von C betreffen. Eine ausführliche Darstellung zur Topologie des R n findet man in dem Buch Analysis II von Königsberger. Sei z 0 und r > 0. Es sei D r (z 0 ) := {z C: z z 0 < r} die offene Kreisscheibe vom Radius r mit Zentrum z 0. Entsprechend ist die abgeschlossene Kreisscheibe gegeben durch D r (z 0 ) := {z C: z z 0 r}. Mit D r (z 0 ) bezeichnen wir den Rand der Kreisscheibe D r (z 0 ). Es gilt D r (z 0 ) = {z C: z z 0 = r}. Eine Teilmenge U C heißt offen, wenn für alle z 0 U ein r > 0 existiert, so dass D r (z 0 ) U. A C heißt abgeschlossen, wenn das Komplement A c := C \ A offen ist. K C heißt kompakt, wenn jede Überdeckung von K durch offene Teilmengen von C eine endliche Teilüberdeckung enthält. Für kompakte Mengen gibt es folgende äquivalente Charakterisierungen. Satz 0.. Es sei K C. Folgende Aussagen sind äquivalent. ) K ist kompakt. 2) K ist abgeschlossen und beschränkt.

5 KOMPLEXE ANALYSIS 5 3) Jede Folge (z j ) in K hat einen Häufungspunkt in K. 4) Jede Folge (z j ) in K hat eine konvergente Teilfolge mit lim j z ij K.

6 6 WERNER MÜLLER. Holomorphe Funktionen d. Definition.. Es sei U C offen und f : U C sei eine Funktion. f heißt in z 0 U komplex differenzierbar, wenn der Grenzwert f(z) f(z 0 ) f(z 0 + h) f(z 0 ) lim = lim z z 0 z z 0 h 0 h existiert. Dieser Grenzwert heißt Ableitung von f in z 0 und wird mit f (z 0 ) bezeichnet. Wir erinnern uns daran, dass die Existenz des Grenzwertes f(z) f(z 0 ) lim z z 0 z z 0 folgendes bedeutet: Es existiert ein a C, so dass gilt: f(z) f(z 0 ) ɛ > 0 δ > 0 z U \ {z 0 } : z z 0 < δ z z 0 Falls ein solches a existiert, ist a = f (z 0 ). Äquivalente Formulierung a < ɛ. l.2 Lemma.2. Eine Funktion f : U C auf einer offenen Menge U ist genau dann in z 0 U komplex differenzierbar, wenn eine Funktion ϕ : U C existiert mit ) ϕ ist in z 0 stetig; 2) z U : f(z) = f(z 0 ) + (z z 0 )ϕ(z). Beweis: ) Es sei ϕ : U C definiert durch Da f in z 0 komplex differenzierbar ist, gilt f(z) f(z 0 ) z z ϕ(z) = 0, z z 0 f (z 0 ), z = z 0. f(z) f(z 0 ) lim ϕ(z) = lim = f (z 0 ) = ϕ(z 0 ). z z 0 z z0 z z 0 Daher ist ϕ in z 0 stetig und nach Definition von ϕ ist f(z) = f(z 0 ) + (z z 0 )ϕ(z). ) Wenn eine in z 0 stetige Funktion ϕ : U C mit existiert, so ist für z z 0 f(z) = f(z 0 ) + (z z 0 )ϕ(z), z U,

7 KOMPLEXE ANALYSIS 7 f(z) f(z 0 ) = ϕ(z). z z 0 Da ϕ(z) in z 0 stetig ist, existiert der Grenzwert f(z) f(z 0 ) lim z z 0 z z 0 = lim z z0 ϕ(z) = ϕ(z 0 ). f.3 Folgerung.3. Wenn f : U C in z 0 U komplex differenzierbar ist, so ist f in z 0 stetig. Beweis: Da f in z 0 komplex differenzierbar ist existiert nach Lemma.2 l.2 eine in z 0 stetige Funktion ϕ : U C, so dass gilt. Daraus folgt f(z) = f(z 0 ) + (z z 0 )ϕ(z), z U, lim f(z) = f(z 0 ). z z 0 d.4 Definition.4. Sei U C offen. ) Eine Funktion f : U C heißt in z 0 U holomorph, wenn eine Umgebung U 0 U von z 0 existiert so, dass f für alle z U 0 komplex differenzierbar ist. 2) f heißt holomorph auf U, wenn f für alle z U komplex differenzierbar in z ist. Beispiele: ) f(z) = z, f : C C. Sei z 0 C. Dann ist für z z 0 f(z) f(z 0 ) z z 0 = z z 0 z z 0 =. Daher ist f in z 0 komplex differenzierbar und es gilt f (z) = für alle z C. 2) f(z) = z. Seien z, z 0 C, z z 0, und z z 0 = re iθ. Dann ist f(z) f(z 0 ) z z 0 = z z 0 z z 0 = z z 0 z z 0 = re iθ re iθ = e 2iθ. Daraus folgt, daß z z 0 z z 0 keinen Grenzwert für z z 0 haben kann. Wir haben damit ein einfaches Beispiel einer stetigen Funktion f : C C gefunden, die nirgends komplex differenzierbar ist. Einfache Eigenschaften

8 8 WERNER MÜLLER s.5 Satz.5. Seien f, g : U C in z 0 U komplex differenzierbar. Dann gilt: ) f + g ist in z 0 komplex differenzierbar und 2) fg ist in z 0 komplex differenzierbar und (f + g) (z 0 ) = f (z 0 ) + g (z 0 ). (fg) (z 0 ) = f (z 0 )g(z 0 ) + f(z 0 )g (z 0 ). 3) Sei g(z 0 ) 0. Dann ist f/g in z 0 komplex differenzierbar und Beweis: Analog zum reellen Fall. Übung! ( ) f (z 0 ) = f (z 0 )g(z 0 ) f(z 0 )g (z 0 ). g g(z 0 ) 2 s.6 Satz.6. (Kettenregel) Seien U, V C offen und f : U V, g : V C seien Funktionen. Es sei f in z 0 und g in f(z 0 ) komplex differenzierbar. Dann ist g f in z 0 komplex differenzierbar und es gilt (g f) (z 0 ) = g (f(z 0 ))f (z 0 ). Beweis: Sei w 0 = f(z 0 ). Aus Lemma l.2.2 folgt, daß eine in z 0 stetige Funktion ϕ : U C und eine in w 0 stetige Funktion ψ : V C existieren so, daß f(z) = f(z 0 ) + (z z 0 )ϕ(z), z U, g(w) = g(w 0 ) + (w w 0 )ψ(w), w V. Weiter ist ϕ(z 0 ) = f (z 0 ) und ψ(w 0 ) = g (w 0 ). Daraus folgt (g f)(z) = g(f(z)) = g(f(z 0 )) + (f(z) f(z 0 ))ψ(f(z)). (.) = g(f(z 0 )) + (z z 0 )ϕ(z)ψ(f(z)). Nach Folgerung.3 f.3 ist f stetig in z 0. Daher ist ψ(f(z)) in z 0 stetig. Hieraus folgt, daß die Funktion z ϕ(z)ψ(f(z)) in z 0 stetig ist. Aus (.). und Lemma.2 l.2 folgt damit, daß (g f)(z) in z 0 komplex differenzierbar ist und es gilt (g f) (z 0 ) = ϕ(z 0 )ψ(f(z 0 )) = f (z 0 )g (f(z 0 )). d.7 Definition.7. Seien U, V C offen. Die Abbildung f : U V heißt biholomorph, wenn gilt: ) f ist bijektiv. 2) f und f sind holomorph.

9 s.8 Satz.8. f : U V ist genau dann biholomorph, wenn gilt: ) f ist holomorph und f (z) 0 für alle z U. 2) f ist bijektiv. 3) f ist stetig. Wenn f : U V biholomorph ist, so ist (f ) (f(z)) = f (z), z U. Beweis: Übung! KOMPLEXE ANALYSIS 9 s.9 Satz.9. ) Jedes Polynom p(z) = n i=0 a i, z i ist eine holomorphe Funktion p : C C. 2) Es seien p(z), q(z) Polynome, q(z) 0, und U = {z C q(z) 0}. Dann ist p(z)/q(z) holomorph auf U. 2. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen Es sei U C offen und f : U C. Wir identifizieren C mit der reellen Ebene R 2 mittels der Abbildung z = x+iy (x, y) und betrachten f als Funktion von (x, y). Wir erinnern uns daran, daß f : U C in z U reell differenzierbar ist genau dann, wenn eine R-lineare Abbildung T : C C existiert so, daß gilt: f(z + h) f(z) T (h) 2. (2.) lim h 0 h Dann ist T = df(z) das Differential von f in z. Wenn f : U C in z U komplex differenzierbar ist, so existiert f (z) und es gilt = 0. f(z + h) f(z) f (z) h 2.2 (2.2) lim h 0 h Es sei T : C C definiert durch = 0. T (h) = f (z) h, h C. Aus ( 2.2) 2.2 folgt, daß mit diesem T ( 2.) 2. gilt, d.h., f : U C ist reell differenzierbar und für df(z) gilt df(z)(h) = f (z) h. Es seien u, v : U R definiert durch Dann ist u(x, y) = Re f(x + iy), v(x, y) = Im f(x + iy), (x, y) U. 2.3 (2.3) f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y).

10 0 WERNER MÜLLER Wenn f in z 0 = x 0 + iy 0 komplex differenzierbar ist, so haben wir eben gesehen, dass f in (x 0, y 0 ) reell differenzierbar ist. Da die komplexe Konjugation eine lineare Abbildung von C ist, folgt aus der Kettenregel, dass f in (x 0, y 0 ) reell differenzierbar ist. Daraus folgt, dass u = f + f und v = f f 2 2i in (x 0, y 0 ) reell differenzierbar sind. Insbesondere existieren in (x 0, y 0 ) die partiellen Ableitungen Es sei h R. Dann ist Ebenso ist u x = u x, u y = u y, f (z 0 ) = lim h 0 f(z 0 + h) f(z 0 ) h v x = v x, v y = v y. u(x 0 + h, y 0 ) u(x 0, y 0 ) v(x 0 + h, y 0 ) v(x 0, y 0 ) = lim + i lim h 0 h h 0 h = u x (x 0, y 0 ) + i v x (x 0, y 0 ). f (z 0 ) = lim h 0 f(z 0 + ih) f(z 0 ) ih u(x 0, y 0 + h) u(x 0, y 0 ) v(x 0, y 0 + h) v(x 0, y 0 ) = lim + i lim h 0 ih h 0 ih = i u y (x 0, y 0 ) + v y (x 0, y 0 ). Durch Vergleich dieser beiden Gleichungen erhalten wir u x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ); u y (x 0, y 0 ) = v x (x 0, y 0 ) Dies sind die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. Es gilt also f (z 0 ) = u x (z 0 ) + iv x (z 0 ) = v y (z 0 ) iu y (z 0 ). s2. Satz 2.. Es seien U C offen, f : U C eine Funktion und z U. Folgende Aussagen sind äquivalent: ) f ist in z U komplex differenzierbar. 2) f ist in z reell differenzierbar und das Differential df(z) : C C ist C-linear.

11 KOMPLEXE ANALYSIS 3) f ist in z reell differenzierbar, und für u = Re f und v = Im f gelten die Cauchy- Riemannschen Differentialgleichungen u x (z) = v y (z), u y (z) = v x (z). Beweis: ) 2) Oben haben wir bereits ) 2) gezeigt. Es sei umgekehrt f reell differenzierbar in z und df(z) : C C sei C-linear. Dann existiert c C mit df(z)(h) = c h, h C. Dann folgt aber f(z + h) f(z) c h lim = 0. h 0 h und daher ist f in z komplex differenzierbar mit f (z) = c. 2) 3) Das Differential df(z) ist gegeben durch die Jacobi-Matrix ( ) ux (z) u 2.4 (2.4) y (z) v x (z) v y (z) Es sei T : C C eine C-lineare Abbildung. Dann existiert c C mit T (h) = c h. Es sei c = a + ib, h = h + ih 2, a, b R und h, h 2 R. Dann ist c h = (ah bh 2 ) + i(ah 2 + bh ). Als Abbildung T : R 2 R 2 hat T die Matrixdarstellung ( ) a b 2.5 (2.5) T =. b a Wenn T umgekehrt eine Matrixdarstellung der Form ( 2.5) 2.5 hat, so ist T : C C komplex linear. Zusammen mit ( 2.4) 2.4 folgt daraus, daß df(z) : C C komplex-linear ist genau dann, wenn u x (z) = v y (z), u y (z) = v x (z) gilt. Ich erinnere an folgendes Kriterium für die reelle Differenzierbarkeit. Es sei U R 2 offen. Eine Funktion f : U R heißt stetig partiell differenzierbar in (x 0, y 0 ) U, wenn die partiellen Ableitungen f x und f y in einer Umgebung von (x 0, y 0 ) existieren und in diesem Punkt stetig sind. Es sei f = (f, f 2 ) : U R 2 eine Abbildung. Wenn die Funktionen f, f 2 : U R in z U stetig partiell differenzierbar sind, so ist f : U R 2 in z U reell differenzierbar. Zusammen mit Satz 2. s2. erhalten wir daraus das folgende Korollar. c2.2 Korollar 2.2. Es sei U C offen, f : U C und f = u + iv, u, v : U R. Es gelte: ) u, v sind in z U stetig partiell differenzierbar. 2) u x (z) = v y (z), u y (z) = v x (z).

12 2 WERNER MÜLLER Dann ist f in z komplex differenzierbar. Wir führen jetzt den wichtigen Begriff des Gebietes ein. Eine offene Teilmenge U C heißt bekanntlich zusammenhängend, wenn folgendes gilt: Für alle offenen Teilmengen V, V 2 C mit U = V V 2 und V V 2 =, ist entweder U = V oder U = V 2. Definition 2.3. Eine offene und zusammenhängende Teilmenge G C heißt Gebiet. Korollar 2.4. Es sei G C ein Gebiet und f : G C eine holomorphe Funktion mit f (z) = 0 für alle z G. Dann ist f konstant. Beweis: Es sei z = x + iy, u = Re f und v = Im f. Bei der Herleitung der Cauchy- Riemannschen Differentialgleichungen haben wir gezeigt, daß f (z) = u x (z) + iv x (z) = iu y (z) + v y (z) gilt. Wenn f (z) = 0 für alle z G ist, so folgt daraus u x (z) = u y (z) = 0 und v x (z) = v y (z) = 0 für alle z G. Da G zusammenhängend ist, folgt daraus mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung, daß u und v konstant sind. Beispiele: ) Die Exponentialfunktion e z ist definiert durch e z = k=0 z k k!. Die Reihe konvergiert für alle z C. Es sei z = x + iy, x, y R. Dann ist Daher ist e z = e x e iy = e x (cos y + i sin y). u := Re(e z ) = e x cos y, v := Im(e z ) = e x sin y. Daraus folgt u x = ex cos y = v und u y y = ex sin y = v x. Damit haben wir gezeigt, daß die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen gelten. Aus Korollar 2.2 c2.2 folgt daher, dass e z für alle z C komplex differenzierbar ist und 2) Es sei U = {z C Re(z) > 0} und (e z ) = u x + iv x = e z. log(z) = ( y 2 log(x2 + y 2 ) + i arctan, z = x + iy U. x) Für z = x R + stimmt log(z) mit der Logarithmusfunktion log(x) überein. Dies rechtfertigt die Bezeichnung log(z). Es sei u(x, y) = ( y 2 log(x2 + y 2 ) und v(x, y) = arctan. x)

13 Dann gilt u x = u y = KOMPLEXE ANALYSIS 3 x x 2 + y 2 = x y x 2 + y 2 = x 2 + ( y x y + ( y x ) 2 = v y ; ) 2 = v x. Damit gelten die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und aus Korollar c folgt, dass log(z) für alle z U komplex differenzierbar ist und es gilt (log(z)) = u x (z) + iv x (z) = = x iy x 2 + y 2 = x x 2 + y 2 i x 2 y + ( x y ) 2 x iy (x + iy)(x iy) = x + iy = z. In U ist log(z) der Hauptzweig der komplexen Logarithmusfunktion. Wir werden später zeigen, dass gilt ( ) k log(z) = (z ) k für z <. k= k 3) Ist f = u + iv : U C in der offenen Menge U holomorph, so gilt in U: Dies folgt aus ( ) f (z) 2 ux u = det y = u v x v 2 x + vx 2 = u 2 y + v 2 y y. f (z) 2 = f (z)f (z) = (u x + iv x )(u x iv x ) = u 2 x + v 2 x und u x = v y, u y = v x. f (z) 2 ist also der Wert der Determinante der Jacobimatrix der Abbildung (x, y) (u(x, y), v(x, y)). Insbesondere folgt daraus ( ) ux u det y 0 für alle z = x + iy U. v x v y Falls f (z) 0, so ist die Determinante positiv. Harmonische Funktionen Aus den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erhält man eine notwendige Bedingung dafür, dass eine reelle Funktion u : U R der Real- oder Imaginärteil einer holomorphen Funktion ist.

14 4 WERNER MÜLLER s2.3 Satz 2.5. Es sei U C offen und f : U C holomorph. Für u = Re f und v = Im f gelte u, v C 2 (U). Dann gilt 2.6 (2.6) 2 u x u y 2 = 0 und 2 v x v y 2 = 0. Beweis: Da f = u + iv : U C holomorph ist, gilt in U: Daraus erhält man u x = v y, 2 u x = 2 v 2 x y, 2 v x = 2 u 2 x y, u y = v x. 2 u y = 2 v 2 y x Da u, v C 2 (U) ist, folgt aus dem Satz von Schwarz: 2 v y = 2 u 2 y x. Aus ( ) folgt damit 2 u x y = 2 u y x, 2 v x y = 2 v y x. und 2 u x + 2 u 2 y = 2 v 2 x y 2 v y x = 0 2 v x + 2 v 2 y = 2 u 2 x y + 2 u y x = 0. Bemerkungen: ) Die zusätzliche Annahme in Satz 2.5, s2.3 dass u, v zweimal stetig differenzierbar sind, ist in Wahrheit überflüssig, da wir später zeigen werden, dass eine holomorphe Funktion f : U C beliebig oft komplex differenzierbar ist. 2) Der partielle Differentialoperator = 2 x y 2 heißt Laplace-Operator. Mit Bemerkung ) folgt aus Satz 2.5, s2.3 dass für eine holomorphe Funktion f : U C der Realteil u = Re f und der Imaginärteil v = Im f der Gleichung h = 0 genügen. Solche Funktionen h nennt man harmonische Funktionen. In der Theorie der partiellen Differenialgleichungen zeigt man, dass jede Lösung der Gleichung h = 0 unendlich oft differenzierbar ist. Es gilt auch die Umkehrung.

15 crdgl (2.7) KOMPLEXE ANALYSIS 5 Satz 2.6. Seien I, J R offene Intervalle und U; = I + ij. Sei u: U R zwei mal stetig partiell differenzierbar und harmonisch. Dann existiert eine holomorphe Funktion f : U C, so dass u = Re(f). Beweis. Seien x 0 I und y 0 J. Sei f : U C holomorph und u = Re(f), v = Im(f). Dann gelten die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen u v v (x, y) = (x, y), x y x (x, y) = u(x, y). y Aus ( 2.7) crdgl und dem Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung folgt, dass für alle x I gilt v-form (2.8) v(x, y) = y wobei h C (I). Durch Differentation erhalten wir y 0 u (x, t) dt + h(x), x v y x (x, y) = 2 u x (x, t) dt + 2 h (x). Nun verwenden wir, dass u harmonische ist. Dann ergibt sich y 0 v x (x, y) = y y 0 2 u y 2 (x, t) dt + h (x) = u y (x, y 0) u y (x, y) + h (x). Aus der zweiten Gleichung in ( 2.7) crdgl folgt damit Aus ( v-form 2.8) erhalten wir v-form (2.9) v(x, y) = y y 0 h (x) = u y (x, y 0) u x (x, t) dt x x 0 u y (t, y 0) dt + C für eine Konstante C R. Sei jetzt u: U R zwei mal stetig partiell differenzierbar und harmonisch. Wir definieren v durch ( 2.9), v-form wobei wir C = 0 wählen, d.h. wir definieren v-form2 (2.0) v(x, y) := y Dann ist v stetig partiell differenzierbar und es gilt y 0 u x (x, t) dt x x 0 u y (t, y 0) dt. v y x (x, y) = 2 u u (x, t)dt x2 y (x, y 0). Wir benutzen nun, dass u harmonisch ist, d.h. es gilt y 0 2 u x (x, y) + 2 u (x, y) = 0. 2 y2

16 v-ableit (2.) v-form3 (2.2) 6 WERNER MÜLLER Wir erhalten damit v x (x, y) = y y 0 2 u u (x, t)dt y2 y (x, y 0). Aus Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung folgt y 2 u u u (x, t)dt = (x, y) y 0 y2 y y (x, y 0). Wenn wir dies in ( 2.) v-ableit einsetzen, folgt v (x, y) = u(x, y) x y für alle (x, y) U. Damit können wir ( 2.0) v-form2 auch schreiben als v(x, y) : = Die Ableitung nach y ergibt = y y 0 y y 0 u x x (x, t) dt + v x 0 x (t, y 0) dt u x (x, t) dt + v(x, y 0) v(x 0, y 0 ). v u (x, y) = (x, y) y x für alle (x, y) U. Damit gelten für u, v die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. Sei f : U C definiert durch f(x + iy) := u(x, y) + iv(x, y). Aus Korollar 2.2 folgt, dass f holomorph ist. Die Wirtinger-Ableitungen In diesem Abschnitt führen wir die partiellen Ableitungen nach z und z ein. Sei U R 2 offen und sei f : U R 2 in z U reell differenzierbar. Dann existiert das Differential df(z) : R 2 R 2. Das Differential kann man durch durch die partiellen Ableitungen wie folgt ausdrücken: ( ) ( ) ( ) h 0 f df(z) = h df(z) + h 2 df(z) = h 0 x (z) + h f 2 y (z). h 2 Bezüglich der Identifikation R 2 = C gilt ( ), 0 ( ) 0 i. Daher ist für df(z), aufgefasst als R-lineare Abbildung von C: df(z)() = f x (z), df(z)(i) = f y (z).

17 Daher ist 2.7 (2.3) KOMPLEXE ANALYSIS 7 f df(z)(h + ih 2 ) = h x (z) + h f 2 y (z) = ( ) f (z) i f 2 x y (z) (h + ih 2 ) + ( ) f (z) + i f 2 x y (z) (h ih 2 ). Für die Linearkombinationen der reellen Differentiale auf der rechten Seite führen wir eine neue Bezeichnung ein. d2.6 Definition 2.7. Die Wirtinger-Ableitungen sind definiert durch z := ( 2 x i ), y z := ( 2 x + i ). y Dies bedeutet folgendes: Sei f : U C reell differenzierbar. Dann ist f z := ( ) f 2 x i f f, y z := ( ) f 2 x + i f. y Aus ( 2.3) 2.7 erhalten wir df(z)(h) = h f z f (z) + h (z), h C. z s2.7 Satz 2.8. Für eine Funktion f : U C und z 0 U sind folgende Aussagen äquivalent: ) f ist reell differenzierbar in z 0 ; 2) Es existieren Funktionen ϕ, ϕ 2 : U C, die stetig in z 0 sind, so dass für alle z U gilt f(z) = f(z 0 ) + (z z 0 )ϕ (z) + (z z 0 )ϕ 2 (z). Dann ist ϕ (z 0 ) = f (z z 0) und ϕ 2 (z 0 ) = f (z z 0). Beweis: ) In Analysis II wurde gezeigt, dass f genau dann in z U reell differenzierbar ist, wenn eine Abbildung φ : U Hom R (C, C) existiert mit a) φ ist stetig in z 0 ; b) f(z) = f(z 0 ) + φ(z)(z z 0 ). Sei φ (z) := φ(z)() und φ 2 (z) := φ(z)(i). Dann ist 2.8 (2.4) f(z) = f(z 0 ) + (x x 0 )φ (z) + (y y 0 )φ 2 (z), wobei z = x + iy und z 0 = x 0 + iy 0 ist. Wir setzen ϕ (z) := 2 (φ (z) iφ 2 (z)), ϕ 2 (z) := 2 (φ (z) + iφ 2 (z)).

18 ompl-diff3 8 WERNER MÜLLER Dann folgt aus ( ): f(z) = f(z 0 ) + (z z 0 )ϕ (z) + (z z 0 )ϕ 2 (z). Da φ in z 0 stetig ist, sind ϕ und ϕ 2 in z 0 stetig. Weiter ist ϕ (z 0 ) = 2 (φ (z 0 ) iφ 2 (z 0 )) = ( f 2 x (z 0) i f ) y (z 0) Ebenso ergibt sich ) Übung! ϕ 2 (z 0 ) = f z (z 0). = f z (z 0). Satz 2.9. Für eine Funktion f : U C und z 0 U sind folgende Bedingungen äquivalent: ) f ist in z 0 komplex differenzierbar. 2) f ist in z 0 reell differenzierbar und es gilt: f z (z 0) = 0. Beweis: Sei u = Re f und v = Im f. Dann ist f = u + iv. Aus Satz 2. s2. folgt: f ist in z 0 komplex differenzierbar genau dann, wenn f in z 0 reell differenzierbar ist und die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen u x (z 0 ) = v y (z 0 ), u y (z 0 ) = v x (z 0 ) gelten. Dies ist äuquivalent zu f x (z 0) = u x (z 0) + i v ( u x (z 0) = i y (z 0) + i v ) y (z 0) = i f y (z 0). Diese Gleichung gilt genau dann, wenn 0 = ( f 2 x (z 0) + i f ) y (z 0) = f z (z 0). Rechenregeln für die Wirtingerableitungen Seien f, g : U C reell differenzierbar. ) z, sind C-linear und es gilt die Leibnizregel. z 2) f z = f z, f z = f z. 3) Wenn f reell ist, so ist f z = f z. 4) z z =, z z = 0, z z = 0, z z =.

19 KOMPLEXE ANALYSIS 9 5) 6) 2 f z z = 4 f. (g f) = g z w f z + g w f z, (g f) z = g w f z + g w f z. Beim Differenzieren können wir daher z und z so behandeln, als ob z und z unabhängige Variablen wären. 3. Potenzreihen m-konverg Wir beginnen mit der Wiederholung eines Resultates aus Analysis I. Es sei I R ein Intervall und f : I C eine Funktion. Dann ist die Supremumsnorm von f definiert als sup{ f(x) : x I}, f beschränkt, f I =, sonst. Es sei f k : I C, k N, eine Folge von Funktionen und f : I C eine weitere Funktion. Die Folge (f k ) k N heißt gleichmäßig konvergent gegen f, wenn folgendes gilt: Es gilt nun folgender Satz. ε > 0 N N k N : f k f < ε. Satz 3.. Es sei f k : I C, k N, eine Folge stetig differenzierbarer Funktionen. Sei f : I C eine Funktion. Es gelte: ) x I : f k (x) f(x). k 2) (f k) k N konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion g : I C. Dann ist f stetig differenzierbar und es gilt f = lim k f k. Für einen Beweis siehe Königsberger, Analysis I. Wir betrachten jetzt die entsprechende Frage für holomorphe Funktionen. Sei U C offen und f : U C. Die Supremumsnorm von f ist definiert als sup{ f(z) : z U}, f beschränkt, f U =, sonst. Definition 3.2. Es sei f k : U C, k N, eine Folge von Funktionen und f : U C eine weitere Funktion. ) Die Folge (f k ) k N heißt gleichmäßig konvergent gegen f, wenn gilt: ε > 0 N N k N : f k f < ε. 2) Die folge (f k ) konvergiert auf U lokal gleichmäßig gegen f, wenn für alle z 0 U eine Umgebung V (z 0 ) U von z 0 existiert, sodass (f k ) auf V (z 0 ) gleichmäßig gegen f konvergiert.

20 20 WERNER MÜLLER m-konverg2 Satz 3.3. Sei U C offen. Sei f k : U C, k N, eine Folge holomorpher Funktion und f : U C eine weitere Funktion. Es gelte: ) z U : f k (z) k f(z). 2) Für alle k N ist f k stetig. 3) (f k) konvergiert lokal gleichmäßig gegen eine Funktion g : U C. Dann ist f holomorph und f = g = lim k f K. Beweis. Da f k holomorph ist, gilt f k 2 x (z) i f k y (z) = f k z (z) = f k(z) und f k 2 x (z) i f k y (z) = 0. Aus den Voraussetzungen 2) und 3) folgt durch Kombination dieser Gleichungen, dass f k x und f k stetig sind und die Folgen y f k x k N, f k y lokal gleichmäßig konvergieren. Sei z 0 = x 0 + iy 0 U. Sei V (z 0 ) U eine Umgebung von z 0, auf der diese Folgen gleichmäßig konvergieren. Sei ε > 0 so, dass [x 0 ε, x 0 + ε] + i[y 0 ε, y 0 + ε] V (z 0 ). ( ) f Dann konvergiert die Folge k (x, y x 0) gleichmäßig auf [x 0 ε, x 0 + ε] gegen eine k N Funktion h(x). Aus Satz 3. glm-konverg folgt, dass f(x, y 0 ) in x differenzierbar ist und f x (x, y f 0) = lim k x (x, y 0). Ebenso folgt, dass f(x 0, y) in y differenzierbar ist und f y (x, y f 0) = lim k y (x 0, y). Daraus erhalten wir, dass f in z 0 stetig partiell differenzierbar ist und f z (z f k 0) = lim k z (z 0) gilt. Da f k holomorph ist, ist f k (z) = 0 nach Satz 2.8. Damit ist z f z (z 0) = 0. Aus Satz 2.9 kompl-diff3 folgt, dass f in z 0 komplex differenzierbar ist. Weiter ist f (z 0 ) = f z (z f k 0) = lim k z (z 0) = lim f k k(z 0 ) = g(z 0 ). k N

21 KOMPLEXE ANALYSIS 2 Entsprechendes gilt für Reihen. Seien f k : U C, k N, Funktionen. Die Reihe k= f k konvergiert gleichmäßig, wenn alle f k beschränkt sind und f k U <. k= Satz 3.4. Sei f k : U C, k N, eine Folge holomorpher Funktionen. Es gelte: ) k= f k (z) konvergiert für alle z U. 2) Für alle k N ist f k stetig. 3) Die Reihe k= f k konvergiert lokal gleichmäßig. Dann ist f(z) := k= f k (z) holomorph und f (z) = f k(z). k= Beweis. Der Beweis folgt aus Satz 3.3, glm-konverg2 angewendet auf die Folge der Partialsummen Wir betrachten jetzt Potenzreihen n s n (z) = f k (z). k= otenzreihe Satz 3.5. Es sei f(z) = n=0 a n (z z 0 ) n eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R > 0. Dann ist f(z) in D R (z 0 ) beliebig oft komplex differenzierbar und es gilt ( ) n f (k) (z) = k! a n (u z 0 ) n k k für alle z D R (z 0 ) und k N. n=k Beweis. Es genügt, den Fall k = zu betrachten. Es sei n q = lim sup a n. n Nach dem Wurzelkriterium ist R = /q. Es sei g(z) = na n (z z 0 ) n. n= Sei R der Konvergenzradius von g. Nach dem Wurzelkriterium ist R = /q, wobei n q = lim sup n a n n ist. Da lim n n n = ist, ist q = lim sup n n a n = q.

22 22 WERNER MÜLLER Daher ist R = R. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir annehmen, dass z 0 = 0. Es sei 0 < r < R. Da eine Potenzreihe innerhalb des Konvergenzkreises absolut konvergiert, ist abs-konv (3.) n a n r n <. n= Sei f n (z): = a n z n, n N. Dann gilt ) Für alle z D R (0) konvergiert die Reihe f n (z). n=0 2) f n(z) = na n z n ist stetig für alle n N. 3) Es sei 0 < r < R. Dann ist f n Dr(0)= n a n r n, n N. Aus ( 3.) abs-konv folgt f n Dr(0)<. n Damit sind für die Folge (f n ) die Voraussetzungen von Satz 3.3 glm-konverg2 erfüllt und die Behauptung des Satzes folgt aus Satz 3.3. glm-konverg2 4. Elementare Funktionen Mit Hilfe von Satz potenzreihe 3.5 können wir jetzt nichtrationale holomorphe Funktionen konstruieren. ) Die Exponentialfunktion. Die Exponentialfunktion exp(z) = e z ist definiert durch die Potenzreihe exp(z) = e z : = k=0 z k k!, z C. Mittels Quotenkriterium folgt, dass der Konvergenzradius dieser Reihe ist. Daher ist nach Satz 3.5 potenzreihe e z eine auf ganz C holomorphe Funktion. Eigenschaften der Exponentialfunktion.. z, w C: e z e w = e z+w 2. z C: e z 0 3. (e z ) = e z ( ) 4. x, y R: e x+iy = e x cos(y) + i sin(y). 5. Es sei C : = C {0}. exp: C C ist surjektiv.

23 KOMPLEXE ANALYSIS 23 exp Beweis. ) folgt aus dem Cauchyschen Produktsatz für Potenzreihen. Aus ) folgt e z e z =. Daraus folgt 2). 3) Ergibt sich aus Satz 3.5 potenzreihe durch Differenzieren der Exponentialreihe. 4) folgt aus ) und der Eulerschen Formel. Zum Beweis von 5) sei w C. Dann ist w = re iθ mit r R + und θ [0, 2π). Aus Analysis I wissen wir, dass exp: R R + ein Diffeomorphismus ist. Weiter ist log = exp. Sei z = log r + iθ. Dann ist e z = re iθ = w. Für n Z sei S n der Streifen Dann induziert exp eine bijektive Abbildung S n = {z C 2nπ Im(z) < 2(n + )π}. exp : S n C. Es sei (C, +) die additive Gruppe und (C, ) die multiplikative Gruppe. Lemma 4.. exp ist ein surjektiver Homomomorphismus und es gilt exp : C C ker(exp) = {2πik : k Z}. Beweis: Sei e z = und z = x + iy mit x, y R. Dann ist e z = e x =. Daraus folgt x = 0 und e iy = = cos y + i sin y. Daher ist cos y = und sin y = 0. Somit existiert k Z, so dass y = 2πk ist. Aus diesem lemma folgt, dass die folgende Sequenz exakt ist. 0 2πiZ C exp C. 2) Trigonometrische Funktion. Die Reihen sin z := ( ) n z2n+ n=0 (2n + ), cos z := ( ) n z2n n=0 (2n)!, z C, haben ebenfalls den Konvergenzradius und definieren daher auf ganz C holomorphe Funktionen. Für alle w, z C gilt Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen ) (sin z) = cos z, (cos z) = sin z. 2) e iz = cos z + i sin z. 3) cos z = 2 (eiz + e iz ), sin z = 2i (eiz e iz ). 4) sin(w + z) = sin w cos z + cos w sin z, cos(w + z) = cos w cos z sin w sin z.

24 24 WERNER MÜLLER 5) Es ist {z C sin z = 0} = {nπ n Z}, {z C cos z = 0} = { 2 π + nπ n Z }. Beweis: ) ergibt sich durch Ableitung der entsprechenden Reihen. 2) folgt aus durch Addition der Reihen für cos z und sin z. 3) folgt aus 2) zusammen mit sin( z) = sin(z) und cos( z) = cos(z). Aus den Eigenschaften der Exponentialfunktion ergibt sich 4). Zum Beweis von 5) benutzt man, dass 2i sin z = e iz (e 2iz ), 2 cos z = e i(π z) (e 2i(z 2 π) ). Wir definieren schließlich tan z und cot z durch tan z = sin z cos z, z C \ π(z + /2), cot z = cos z sin z, z C \ πz. 4) Der Logarithmus Wie wir oben gezeigt haben ist exp : C C surjektiv und ker(exp) = 2πZ. Daraus folgt, dass für jedes z C unendlich viele w C existieren mit e w = z. Der Logarithmus ist also eine mehrdeutige Funktion. Definition: Sei z C. Jedes w C mit e w = z heißt ein Logarithmus von z. Die Logarithmen zu einer Zahl z kann man leicht angeben. Sei z = re iϕ C. Für n Z sei w n = log r + i(ϕ + 2πn)). Dann gilt e wn = z und exp (z) = {w n : n Z}. Für alle z C gilt (e z ) = e z 0. Daher folgt aus dem Umkehrsatz, dass exp : C C x lokal umkehrbar ist. d4. Definition 4.2. Es sei G C ein Gebiet. Eine holomorphe Funktion λ : G C heißt Logarithmusfunktion oder Zweig des Logarithmus in G, wenn gilt exp(λ(z)) = z, z G. l4.2 Lemma 4.3. Sei G C ein Gebiet und λ : G C eine holomorphe Funktion. Folgende Aussagen sind äquivalent. ) λ ist eine Logarithmusfunktion in G. 2) Es gilt λ (z) = z in G und es existiert a G mit exp(λ(a)) = a. Beweis: 2) Aus exp(λ(z)) = z folgt durch differenzieren = exp(λ(z))λ (z) = zλ (z). Daraus folgt λ (z) = z. 2) )

25 KOMPLEXE ANALYSIS 25 Sei g(z) = z exp( λ(z)), z G. Dann ist g holomorph in G und g (z) = exp( λ(z)) z exp( λ(z))λ (z) = 0. Aus Korollar 2.2 c2.2 folgt, daß ein c C existiert so, dass g(z) = c für alle z G. Daraus folgt exp(λ(z)) = cz. Da exp(λ(a)) = a, ist c=. Existenz von Logarithmusfunktionen s4.3 Satz 4.4. Die Funktion ( ) k log(z) := (z k) k k= k ist eine Logarithmusfunktion in D (). Beweis: Die Reihe λ(z) := ( ) k k= (z ) k konvergiert für z <. Aus Satz 3.5 potenzreihe k folgt, daß λ(z) holomorph in D () ist und es gilt λ (z) = ( ) k (z ) k = + z = z. k= Da log() = 0, ist e log() =. Aus Lemma l folgt daher, dass log z eine Logarithmusfunktion in D () ist. Hauptzweig des Logarithmus Es sei C = C \ {x R x 0}. Für z C ist z = z e iϕ mit π < ϕ < π. Sei log(z) := log z + iϕ. s4.4 Satz 4.5. log : C C ist eine Logarithmusfunktion und es gilt ( ) k log(z) = (z ) k für z D (). k Beweis: Übung! k= Definition: log : C C heißt Hauptzweig des Logarithmus. 5) Potenzen. Es sei a > 0, b R. Dann gilt für die b-te Potenz a b = exp(b log a). Wir können die Potenz auf zwei Weisen als Funktion auffassen. Einmal x R + x b, und zum anderen x R a x. Wir benutzen diese Formel, um die allgemeine Potenz für komplexe a und b zu definieren.

26 26 WERNER MÜLLER Sei a C und b C. Weiter sei log(a) ein Logarithmus von a. Dann setzen wir wie oben a b = exp(b log(a)) und nennen dies einen Wert der b-ten Potenz von a. Beispiel: Sei b = /n, n N und a =. Dann ist log() = 2πik ein Logarithmus von und sind die verschiedenen Werte von n. e 2πik/n, k = 0,..., n, Entsprechend möchten wir jetzt z a z und z z b als holomorphe Funktionen betrachten. Dazu müssen wir wieder Zweige wählen. d4.4 Definition 4.6. Es sei G C ein Gebiet, log : G C ein Zweig des Logarithmus und w C. Die Funktion heißt Zweig der w-ten Potenz. l4.5 Lemma 4.7. Für P gilt: ) P w : G C ist holomorph. 2) P w = wp w 3) w, v C : P w P v = P w+v. 4) Für n N : P n (z) = z n, z G. Beweis: Übung! P w (z) = exp(w log(z)), z G, Wenn wir für log(z) den Hauptzweig wählen, so bezeichnen wir P w (z) auch mit z w und nennen diese Funktion den Hauptzweig der Potenzfunktion. Beispiele: ) i i = e i log(i) = e iπ/2i = e π/2 2) Es sei b = /n, n N. Dann hat z /n die n-zweige ( ) ( ) ( ) exp n log(z), e 2πi/n exp n log(z) n 2πi,..., e n exp n log(z).

27 KOMPLEXE ANALYSIS Integration Ein wichtigstes Hilfsmittel der komplexen Analysis ist die Integration komplexwertiger Funktionen über geeignete Kurven. Die Kurven, über die integriert werden kann, sind Integrationswege, die wie folgt definiert sind. Definition 5.. ) Eine Funktion f : [a, b] C heißt stückweise stetig, wenn eine Zerlegung zerleg (5.2) a = t 0 < t < < t n = b existiert, so dass f (tk,t k ) stetig ist und stetig in t k, t k fortgesetzt werden kann. 2) f : [a, b] C heißt stückweise stetig differenzierbar, wenn eine Zerlegung ( 5.2) zerleg existiert, so dass f (tk,t k ) differenzierbar ist und f zu einer stückweise stetigen Funktion fortgesetzt werden kann. Definition 5.2. Sei U C. Eine Abbildung γ : [a, b] U heißt Integrationsweg, wenn γ stetig und stückweise stetig differenzierbar ist. Wir nennen γ(a) den Anfangspunkt, γ(b) den Endpunkt und und Sp(γ) := γ([a, b]) die Spur von γ. Satz 5.3. Integrationswege sind rektifizierbar. Die Länge L(γ) von γ ist gegeben durch Siehe: Königsberger, Analysis II L(γ) = b a γ (t) dt. Definition 5.4. Seien U C offen, f : U C stetig und γ : [a, b] C ein Integrationsweg mit Sp(γ) U. Dann wird das Integral von f über γ definiert als b f(z)dz : = f(γ(t))γ (t)dt. γ Bei dieser Definition entsteht die Frage wie man zu dieser Definition kommt. a Um diese Frage zu beantworten, betrachten wir Differentialformen vom Grad (oder kurz -Formen) im R n. Sei U R n offen. Eine -Form ist eine Abbildung ω : U Hom(R n, C). Die -Form ω heißt stetig bzw. differenzierbar, wenn die Abbildung stetig bzw. differenzierbar ist. Die -Form dx i ist definiert durch dx i (e,..., e n ) = e i. Für eine beliebige -Form ω gilt dann n ω = f i dx i, i= wobei die f i Funktionen sind. Sei Z : a = t 0 < t < < t r = b eine Zerlegung von [a, b]. Sei { } δ(z) = min t k t k : k =,..., n.

28 28 WERNER MÜLLER Seien ξ = { } t k : t k [t k, t k ], k =,..., n Stützstellen. Sei r I(Z, ξ, ω): = ω(γ(t k))(γ(t k ) γ(t k )). k= Definition 5.5. Sei γ : [a, b] U ein Integrationsweg und ω eine -Form. ω heißt längs γ integrierbar, wenn ein I C existiert mit: Für alle ε > 0 existiert δ > 0, so dass für jede Zerlegung Z von [a, b] mit δ(z) < δ und jede Wahl ξ von Stützstellen bezüglich Z gilt Wenn ω längs γ integrierbar ist, sei I(Z, ξ, ω) I < ε. γ ω := I. Satz 5.6. Sei ω = n i= f i dx i eine stetige -Form und γ = (γ,.., γ n ): [a, b] U ein Integrationsweg. Dann existiert γ ω und es gilt b b n ω = ω(γ(t)), γ (t) dt = f i (γ(t))γ i(t) dt. γ Beweis. Königsberger, Analysis II, S. 80. a Wir betrachten jetzt den Fall n = 2 und identifizieren R 2 mit C. Sei f : U C stetig. Wir definieren die -Form ω durch a i= ω := fdz = fdx + ifdy. Sei γ : [a, b] U ein Integrationsweg mit γ(t) = (γ (t), γ 2 (t)). Dann ist und ω(γ(t)), γ (t) = f(γ(t)) γ (t) + if(γ(t)) γ 2(t) = f(γ(t)) γ (t) γ f(z) dz = b Dies erklärt die Definition des Kurvenintegrales. a f(γ(t)) γ (t) dt = γ ω. Eigenschaften von Kurvenintegralen a) Sei γ : [a, b] U Integrationsweg, dann ist die Abbildung : C 0 (Sp(γ)) C C-linear. b) γ paratrans Definition 5.7. Eine Parametertransformation ist eine Abbildung mit ϕ: [a, b] [c, d]

29 KOMPLEXE ANALYSIS 29 ) ϕ ist stetig, stückweise differenzierbar und bijektiv. 2) Es existiert δ > 0, so das ϕ (t) > δ für alle t, an denen ϕ (t) definiert ist. Man prüft leicht nach, dass ϕ streng monoton ϕ ebenfalls eine Parametertransformation ist. Sei γ : [c, d] C Integrationsweg. Dann ist γ = γ ϕ: [a, b] C ebenfalls ein Integrationsweg. Sei f : Sp(γ) C stetig. Dann gilt d b f(z)dz = f(γ(t))γ (t)dt = f(γ(ϕ(s)))γ (ϕ(s))ϕ (s)ds γ c b = a f(γ (s)) γ (s)ds = f(z)dz. γ Das zeigt, dass das Integral invariant unter Parametertransformationen ist. c) Seien γ : [a, b] U und γ 2 : [b, d] U Integrationswege mit γ (b) = γ 2 (b). Sei γ (t), t [a, b] γ(t) = γ 2 (t), t [b, d] Dann ist γ : [a, d] U ein Integrationsweg. Sei f : U C stetig. Dann gilt f(z)dz = f(z)dz + f(z)dz. γ γ 2 γ Wir schreiben γ = γ + γ 2. Sei a = t 0 < t < < t r = b eine Zerlegung von [a, b] und γ : [a, b] U ein Integrationsweg. Sei Dann ist γ k ein Integrationsweg und a γ k = γ [tk,t k ]. γ = γ + + γ r. d) Für γ : [a, b] U sei γ : [a, b] U definiert durch γ(t) = γ(a + b t). Dann ist f(z)dz = f(z)dz. γ Für γ + ( γ 2 ) schreiben wir γ γ 2. Satz 5.8. Es gilt f(z)dz L(γ)max{ f(γ(t)) } γ t [a,b] Beweis. Da Sp(γ) kompakt ist, existiert C > 0, so dass Daraus folgt γ f(z)dt = b a f(γ(t)) C, γ t [a, b]. f(γ(t)) γ b (t)dt C γ (t) dt = C L(γ). a

30 30 WERNER MÜLLER Satz 5.9. Sei f k : Sp(γ) C, k N, eine Folge stetiger Funktion. Sei f : Sp(γ) C eine Funktion und (f k ) konvergiere gleichmäßig auf Sp(γ) gegen f. Dann ist f stetig und f(z) = lim f k (z)dz k γ Beweis. Aus der gleichmäßigen Konvergenz folgt, dass f stetig ist. Weiter ist f(z)dz f k (z)dz = (f(z) f k (z))dz γ γ γ γ max t [a,b] f(γ(t)) f k(γ(t)) L(γ) k 0. intabl Satz 5.0. Sei γ : [a, b] C ein Integrationsweg, M R n, f : Sp(γ) M C stetig. Dann gilt ) Die Funktion x M γ f(z, x)dz = F (x) ist stetig auf M. 2) Sei M R n offen und f x k stetig auf Sp(γ) M. Dann ist F stetig partiell nach x k differenzierbar mit F f (x) = (z, x)dz. x k γ x k 3) Sei M C offen, und f sei für jedes z γ komplex nach w M differenzierbar mit auf Sp(γ) M stetiger Ableitung f (z, w). Dann ist F (w) holomorph mit w F F (w) = (z, w)dz. γ w Beweis. Aus 2) folgt 3). ) Ergibt sich wie Satz 5.6 aus der Standardabschätzung. stammfct 6. Stammfunktionen Definition 6.. Sei G C ein Gebiet und f : G C stetig. Eine Funktion F : G C heißt Stammfunktion von f, wenn f holomorph ist und F = f gilt. Wir sagen, f habe lokale Stammfunktionen auf U, wenn zu jedem z U eine Umgebung V U von z existiert, so dass f V eine Stammfunktion hat. Beispiele:

31 ) 2) KOMPLEXE ANALYSIS 3 f(z) = a n (z z 0 ) n, R > 0 n=0 a n F (z) = n=0 n + (z z 0) n+. f(z) = (z z 0 ) n, n F (z) = n (z z 0) n+ Sei f : G C eine stetige Funktion und F eine Stammfunktion von f. Weiterhin sei γ : [a, b] G eine stetig differenzierbare Kurve. Dann ist auch (f γ)γ stetig und damit b b f(z)dz = f(γ(t))γ (t)dt = F (γ(t))γ (t)dt γ a a b = a (F γ) (t)dt = F (γ(b)) F (γ(a)). Dies gilt auch für stückweise stetig differenzierbare Wege γ : [a, b] G. Es sei eine Zerlegung von [a, b], so dass a = t 0 < t < < t r = b, hauptsatz γ k = γ [tk,t k ] stetig differenzierbar ist. Denn es gilt: r r f(z)dz = f(z)dz = (F (γ(t k )) F (γ(t k ))) = F (γ(b)) F (γ(a)). γ k γ k= k= Satz 6.2. Sei f : G C stetig und F : G C eine Stammfunktion von f. Dann gilt für jeden Integrationsweg γ : [a, b] G mit γ(a) = z 0, γ(b) = z : f(z)dz = F (z ) F (z 0 ). Bemerkungen. Das Integral hängt nur von den Endpunkten von γ ab. Wenn γ geschlossen ist, das heißt γ(a) = γ(b), so ist f(z)dz = 0. γ γ Im Reellen hat jede auf einem Intervall stetige Funktion eine Stammfunktion. Im Komplexen haben einfache Funktionen wie Re(z), Im(z), z z keine Stammfunktion. C z hat keine Stammfunktion, da z dz = 2πi. z = z

32 32 WERNER MÜLLER nzstammfkt mmfktstern Satz 6.3. Es sei f : G C stetig. Es gelte f(z)dz = 0 γ für alle geschlossenen Integrationswege γ in G. Dann hat f eine Stammfunktion. Beweis. Sei a G und für jedes z G sei γ z ein Integrationsweg von a nach z. Sei F (z) := f(w)dw. γ z Dann ist F wohldefiniert. Denn sei γ z ein weiterer Integrationsweg von a nach z. Dann ist γ = γ z + γ z ein geschlossener Integrationsweg und damit gilt: 0 = f(w)dw = γ f(w)dw γ z f(w)dw. γ z Sei z 0 G. Weiter sei z G hinreichend nah an z 0. Dann ist [z 0, z] G, wobei [z 0, z] := {z 0 + t(z z 0 ) : 0 t } die Verbindungsstrecke von z 0 und z ist Dann ist γ z0 + [z 0, z] γ z ein geschlossener Weg in G, und damit f(w)dw + f(w)dw f(w)dw = 0 γ z0 [z 0,z] γ z Daraus folgt F (z) F (z 0 ) = f(w)dw = f(z 0 + t(z z 0 ))(z z 0 )dt = (z z 0 )ϕ(z) [z 0,z] 0 mit ϕ(z) := 0 f(z 0 + t(z z 0 ))dt. Es ist ϕ(z 0 ) = f(z 0 ) und ϕ(z) ist stetig in z 0, da f stetig ist. Daraus folgt, dass F in z 0 komplex differenzierbar ist und F (z 0 ) = f(z 0 ) gilt. Bei Beschränkung auf spezielle Gebiete kann man die Voraussetzungen von Satz 6.3 existenzstammfkt abschwächen. Definition 6.4. Ein Gebiet G C heißt sternförmig, wenn es einen Punkt z 0 G gibt, sodass für alle z G die Verbindungsstrecke [z 0, z] vollständig in G liegt. Konvexe Gebiete sind sternförmig. Satz 6.5. Es sei G C ein sternförmiges Gebiet mit Sternpunkt z 0 und f : G C eine stetige Funktion. Für jedes abgeschlossene Dreieck G mit z 0 als Ecke gelte f(z)dz = 0. Dann hat f eine Stammfunktion. Beweis. Sei G sternförmig mit Sternpunkt a. Sei F (z) := f(w)dw. [a,z]

33 KOMPLEXE ANALYSIS 33 Wir zeigen nun, dass F eine Stammfunktion von f ist. Sei z 0, z G so, dass [z 0, z] G. Sei ein Dreieck mit den Ecken a, z 0, z. Nach Voraussetzung ist 0 = f(w)dw = f(w)dw f(w)dw f(w)dw. [a,z] Daraus folgt F (z) F (z 0 ) = [z 0,z] [z 0,z] f(w)dw. Hieraus folgt die Behauptung wie im Beweis von Satz 6.3. existenzstammfkt [a,z 0 ] goursat 7. Der Cauchyche Integralsatz Wir kommen nun zu dem zentralen Theorem der komplexen Analysis. Viele fundamentale Sätzen leiten sich davon ab. Satz 7.. (Lemma von Goursat) Sei f : U C eine Funktion, die in einer Umgebung eines abgeschlossenen Dreiecks U holomorph ist. Dann ist f(z)dz = 0. Beweis. Sei ein Dreieck mit den Eckpunkten z, z 2, z 3. Seien γ i : [0, ] U für i =, 2, 3 die Verbindungen zwischen den Eckpunkten, das heißt γ (t) = z + t(z 2 z ), γ 2 (t) = z 2 + t(z 3 z 2 ), γ 3 (t) = z 3 + t(z z 3 ). Dann ist = γ + γ 2 + γ 3 und f(z)dz = f(z)dz + γ f(z)dz + γ 2 f(z)dz. γ 3 Wir zerlegen in vier Teildreiecke,..., 4, indem wir die Seitenmittelpunkte von miteinander verbinden: Jede Verbindungsstrecke von Seitenmittelpunkten kommt 2 mal als Teilstrecke des Randes der Dreiecke,..., 4 vor, jeweils mit entgegengesetzter Orientierung.

34 34 WERNER MÜLLER Daraus folgt f(z)dz = 4 k= k f(z)dz. Und deshalb erhalten wir: f(z)dz 4 max k k f(z)dz. Es sei eines der Dreiecke,..., 4 so, dass f(z)dz maximal ist. Dann folgt f(z)dz 4 f(z)dz. Durch Iteration dieser Konstruktion erhalten wir eine Folge von Teildreiecken = 0 2 mit 7. (7.) f(z)dz 4n f(z)dz n für alle n N. Da alle n kompakt sind, existiert ein z 0 mit n = {z 0 }. n 0 Da f in z 0 komplex differenzierbar ist, existiert nach Lemma.2 l.2 eine Funktion ϕ : U C mit ) ϕ ist stetig in z 0 und f (z 0 ) = ϕ(z 0 ). 2) f(z) = f(z 0 ) + (z z 0 )ϕ(z). Es sei r(z) = ϕ(z) ϕ(z 0 ). Dann gilt: ) r stetig in z 0, 2) r(z 0 ) = 0, 3) f(z) = f(z 0 ) + f (z 0 )(z z 0 ) + (z z 0 )r(z). Da die lineare Funktion l(z) = f(z 0 ) + f (z 0 )(z z 0 ) eine Stammfunktion besitzt, gilt für alle n N: l(z)dz = 0. n Sei diam( n ) = max z,z 2 n { z z 2 } Dann ist f(z)dz = (z z 0 )r(z)dz n L( n) max ( z z 0 r(z) ) n z n L( n ) diam( n ) max r(z). z n

35 KOMPLEXE ANALYSIS 35 Weiter ist und Damit erhalten wir L( n ) = 2 L( n ) = = 2 n L( ) diam( n ) = 2 n diam( ). f(z)dz 4 n L( ) diam( ) max r(z). n z n Zusammen mit ( 7.) 7. ergibt sich f(z)dz 4n f(z)dz n Da r(z) stetig in z 0 ist und r(z 0 ) = 0 folgt: L( ) diam( ) max z n r(z). CIStern Daraus folgt lim max r(z) = 0. n z n f(z)dz = 0. Theorem 7.2. (Cauchyscher Integralsatz für sternförmige Gebiete) Sei G C ein sternförmiges Gebiet und f : G C holomorph. Dann ist f(z)dz = 0 γ für jeden geschlossenen Integrationsweg γ in G. Beweis. Aus Theorem 7. goursat und Satz 6.5 stammfktstern folgt, dass f eine Stammfunktion hat. Damit folgt die Behauptung aus Satz 6.2. hauptsatz lestammfkt Da eine Kreisscheibe konvex ist, folgt unmittelbar der folgende Satz. Satz 7.3. Sei G C ein Gebiet und f : G C holomorph. Dann besitzt f lokale Stammfunktionen. Wir benötigen noch eine geringfügige Verallgemeinerung des Cauchyschen Integralsatzes. CIsing Lemma 7.4. Sei G C ein Gebiet und z 0 G. Weiterhin sei f : G C stetig und holomorph auf G \ {z 0 }. Sei G ein abgeschlossenes Dreieck mit z 0. Dann ist f(z)dz = 0.

36 36 WERNER MÜLLER Beweis. In Abhängigkeit von der Lage von z 0 unterscheiden wir drei Fälle. a) Sei z 0 ein Eckpunkt von. Sei ɛ > 0. Wir zerlegen wie folgt: z 2 z 0 z 3 Hier werden die Punkte z und z so gewählt, dass L( ) < ɛ. Nach Theorem 7. goursat folgt f(z)dz = 0 = f(z)dz. 2 3 Da f stetig auf ist existiert eine Konstante C > 0, so dass f(z) C für alle z. Daraus folgt f(z)dz = f(z)dz L( ) C < Cɛ. Da ɛ beliebig gewählt war folgt die Behauptung f(z)dz = 0. b) z 0 liegt nun auf der Seite von, aber ist kein Eckpunkt. Wir zerlegen wie folgt: 2 z 0 Aus a) folgt f(z)dz = f(z)dz + f(z)dz = 0. 2 c) z 0 liegt im Inneren von. Wir zerlegen wie folgt: 2 z 0 Aus b) folgt f(z)dz = f(z)dz + f(z)dz = 0. 2

37 KOMPLEXE ANALYSIS 37 cor-sternf Korollar 7.5. Sei G C ein sternförmiges Gebiet und z 0 G. Sei f : G C stetig und holomorph auf G \ {z 0 }. Dann gilt f(z)dz = 0, γ für jeden geschlossenen Integrationsweg γ in G. Beweis. Aus Lemma 7.4 CIsing und Satz 6.5 stammfktstern folgt, dass f eine Stammfunktion hat. Die Behauptung folgt aus Satz 6.2. hauptsatz

38 38 WERNER MÜLLER Zusammenhang mit -Formen (Pfaffschen Formen) Definition 7.6. Sei U R n offen und ω eine -Form auf U. Eine Stammfunktion von ω ist eine differenzierbare Funktion f : U C, sodass ω = df gilt. Eine -Form ω heißt exakt, wenn ω eine Stammfunktion hat. Sei n ω = f i dx i. Dann bedeutet df = ω, dass f i = f x i Bemerkungen. i= für alle i =,..., n ist. Sei ω stetig und f eine Stammfunktion von ω. Sei γ : [a, b] U ein Integrationsweg. Dann gilt ω = df = f(γ(b)) f(γ(a)). Sei γ geschlossen. Dann ist γ γ γ ω = 0. Definition 7.7. Sei U R n offen und ω eine stetige -Form. ω heißt lokal exakt oder geschlossen, wenn für alle x U eine Umgebung V U von x existiert, so dass ω V exakt ist. Sei U C offen, f : U C eine holomorphe Funktion und ω = fdz. Falls ω exakt ist existiert eine differenzierbare Funktion F : U C mit Das heißt: Daraus folgt df = fdz = fdx + ifdy. F x = f, F y = if. F partderiv (7.2) x = i F y. Sei F = u + iv mit u, v : U C. Dann folgt aus ( 7.2) partderiv u x = v y, u y = v x. Daher ist F : U C holomorph und F = F x = f. Wir haben damit folgendes gezeigt: ω := fdz ist exakt f hat eine komplexe Stammfunktion.

39 KOMPLEXE ANALYSIS 39 Homotopieinvarianz von Kurvenintegralen lokal exakter -Formen homotop Definition 7.8. Sei X R n und seien γ 0, γ : [a, b] X stetige Kurven mit γ 0 (a) = γ (a) =: x 0, γ 0 (b) = γ (b) =: x. γ 0 und γ heißen (relativ) homotop, wenn eine stetige Abbildung H : [a, b] [0, ] X existiert mit ) Für alle t [a, b]: H(t, 0) = γ 0 (t), H(t, ) = γ (t) 2) Für alle s [0, ]: H(a, s) = x 0, H(b, s) = x. Für s [0, ] sei γ s (t) := H(t, s). Dann ist γ s : [a, b] X eine stetige Kurve mit γ s (a) = x 0 und γ s (b) = x. reihomotop Definition 7.9. Sei X R n und seien γ 0, γ : [a, b] X geschlossene stetige Kurven. γ 0 und γ heißen frei homotop, wenn eine stetige Abbildung motopieinv existiert mit: ) Für alle t [a, b]: 2) Für alle s [0, ]: H : [a, b] [0, ] X H(t, 0) = γ 0 (t), H(a, s) = H(b, s). H(t, ) = γ (t) Das heißt alle Zwischenkurven γ s sind wieder geschlossene Kurven. Definition 7.0. Sei X R n und γ : [a, b] X eine stetige geschlossene Kurve. γ heißt nullhomotop, falls ein x 0 X existiert, so dass γ zur konstanten Kurve γ x0 : [a, b] X, γ x0 (t) = x 0 frei homotop ist. Definition 7.. Eine zusammenhängende Menge X R n heißt einfach zusammenhängend, falls jede geschlossene Kurve in X nullhomotop ist. Satz 7.2. (Homotopieinvarianz) Sei U R n offen und seien γ 0, γ : [a, b] U Integrationswege. Weiterhin seien γ 0, γ (frei oder relativ) homotop in U. Sei ω eine lokal exakte -Form auf U. Dann gilt ω = γ 0 ω. γ Beweis. Siehe Königsberger, Analysis II, Seite 88 und Seite 98. Daraus folgt der entsprechende Satz über Kurvenintegraler holomorpher Funktionen. Satz 7.3. Sei U C offen und f : U C eine holomorphe Funktion. Seien γ 0, γ : [a, b] U relativ oder frei homotope Integrationswege. Dann gilt: fdz = fdz. γ 0 γ

40 40 WERNER MÜLLER CI Beweis. f hat lokale Stammfunktionen, also ist ω = fdz lokal exakt. Damit folgt fdz = ω = ω = fdz. γ 0 γ 0 γ γ Korollar 7.4. (Cauchyscher Integralsatz für einfach zusammenhängende Gebiete) Ist G C ein einfachzusammenhängendes Gebiet und f : G C eine holomorphe Funktion, dann gilt f(z)dz = 0 für alle geschlossenen Integrationswege γ in G. γ Beweis. Klar, da Integrale über konstante Kurven verschwinden. CIFormel 8. Die Cauchysche Integralformel Die Cauchysche Integralformel ist eine Integraldarstellung einer holomorphen Funktion, die zeigt, dass die Werte einer holomorphen Funktion innerhalb eines Kreises durch die Werte auf dem Rand bestimmt sind. Theorem 8.. (Cauchysche Integralformel) Es sei G C ein Gebiet und f : G C eine holomorphe Funktion. Sei z 0 G, r > 0 und D := D r (z 0 ) die Kreisscheibe um z 0 mit Radius r, so dass D G. Dann gilt int3 (8.3) 0 = f(z) = 2πi D f(ζ) ζ z dζ, z D r(z 0 ). Beweis. Für hinreichend kleines ɛ > 0 ist U := D r+ɛ (z 0 ) G eine konvexe Umgebung von z 0. Für z D sei die Funktion g : U C definiert durch f(ζ) f(z), ζ z ζ z g(ζ) = f (z), ζ = z. Dann ist g : U C stetig und holomorph auf U \ {z}. Aus Korollar 7.5 cor-sternf folgt: f(ζ) g(ζ)dζ = D D ζ z D dζ f(z) ζ z D dζ = f(ζ) ζ z D dζ f(z) ζ z dζ. Nach Satz intabl 5.0 3) ist z D ζ z D dζ = (ζ z) dζ. 2 Die Funktion φ(ζ) = (ζ z) 2 hat auf C \ {z} die Stammfunktion F (ζ) = (ζ z). Also folgt dζ = 0, D (ζ z) 2 und daher D ζ z D dζ = dζ = 2πi. ζ z 0

41 Zusammen mit ( int3 8.3) folgt Der Integrand ζ z KOMPLEXE ANALYSIS 4 2πif(z) = D Folgerungen ζ z dζ. ist holomorph im Punkt z D. Aus Satz intabl 5.0 3) folgt f (z) = f(ζ) dζ, z D. 2πi D (ζ z) 2 Diese Argument können wir wiederholen. Der Integrand des Integrales ist ebenfalls holomorph für z D, also ist f holomorph auf D und es gilt f (z) = 2 f(ζ) dζ, z D. 2πi D (ζ z) 3 Durch Iteration erhalten wir das t8.2 Theorem 8.2. Sei f : G C holomorph. Dann ist f beliebig oft komplex differenzierbar. Sei D := D r (z 0 ) und D G. Dann gilt für alle n N 0 und z D: f (n) (z) = n! f(ζ) dζ. 2πi D (ζ z) n+ Bemerkung: Theorem t zeigt, dass komplexe Differenzierbarkeit eine viel stärkere Bedingung als reele Differenzierbarkeit ist. Die Ableitung einer reel differenzierbaren Funktion braucht nicht einmal stetig zu sein. Zusammenhang mit Poissonscher Integralformel Die Cauchysche Integralformel ordnet sich in einen allgemeineren Zusammenhang ein. Das ist die Poissonsche Integralformel im R n. Es sei f : G C eine holomorphe Funktion, u = Re(f), v = Im(f). Wegen Theorem 8.2 t8.2 ist f beliebig oft komplex differenzierbar. Daher ist u, v C (U). Es sei = 2 x y 2 der Laplaceoperator in R 2. Aus den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen folgt u = 0 und v = 0, das heißt, u und v sind harmonische Funktionen. Sei r > und f : D r (z 0 ) C eine holomorphe Funktion. Für z D (z 0 ) ist f(z) = f(ζ) 2πi z = ζ z dζ = 2π f(ζ)ζ 2π 0 ζ z dθ, ζ = eiθ. Für z < ist z >. Nach dem Cauchyschen Integralsatz ist damit 0 = f(ζ) dζ. 2πi z = ζ ( z)

42 42 WERNER MÜLLER Für ζ = ist ζ = ζ. Damit erhalten wir Weiter ist Daraus folgt ζ ζ z und für u = Re f f(z) = 2π ζ ζ z = 2π 0 ζ ζ z f(z) = z 2 2π f(ζ) [ ζ ζ z u(z) = z 2 2π 0 Im R n betrachten wir nur den Poisson-Kern wobei und K(x, y) := r2 x 2 nω n r Theorem 8.3. Sei g C( B r (0)) und u(x) = ζ ζ z ] dθ z z ζ = ζ( z ζ) z(ζ z) = z 2 ζ z 2 ζ z. 2 2π 0 2π f(e iθ ) e iθ z 2 dθ. u(e iθ ) e iθ z 2 dθ. x y n, x B r(0), y B r (0), B r (0) = {x R n : x < r} ω n = vol(s n ). B r(0) Dann gilt: () u C (B r (0)). (2) u = 0 in B r (0). (3) lim x x0,x B r(0) u(x) = g(x 0 ), x 0 B r (0). K(x, y)g(y)ds(y). Beweis. Siehe L.C.Evans: Partial Differential Equations, S.4, Theorem 5.

43 KOMPLEXE ANALYSIS 43 morera hebbar Holomorphiekriterien Satz 8.4. (Morera) Sei f : G C stetig auf dem Gebiet G C. Für jedes abgeschlossene Dreieck G gelte f(z)dz = 0. Dann ist f holomorph auf G. Beweis. Sei D G eine Kreisscheibe. Aus Satz 6.5 stammfktstern folgt, dass es eine Funktion F : D G gibt mit F = f. Mit Theorem 8.2 t8.2 folgt, dass F : D C holomorph ist und damit ist auch f holomorph. Bemerkung: Sei f : G C stetig und holomorph auf G \ {z 0 }. Aus Lemma 7.3 lokalestammfkt folgt: f(z)dz = 0 für jedes G. Mit Satz morera 8.4 folgt, dass f holomorph auf ganz G ist. Damit ist die Bedingung an eine Funktion stetig zu sein und nur holomorph mit Ausnahme eines Punktes zu sein nur scheinbar allgemeiner als die Holomorphie auf ganz G. Satz 8.5. (Riemannscher Hebbarkeitssatz) Sei G C ein Gebiet und z 0 G. Sei f : G \ {z 0 } C holomorph und in einer Umgebung von z 0 beschränkt. Dann existiert eine eindeutig bestimmte holomorphe Funktion f : G C mit f G\{z0 } = f. Beweis. Da f in einer Umgebung von z 0 beschränkt ist, ist lim z z 0 (z z 0 )f(z) = 0. Sei F : G C definiert durch (z z 0 )f(z), z z 0 F (z) := 0, z = z 0. Dann ist F stetig und holomorph auf G\{z 0 }. Mit obiger Bemerkung folgt, dass F : G C holomorph ist. Es gilt: F (z 0 ) = lim z z0 F (z) F (z 0 ) z z 0 F (z) = lim = lim f(z). z z0 z z z z0 0 Da der Grenzwert existiert, kann f eindeutig zu einer stetigen Funktion f : G C fortgesetzt werden, die G \ {z 0 } holomorph ist. Aus der Bemerkung folgt, dass f holomorph ist. Beispiel: Es sei f(z) = sin z z, z 0. Aus der Potenzreihe von sin(z) ergibt sich f(z) = 3! z2 +

44 44 WERNER MÜLLER Daraus folgt lim z 0 f(z) =. Anwendung des Hebbarkeitssatzes ergibt, dass f durch f(0) = zu einer holomorphen Funktion f : C C fortgesetzt werden kann. 9. Potenzreihenentwicklung holomorpher Funktionen Im letzten Kapitel haben wir gezeigt, dass eine einmal komplex differenzierbare Funktion beliebig oft komplex differenzierbar ist. Wir zeigen jetzt, dass holomorphe Funktionen sogar lokal in Potenzreihen entwickelt werden können. Definition 9.. Sei U C offen. Eine Funktion f : U C heißt um z 0 U in eine Potenzreihe entwickelbar, wenn folgendes gilt: Es existiert eine Potenzreihe k=0 a k (z z 0 ) k mit Konvergenzradius R > 0 und 0 < r R mit D r (z 0 ) U und f(z) = a k (z z 0 ) k, z D r (z 0 ). k=0 Nach Satz 3.5 potenzreihe ist f holomorph auf D r (z 0 ). Sei f : U C holomorph, z 0 U und R = sup{r R + : D r (z 0 ) U}. Sei r < R und γ = D r (z 0 ), wobei γ als positiv orientierte Kurve aufgefasst wird. Aus Satz 8. CIFormel folgt: f(z) = f(ζ) 2πi γ ζ z dζ, z D r(z 0 ). Wir entwickeln den Cauchy-Kern ζ z in eine geometrische Reihe nach Potenzen von z z 0 ζ z 0 : Nach Voraussetzung ist Daraus folgt ζ z = ζ z 0 (z z 0 ) = ζ z 0 z z. 0 ζ z 0 z z 0 < ζ z 0, ζ γ, z D r (z 0 ). ζ z = ζ z 0 k=0 ( z z ) 0 k (z z 0 ) k = ζ z 0 (ζ z 0 ). k+ Die Reihe konvergiert absolut für ζ γ und es ist f(z) = f(ζ) 2πi γ k=0 (ζ z 0 ) (z z 0) k dζ, z D k+ r (z 0 ). Sei z D r (z 0 ) fest und q = z z 0. ζ z 0 Dann ist 0 < q < für ζ γ und (z z 0 ) k (ζ z 0 ) k+ ζ z 0 k=0 k=n k=0 qn q k < ζ z 0 q.

45 KOMPLEXE ANALYSIS 45 analytisch Das zeigt, dass die Reihe gleichmäßig für ζ γ konvergiert. Daher kann die Reihe gliedweise integriert werden: ( ) f(ζ) f(z) = dζ (z z 2πi D (ζ z 0 ) k+ 0 ) k. Sei Dann ist Aus Theorem t folgt, dass Daher ist k=0 a k = f(ζ) dζ. 2πi D (ζ z 0 ) k+ f(z) = a k (z z 0 ) k, z D r (z 0 ). k=0 f(z) = k=0 a k = f (n) (z 0 ). k! Wir haben damit folgendes Theorem bewiesen: f (n) (z 0 ) (z z 0 ) k, z D r (z 0 ). k! Theorem 9.2. Sei U C offen und f : U C holomorph. Dann kann f in jeder Kreisscheibe D r (z 0 ) U in eine Potenzreihe f(z) = a k (z z 0 ) k k=0 entwickelt werde und es gilt: () Es sei R der Konvergenzradius der Reihe. Dann ist (2) k N und 0 < r < R ist a k = f (n) (z 0 ) k! R d(z 0, U) = inf z ζ. ζ U = f(ζ) dζ. 2πi D r(z 0 ) (ζ z 0 ) k+ Bemerkungen: ) Es sei R > 0 der Konvergenzradius von P (z) = k=0 a k (z z 0 ) k. Dann gilt im allgemeinen nicht: f(z) = P (z), z D R (z 0 ) U. 2) Theorem 9.2 analytisch gilt nicht für C -Funktionen. Sei I R ein Intervall, f C (I), a I und T f(x; a) = n=0 f (n) (a) (x a) n. n! sei die Taylorreihe von f in a. Dann ist folgendes möglich:

46 46 WERNER MÜLLER i) T f(x; a) kann Konvergenzradius Null haben. Ein Beispiel ist die Funktion e t f(x) = 0 + x 2 t Es gilt T f(x; 0) = x 2 + 2!x 4 3!x 6 + 4!x 6. ii) T f(x; a) konvergiert in (a ɛ, a + ɛ), aber f(x) T f(x; a), x a < ɛ. Ein Beispiel dafür ist die folgende Funktion. 0, x 0 f(x) = e x 2, x > 0. Dann ist f C (R). Es gilt f (n) (0) = 0 für alle n N 0. Daher is T f(x, 0) = 0 und T f(x, 0) f(x). Beispiel für Potenzreihenentwicklungen: Es sei f(z) = (z a), z 0 a. Dann ist z a = z z 0 (a z 0 ) = a z 0 z z = 0 a z 0 wobei a n = (a z 0 ) (n+). Der Konvergenzradius ist R = z 0 a. a n (z z 0 ) n, n=0 Satz 9.3. Es sei f(z) = k=0 a k (z z 0 ) k mit Konvergenzradius R > 0. Dann existiert keine offene Umgebung U mit U D R (z 0 ) und eine holomorphe Funktionen f : U C, so dass f DR (z 0 )= f. Beweis. Es sei U C offen mit U D R (z 0 ) und f : U C holomorph mit f DR = f. (z 0 ) Da U offen ist, existiert ein ɛ > 0, sodass D R+ɛ U. Aus Theorem 9.2 analytisch folgt, dass ein R > R existiert, so dass f f(z) (k) (z 0 ) = (z z 0 ) k, z D R. k! k=0 Dies ist aber ein Widerspruch dazu, dass R der Konvergenzradius der Potenzreihe ist. Bemerkung: Dies gilt nicht im Reellen. Als Beispiel betrachten wir die Funktion f(x) := + x. 2 Dann ist + x = ( ) k x 2k, x <. 2 k=0 Der Konvergenzradius ist. Aber f : R R ist C, sogar reell analytisch.

47 KOMPLEXE ANALYSIS 47 Der folgende Satz faßt alle bisherigen Holomorphiekriterien zusammen. Satz 9.4. Sei U C offen und f : U C eine Funktion. Folgende Aussagen sind äquivalent: ) f ist holomorph. 2) f besitzt lokale Stammfunktionen. 3) f ist reell differenzierbar und f 0. z 4) Um jedes z 0 U kann f in eine Potenzreihe entwickelt werden. 5) f ist stetig und für jedes abgeschlossene Dreieck U gilt f(z)dz = 0. Definition 9.5. Sei G C ein Gebiet und A G. A heißt diskret in G, wenn gilt: z 0 G r > 0 : #(D r (z 0 ) A) <. Eine äquivalente Formulierung ist: A G ist diskret A hat keinen Häufungspunkt in G. IeC {\"a}t Achtung. Eine diskrete Menge kann Häufungspunkt in G haben. Satz 9.6. (Identitätssatz) Es sei G C ein Gebiet und f : G C eine holomorphe Funktion. Folgende Aussagen sind äquivalent: ) f(z) 0 2) Es existiert ein z 0 G mit f (k) (z 0 ) = 0 für alle k N 0 3) Es existiert eine nichtdiskrete Teilmenge A G mit z A : f(z) = 0. Beweis. Die Implikation () (2) ist klar. Wir zeigen jetzt, dass aus (2) die Aussage () folgt. Es sei z 0 G und es gelte f (k) (z 0 ) = 0 für alle k N 0. Sei Dann gilt: i) M, da z 0 M. ii) M ist abgeschlossen in G. M = {z G : f (k) (z) = 0, k N 0 }. Beweis. Nach Definition ist M = {z M : f (k) (z) = 0} k=0 Da f (k) : G C stetig ist, ist (f (k) ) (0) abgeschlossen. Damit ist M als Durchschnitt abgeschlossener Mengen selbst abgeschlossen. iii) M ist offen. Beweis. Sei z M. Es existiert r > 0, so dass D r (z ) G. Aus Theorem 9.2 analytisch folgt: f(z) = k=0 f (k) (z ) (z z ) k, z D r (z 0 ). k!

48 48 WERNER MÜLLER Da z M, ist f (k) (z ) = 0 für alle k N 0. Daher f Dr(z 0. Daraus folgt ) D r (z ) M. Damit haben wir gezeigt, dass M eine nicht leere offene und abgeschlossene Menge in G ist. Da G zusammenhängend ist, folgt M = G. Daher ist f 0. ) 3) ist klar. 3) 2) Sei A G nicht diskret und f A 0. Da A nicht diskret in G ist, existiert in G ein Häufungspunkt z 0 von A. Daher existiert eine Folge (z k ) k N A mit z k z 0 für alle k N und z 0 = lim z k. k Wir zeigen mittels Induktion: f (k) (z 0 ) = 0 für alle k N 0. Da (z k ) k N A, ist f(z k ) = 0 für alle k N. Daraus folgt f(z 0 ) = lim f(z k ) = 0. k Das ist der Induktionsanfang. Wir nehmen jetzt an, dass f (k) (z 0 ) = 0 für k = 0,, n gilt. Dann existiert r > 0, so dass f(z) = a k (z z 0 ) k, z D r (z 0 ). k=n Dabei ist a k = f (k) (z 0 ). Sei z k! j D r (z 0 ). Dann ist 0 = f(z j ) = a k (z j z 0 ) k. Sei g(z) = k=n+ k=n a k (z z 0 ) k n. Die Reihe konvergiert absolut in D r (z 0 ). Daher ist g : D r (z 0 ) C stetig. Insbesondere ist g in z 0 stetig. Weiter ist 0 = a n + (z j z 0 )g(z j ) Daraus folgt a n = lim (a n + (z j z 0 )g(z j )) = 0. j Damit haben wir den Identitätssatz bewiesen. Korollar 9.7. Sei G C ein Gebiet und seien f, g : G C holomorphe Funktionen. Folgende Aussagen sind äquivalent: ) f g 2) Es existiert ein z 0 G mit f (k) (z 0 ) = g (k) (z 0 ) für alle k N 0 3) Es existiert eine nichtdiskrete Teilmenge A G mit z A : f(z) = g(z).

49 Beweis. Satz KOMPLEXE ANALYSIS 49 identit\iec {\"a}t 9.6 auf f g anwenden. Bemerkung: Die reellen elementaren Funktionen sin, cos, e x : R R können wegen des Identitätssatzes nur auf eine Weise zu holomorphen Funktionen fortgesetzt werden. Analytische Fortsetzung Es seien G G C Gebiete und f : G C eine holomorphe Fuktion. Aus dem Identitätssatz folgt, dass höchstens eine holomorphe Funktion f : G C existiert mit f G = f. Wenn f existiert, so heißt f die analytische Fortsetzung von f. Bemerkungen. ) Das gilt nicht für reell differenzierbare Funktionen. Beispiel: Sei f : C R definiert durch exp ( ) z, z <, f(z) := 2 0, z. Dann ist f C (C), f 0 und f C\D (0) = 0. D.h. f ist eine von Null verschiedene Fortsetzung der Funktion, die identisch Null ist auf C \ D (0). 2) Sei f : G C holomorph und C G eine Kurve. Dann ist f durch f C eindeutig bestimmt. Man erhält daraus das Permanenzprinzip: Identitäten zwischen Funktionen, die auf C gelten, setzen sich auf G fort. Beispiel: Sei f(z) = cot(πz), z C \ Z. Dann ist f : C \ Z C holomorph. Es gilt f(x + ) = f(x) für alle x R \ Z. Aus dem Identiätssatz folgt f(z + ) = f(z) für alle z C \ Z. Beispiele für analytische Fortsetzung Das Prinzip der analytischen Fortsetzung spielt in verschiedenen Gebieten der Mathematik eine wichtige Rolle wie z.b. in der analytischen Zahlentheorie. Wir diskutieren einige Beispiele. ) Die Riemannsche Zetafunktion Als ein wichtiges Beispiel betrachten wir die Riemannsche Zetafunktion. Aus Analysis I wissen wir Folgendes: Es sei σ >. Dann ist n σ <. n= Für n N sei f n (s) = n s, s C. Dann ist f n (s) = n Re(s).

50 50 WERNER MÜLLER Sei σ = Re(s) >. Dann folgt Daraus folgt, dass die Reihe f n (s) = n σ <. n= n= n s n= für alle s mit Re(s) > konvergiert. Weiter ist f n(s) = log(n)/n s und n= log n n σ < für σ >. Daher konvergiert die Reihe n= f n(s) lokal gleichmäßig in der Halbebene Re(s) >. Sei ζ(s) := n s, Re(s) >. n= Dann folgt, dass ζ(s) eine holomorphe Funktion in der Halbebene Re(s) > ist. Unser Ziel ist es, ζ(s) analytisch auf C \ {} fortzusetzen. Dazu benötigen wir einige Vorbereitungen. a) Die Gammafunktion. Für s C mit Re(s) > 0 sei Γ(s): = 0 e t t s dt. Das Integral konvergiert absolut und lokal gleichmäßig in der Halbebene Re(s) > 0 und definiert dort eine holomorphe Funktion. Man kann nun zeigen, dass Γ(s) auf C\{ n: n N 0 } analytisch fortgesetzt werden kann. Weiterhin ist /Γ(s) eine auf ganz C holomorphe Funktion, deren Nullstellen die Menge { n: n N 0 } ist. psf b) Poissonsche Summationsformel (PSF) Es sei S(R) = {f C (R): n, N N 0 : sup f (n) (x) ( + x ) N < } x R der Raum der schnell fallenden Funktionen auf R. Wir erinnern an die Fouriertransformation. Für f S(R) ist ˆf S(R) definiert als ˆf(u) = f(x)e 2πiux dx. Lemma 9.8. Sei f S(R). Dann ist R n Z f(n) = n Z ˆf(n).

51 KOMPLEXE ANALYSIS 5 Beweis. Für f S(R) sei F (x): = k Z f(x + k). Dann ist F C (R) und es gilt F (x + ) = F (x). Wir können daher F in die Fourierreihe entwickeln. Es ist F (x) = a n e 2πinx n Z mit a n = 0 F (x)e 2πinx dx. Wenn wir die Definition von F einsetzen, erhalten wir a n = f(x + k)e 2πinx dx = f(x + k)e 2πinx dx 0 k Z k Z 0 = k+ f(x)e 2πinx dx = f(x)e 2πinx = ˆf(n). k Z k R Daraus folgt f(x + n) = ˆf(n)e 2πinx. n Z n Z Wenn wir nun x = 0 setzen, so erhalten wir die behauptete Gleichung. Es sei f(x) = e πx2t, t > 0. Dann ist bekanntlich ˆf(u) = t e πu2 /t. Aus Lemma psf 9.8 erhalten wir Es sei e πn2t = e πn2 /t n Z t n Z θ(t) := e πn2t, t > 0. n Z Dann haben wir folgendes Lemma bewiesen: theta Lemma 9.9. Für alle t > 0 gilt θ(t) = t θ(/t). Sei λ > 0. Mittels der Substitution t = u/λ folgt e tλ t s dt = Γ(s)λ s. 0

52 52 WERNER MÜLLER Für Re(s) > erhalten wir damit π s Γ(s)ζ(2s) = Γ(s) (πn 2 ) s = e πn2t t s θ(t) dt = t s dt n= 0 n= 0 2 θ(t) = t s dt + θ(t)t s dt s θ(t) = t s dt + θ(/t)t s dt 2 2 2s. Anwendung von Lemma 9.9 theta ergibt für das 2. Integral θ(t)t s /2 θ(t) dt = t s /2 dt 2 2 2s. In der resultierenden Gleichung ersetzen wir s durch s/2 und erhalten damit ) π s/2 θ(t) zeta Γ(s/2)ζ(s) = (t (9.4) s/2 + t ( s)/2) dt 2 s, Re(s) >. s xifct Theorem 9.0. Es sei ξ(s) = π s/2 Γ(s/2)ζ(s). Dann ist ξ(s) holomorph in C \ {0, } und es gilt folgende Funktionalgleichung: ξ(s) = ξ( s). Beweis. Für t gilt folgende Abschätzung θ(t) = e πn2t < e πnt = 2 n= n= e πt e πt e π e πt. Es sei Re(s) c. Dann ist t s e πt dt t c e πt dt <. Daraus folgt, dass das Integral ( ) θ(t) t s/2 + t ( s)/2 ) dt 2 absolut und lokal gleichmäßig in C konvergiert und unter der Substitution s s invariant ist. Aus ( 9.4) zeta folgt die Behauptung. Nach Definition von ξ(s) ist ζ(s) = πs/2 Γ(s/2) ξ(s). Die Funktion /Γ(s/2) ist holomorph in C. Die Nullstellen sind 2n, n N 0. Zusammen mit Theorem 9.0 xifct erhalten wir die analytische Fortsetzung von ζ(s) auf C \ {0, }. Da s = 0 eine Nullstelle von /Γ(s/2) ist, folgt aus dem Hebbarkeitssatz, dass ζ(s) zu einer holomorphen Funktion auf C \ {} fortgesetzt werden kann. Außerdem gilt die Funktionalgleichung s s /2 Γ( functgl (9.5) ζ(s) = π ζ( s). ) Γ( s 2 2 )

53 KOMPLEXE ANALYSIS 53 eulerpr Eine weitere wichtige Eigenschaft der Zetafunktion ist die Darstellung als Eulerprodukt. Satz 9.. Für Re(s) > ist ζ(s) = ( p s ), p wobei sich das Produkt über alle Primzahlen erstreckt. Beweis. Für σ = Re(s) > ist p s = p σ < 2 <. Wir können daher ( p s ) in die geometrische Reihe entwickeln ( p s ) = p ks. Für x > 0 sei Sei Dann ist Sei Dann ist k=0 P (x) = ( p ). ks p x k=0 N(x) = {n N: p n p x}. P (x) = n N(x) n s. M(x) = {n N: p > x mit p n}. P (x) ξ(s) = m M(x) m s. Für m M(x) ist offenbar m > x. Daraus folgt P (x) ξ(s) m σ < n σ. m M(x) n<x Da die Reihe n= n σ konvergiert, folgt lim P (x) = ζ(s). x Da für Re(s) > das Eulerprodukt konvergiert ist p( p s ) 0. Aus Satz 9. eulerpr folgt ζ(s) 0 für Re(s) >. Wir wenden jetzt die Funktionalgleichung ( 9.5) functgl an. Da die Nullstellen von /Γ(s/2) in Re(s) < 0 die Zahlen 2n, n N, sind, folgt dass { 2n: n N} die Menge der Nullstellen von ζ(s) in der Halbebene Re(s) < 0 ist. Diese Nullstellen nennt man die trivialen Nullstellen der Zetafunktion. Die nichttrivialen Nullstellen liegen damit alle im Streifen 0 Re(s).

54 54 WERNER MÜLLER Riemannsche Vermutung. Die nichttrivialen Nullstellen liegen alle auf der Geraden Re(s) = /2. Die Riemannsche Vermutung wurde 859 von B. Riemann formuliert. Sie ist gegenwärtig eine der bedeutensten Vermutungen in der Mathematik und ist eines der sogenannten Milleniumsprobleme. Bekannt ist das folgende Ergebnis von De la Valleé Poussin. Satz 9.2. Es existiert c > 0, so dass Daraus folgt der Primzahlsatz. Es sei die Primzahlzählfunktion. Dann gilt ζ(σ + it) 0, σ > c, t 3. log t π(x) = # {p: p Primzahl, p x} π(x) lim x x log(x) =, oder anders formuliert π(x) x log(x), x. Es sei x dt Li(x) = 2 ln(t) der Integrallogarithmus. Li(x) hat die folgende asymptotische Entwicklung Li(x) x ln(x) Eine genauere Form des Primzahlsatzes ist k=0 k! (ln(x)) k. π(x) = Li(x) + O(xe a ln(x) ) für x. Wenn die Riemannsche Vermutung richtig ist, dann gilt eine viel schärfere Abschätzung des Restgliedes. Und zwar ist dann π(x) = Li(x) + O( x ln(x)), x. Dies ist nur ein Grund für die Bedeutung der Riemannschen Vermutung. Es gibt eine ganze Reihe von Resultaten, die unter der Voraussetzung der Riemannschen Vermutung gelten. 2) Dirichletsche L-Reihen Eine Verallgemeinerung der Riemannschen Zetafunktion sind Dirichletsche L-Reihen, die in der analytischen Zahlentheorie ebenfalls eine wichtige Rolle spielen. Für N N sei ˆχ: (Z/NZ) C

55 KOMPLEXE ANALYSIS 55 ein Charakter, d.h. ein Homomorphismus der Gruppen. Mittels ˆχ definieren wir eine Abbildung χ: Z C durch ˆχ([n]), (n, N) =, χ(n) := 0, sonst. Dabei bezeichnet [n] Z/N Z die Restklasse von n. χ heißt Dirichletscher Charakter modulo N. Es sei χ(n) L(s, χ) :=, Re(s) >. ns n= Da χ(n) = für alle n N, konvergiert die Reihe absolut und lokal gleichmäßig in der Halbebene Re(s) > und definiert dort eine holomorphe Funktion. Wie im Falle der Riemannschen Zetafunktion kann man zeigen, dass L(s, χ) folgende Eigenschaften hat: ) L(s, χ) kann analytisch auf C \ {} fortgesetzt werden. 2) Es sei χ 0 der triviale Charakter. Für χ χ 0 ist L(s, χ) holomorph auf C. 3) Es gilt eine Funktionalgleichung der Form 4) ( ) s + δ π s/2 N s/2 Γ L(s, χ) = 2 G i δ N N ( s)/2 Γ ( ) s + δ L( s, χ). 2 Dabei ist δ = 0,, in Abhängigkeit davon, ob χ( ) = oder χ( ) = ist. L(s, χ) = p 5) Für χ χ 0 ist L(, χ) 0. ( χ(p) p s ), Re(s) >. Dirichlet hat die L-Reihen benutzt, um das folgende Theorem zu beweisen. Theorem 9.3. Es seien k, m N mit (k, m) =. Sei a n := nk + m, n N. Die arithmetische Folge (a n ) n N enthält undendlich viele Primzahlen. Das ist der Dirichletsche Primzahlsatz. Ein weiteres wichtiges Resultat, das Dirichlet mit Hilfe von L-Reihen bewiesen hat, ist die analytische Klassenzahlformel. 3) Die L-Funktion einer elliptischen Kurve Vielen arithmetischen Objekten können Dirichletsche Reihen zugeordnet werden. Beispiele sind die Dedekindsche Zetafunktion ζ K (s) eines Zahlkörpers K, die Artinsche L-Funktion L(s; ρ) einer Darstellung ρ der Galoisgruppe und die Hasse-Weil-Zetafunktion L(s, X) einer algebraischen Varietät X über Q. Das Hauptproblem ist dann, zu zeigen, dass die Dirichletschen Reihen eine analytische Fortsetzung auf C haben und einer Funktionalgleichung genügen. Als Beispiel betrachten wir eine elliptische Kurve E die über Q definiert ist. Sie ist durch eine Weierstraßsche Gleichung y 2 = x 3 + ax + b

56 56 WERNER MÜLLER mit rationalen Koeffizienten a, b gegeben. Für jede Primzahl p gibt es ein (im wesentlichen eindeutig bestimmtes) Néronsches Modell E p für E, dass durch eine Gleichung Y 2 + λxy + µy = X 3 + αx + γ mit ganzen p-adischen Koeffizienten gegeben ist und über dem Körper der p-adischen Zahlen Q p birational äquivalent zu E ist. Wenn man die Gleichung modulo p reduziert, erhält man die Gleichung einer irreduziblen Kurve Ēp über dem endlichen Körper F p. Für fast alle p ist Ēp eine nichtsinguläre elliptische Kurve. Es sei c p die Anzahl der über F p rationalen Punkte auf der Kurve Ēp und a p := p + c p. Dann ist der Eulerfaktor L p (s, E) definiert durch L p (s, E) = ( a p p s + p 2s ). Wenn Ēp einen gewöhnlichen Doppelpunkt hat, setzt man L p (s, E) = ( ε p p s ), wobei ε p = ± ist und der Wert davon abhängt, ob die Tangenten am Doppelpunkt rational über F p sind oder nicht. Schließlich setzt man für den Fall, dass Ēp eine Spitze hat, L p (s, E) =. Die L-Funktion der elliptischen Kurve E ist dann definiert als das Eulerprodukt L(s, E) := p L p (s, E). Für die Koeffizienten a p gilt die Abschätzung a p 2 p. Daraus folgt, dass das Produkt absolut und lokal gleichmäßig in der Halbebene Re(s) > 3/2 konvergiert und dort eine holomorphe Funktion definiert. Es gilt nun modular Theorem 9.4. L(E, s) hat eine analytische Fortsetzung zu einer holomorphen Funktion auf C. Es sei N der Führer von E und Λ(s) = (2π) s N s/2 Γ(s)L(s, E). Dann gilt die Funktionalgleichung Λ(s, E) = wλ(2 s, E), wobei w = ±. Dieses Theorem ist eine Folgerung aus dem Beweis der Shimura-Taniyama-Weil Vermutung (Modularitätsvermutung) durch Wiles, Taylor, Diamond, Conrad und Bruil. Diese besagt folgendes. Theorem 9.5. Es sei E eine elliptische Kurve über Q mit L-Reihe L(s, E) = a n n s. n= Es sei f die Funktion auf der oberen Halbebene, die definiert ist durch f(z) = a n e 2πinz, Im(z) > 0. n=

57 KOMPLEXE ANALYSIS 57 Dann ist f eine automorphe Spitzenform vom Gewicht 2 für die Gruppe {( ) } a b Γ 0 (N) := SL(2, Z): c 0 (mod N). c d Die Gruppe Γ 0 (N) ist eine diskrete Untergruppe von SL(2, R) und operiert durch gebrochene lineare Transformationen auf der oberen Halbebene H := {z C: Im(z) > 0}. Automorphe Spitzenform vom Gewicht 2 bedeutet, dass sich f wie folgt transformiert transf (9.6) f ( az + b cz + d ) = (cz + d) 2 f(z), ( ) a b Γ c d 0 (N). Für die analytische Fortsetzung von L(s, E) spielt f die gleiche Rolle wie die Thetareihe θ(t) für die Riemannsche Zetafunktion. Es gilt mellintr (9.7) (2π) s Γ(s)L(s, E) = Da 0 f(iy)y s dy. ( ) 0 Γ N 0 0 (N), folgt aus ( 9.6) transf ( ) i f = (iny) 2 f(iy), y R +. Ny Wie im Falle der Riemannschen Zetafunktion kann man diese Gleichung zusammen mit ( 9.7) mellintr verwenden, um die analytische Fortsetzung von L(s, E) und ihre Funktionalgleichung herzuleiten. Im Zusammenhang mit der L-Reihe L(s, E) gibt es eine weitere wichtig Vermutung. Es sei E(Q) die Menge der rationalen Punkte auf der Kurve E. E(Q) ist eine endlich erzeugte abelsche Gruppe, d.h. es gibt ein r N 0, so dass E(Q) = Z r E(Q) tors, wobei E(Q) tors eine endliche abelsche Gruppe ist. r ist der Rang von E(Q). Vermutung (Birch und Swinneerton-Dyer) Die Taylorentwicklung von L(s, E) in s = hat die Form L(s, E) = c(s ) r + O((s ) r+ ), mit c 0 und r = Rang(E(Q)). Dies ist ein weiteres Milleniumproblem. Die Untersuchung von L-Reihen obiger Art und ihre Beziehung zur Theorie der automorphen Formen ist ein aktuelles Forschungsgebiet in der Mathematik. Das Problem der analytischen Fortsetzung von Dirichletschen Reihen, die aus der Zahlentheorie hervorgehen, ist ein zentrales Thema.

58 58 WERNER MÜLLER Werte holomorpher Funktionen Satz 9.6. Sei G C ein Gebiet, f : G C eine nicht konstante holomorphe Funktion. Für alle a C ist f (a) = {z G : f(z) = a} diskret und abgeschlossen in G (eventuell = ). Für jede kompakte Teilmenge K G ist f (a) K endlich. Beweis. Sei a C. Die Funktion f : G C ist stetig, also ist f (a) abgeschlossen. Sei A = f (a) nicht diskret. Dann ist A G eine nicht diskrete Teilemnge, für die gilt f(z) = a für alle z A. Aus dem Identitätssatz folgt dann f a. Daher ist A diskret. Sei K G kompakt. Sei a C, so dass f (a) K =. Dann existiert eine Folge (z k ) k N in f (a) K mit z k z l, für k l. Da f (a) K kompakt ist, hat die Folge (z k ) einen Häufungspunkt z 0 f (a) K. Aber f (a) ist diskret. Also folgt, dass f (a) K <. Bemerkungen: ) Dies gilt nicht für reell differenzierbare Funktionen. Beispiel: e x f(x) = 2 sin( ), x 0 x 0, x = 0. Dann ist f C (R) und f (n) (0) = 0 für alle n N 0. Sei x n = πn. Dann ist f(x n) = 0 für alle n N und x n konvergiert gegen 0. 2) Nullstellen einer holomorphen Funktion f : G C können sich am Rand von G häufen. Beispiel: Sei f(z) = sin ( ) z+ z, z C \ {}. Dann ist { nπ + nπ : n Z} die Menge der Nullstellen von f und es gilt = lim n nπ + nπ. Nullstellen holomorpher Funktionen Sei G C ein Gebiet und f : G C holomorph. Sei f 0. Aus Satz jedes z 0 G ein m N 0 existiert, so dass Definition 9.7. Für z G sei f(z 0 ) = f (z 0 ) = f (m ) (z 0 ) = 0, f (m) (z 0 ) 0. o z (f) := m = min{k N : f (k) (z 0 ) 0}. identit\iec {\"a}t 9.6 folgt, dass für o z (f) heißt die Ordnung odervielfachheit von f in z. Für f 0 setzen wir o z (f) =.

59 Für z G gilt KOMPLEXE ANALYSIS 59 f(z) = 0 o z (f) > 0. Wir sagen, dass f in z 0 G den Wert w C von Ordnung m annimmt, wenn gilt. o z (f w) = m Lemma 9.8. Für alle holomorphen Funktionen f, g, die im Punkt z G holomorph sind, gilt: () o z (fg) = o z (f) + o z (g) (2) o z (f + g) min{o z (f), o z (g)}, = gilt dann, wenn o z (f) o z (g) ist. Beweis. Übung! Lemma 9.9. Es sei f : U C holomorph. Folgende Aussagen sind äquivalent: ) f hat in z 0 eine Nullstelle der Ordnung n. 2) Für die Taylorentwicklung von f in z 0 gilt f(z) = a k (z z 0 ) k, a n 0. k=n 3) Es existieren r > 0 mit D r (z 0 ) U und eine holomorphe Funktion g : D r (z 0 ) C mit g(z 0 ) 0 und f(z) = (z z 0 ) n g(z). Beweis. () (2) klar, da a k = f (k) (z 0 ). k! (2) (3) Sei g(z) = a k (z z 0 ) k n. k=n g konvergiert in D r (z 0 ) mit dem Konvergenzradius r > 0. Daher ist g : D r (z 0 ) C holomorph und g(z 0 ) = a n 0. Aus der Definition folgt f(z) = (z z 0 ) n g(z). (3) () Sei g : D r (z 0 ) C holomorph, so dass f(z) = (z z 0 ) n g(z) gilt für z D r (z 0 ). Aus der Leibnizregel folgt: ( ) k k f (k) (z) = n(n ) (n j + )(z z 0 ) n j g (j) (z). j j=0 Für k < n folgt f (k) (z 0 ) = 0. Für k = n folgt f (k) (z 0 ) = n!g(z 0 ) 0.

60 60 WERNER MÜLLER 0. Cauchysche Ungleichung und Maximumprinzip s0. Satz 0.. (Cauchysche Ungleichung) Es sei f : U C holomorph, r > 0 und D r (z 0 ) U. Für z D r (z 0 ) sei d z = Dann gilt für alle n N 0 und z D r (z 0 ): f (n) (z) n! min z ζ. ζ z 0 =r r d n+ z max f(ζ). ζ z 0 =r Beweis. Auf Grund der Cauchyschen Integralformel ist f (n) (z) = n! f(ζ) dζ 2πi D r(z 0 ) (ζ z) n+ für alle z D r (z 0 ). Daraus folgt f (n) (z) n! 2π c0.2 Korollar 0.2. Es gilt Bemerkung: Es sei D r(z 0 ) f(ξ) ζ z dζ n! r max n+ d f(ζ). n+ z ζ z 0 =r f (n) (z 0 ) n! r max f(ζ). n ζ z 0 =r M(r) = max f(ζ). ζ z 0 =r Dann gilt für die Taylorkoeffizienten a n = f (n) (z 0 ) n! die Abschätzung n N 0 : a n M(r) r n. c0.3 Korollar 0.3. Für d < r und alle z D r d (z 0 ) gilt: Beweis. Betrachte: f (n) (z) n! rm(r). dn+ D r d (z 0) z 0 r d D r (z 0 ) d

61 KOMPLEXE ANALYSIS 6 z D r d (z 0 ) : d z = min ζ z0 =r z ζ d. Aus Satz 0. s0. erhält man auch erste Aussagen über die Werteverteilung einer holomorpher Funktionen: s0.4 Satz 0.4. Es sei f : U C holomorph und D r (z 0 ) U. Wenn f(z 0 ) < gilt, dann existiert ein w D r (z 0 ) mit f(w) = 0. min f(z) z z 0 =r Beweis. Wir nehmen an, dass f(z) 0 für alle z D r (z 0 ) ist. Aus f(z 0 ) < min f(z) z z 0 =r folgt, dass f(z) 0 gilt für alle z D r (z 0 ). Daher ist f(z) 0 für alle z D r (z 0 ). Daraus folgt, dass eine Umgebung V von D r (z 0 ) existiert mit f(z) 0 für alle z V. Es sei g(z) = f(z), z V. Dann ist g : V C holomorph. Aus Korollar c für n = 0 folgt das heißt f(z 0 ) g(z 0 ) max z z 0 =r max g(z), z z 0 =r f(z) = min z z0 =r f(z). Somit ist f(z 0 ) min f(z). z z 0 =r Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung. Daher muss f wenigstens eine Nullstelle in D r (z 0 ) haben. s0.5 Satz 0.5. (Gebietstreue) Es sei G C ein Gebiet und f : G C holomorph und nicht konstant. Dann ist f(g) C wieder ein Gebiet. Beweis. Da f stetig ist, ist f(g) zusammenhängend. Es bleibt zu zeigen, dass f(g) C offen ist. Es sei w 0 f(g) und z 0 G mit w 0 = f(z 0 ). Da die Nullstellen von f(z) w 0 diskret sind, existiert ein r > 0, sodass D r (z 0 ) G und z D r (z 0 ) : f(z) w 0. Da D r (z 0 ) kompakt ist, folgt daraus, dass ein ɛ > 0 existiert mit f(z) w 0 3ɛ > 0 für z z 0 = r. Es sei w w 0 < ɛ. Dann gilt für z D r (z 0 ): f(z) w f(z) w 0 w w 0 3ɛ ɛ = 2ɛ.

62 62 WERNER MÜLLER Für z = z 0 ist aber f(z 0 ) w = w w 0 < ɛ. Daraus folgt f(z 0 ) w < min f(z) w. z z 0 =r Auf Grund von Satz 0.4 s0.4 hat f(z) w mindestens eine Nullstelle z D r (z 0 ), das heißt f(z ) = w. Damit haben wir gezeigt: also ist f(g) offen. B ɛ (w 0 ) f(g), Gutzmersche Formel Es sei f(z) = a k (z z 0 ) k k=0 in D R (z 0 ) konvergent für R > 0. Sei 0 < r < R und z z 0 = r. Dann ist z = z 0 + re iϕ, ϕ [0, 2π), und daher ist f(z 0 + re iϕ ) = a k r k e ikϕ k=0 eine trigonometrische Reihe. Für die Funktion e ikϕ gelten die Orthogonalitätsrelationen. 2π e i(m n)ϕ 0, m n; dϕ = 2π 0, m = n. Da f(z 0 + re iϕ ) = k=0 a k r k e ikϕ in [0, 2π] normal konvergiert, folgt Es sei a n r n = 2π 2π 0 M(r) := f(z 0 + re iϕ )e inϕ dϕ, n N 0. max f(z). z z 0 =r s0.6 Satz 0.6. (Gutzmersche Formel) Es sei f(z) = k=0 a k (z z 0 ) k konvergent in D R (z 0 ). Dann gilt für alle 0 < r < R: Beweis. Wegen k=0 a k 2 r 2k = 2π 2π 0 f(z 0 + re iϕ ) 2 dϕ M(r) 2. f(z 0 + re iϕ ) = a k r k e ikϕ k=0

63 KOMPLEXE ANALYSIS 63 gilt f(z 0 + re iϕ ) 2 = a k r k f(z 0 + re iϕ )e ikϕ. k=0 Da diese Reihe in [0, 2π] normal konvergiert, folgt aus den Orthogonalitätsrelationen: 2π 2π f(z 0 + re iϕ ) 2 dϕ = a k r k f(z 0 + re iϕ )e ikϕ dϕ 0 k=0 0 = 2π a k 2 r 2k. k=0 Weiter ist 2π f(z 0 + re iϕ ) 2 dϕ 2πM(r) 2. 0 c0.7 Korollar 0.7. Die Reihe f(z) = k=0 a k (z z 0 ) k konvergiere in D R (z 0 ). Es existiere 0 < r < R und m N 0 mit a m r m = M(r). Dann ist Beweis. Aus Satz s folgt Daher ist a k = 0 für alle k m. f(z) = a m (z z 0 ) m. a k 2 r 2k 0. k m s0.8 Satz 0.8. (Maximumprinzip) ) Es sei G C ein Gebiet und f : G C holomorph. Wenn f in einem Punkt z 0 G ein lokales Maximum hat, so ist f konstant in G. 2) Wenn G beschränkt ist und f auf G stetig fortsetzbar ist, so nimmt f das Maximum auf G an: f(z) max f(ζ), z G. ζ G Beweis. Sei z 0 G ein lokales Maximum von f : G R. Sei f(z) = a k (z z 0 ) k k=0 die Taylorreihe von f in z 0, die für z z 0 < R konvergiere. Es sei 0 < r < R so, dass D r (z 0 ) G und f(z 0 ) f(z) für alle z D r (z 0 ). Aus Korollar 0.2 c0.2 folgt das heißt, es gilt a 0 = f(z 0 ) max z z 0 =r f(z) f(z 0), a 0 = M(r).

64 64 WERNER MÜLLER Aus Korollar c folgt f(z) = a 0 für alle z D r (z 0 ) und aus dem Identitätssatz erhalten wir f a 0. Die zweite Behauptung folgt aus der ersten. Da G kompakt ist und f stetig auf G, nimmt f sein Maximum in G an. Auf Grund von ) muss dieses Maximum auf dem Rand liegen. s0.9 Satz 0.9. (Minimum-Prinzip) ) Sei f : G C holomorph und f habe in z 0 G ein lokales Minimum, so ist f(z 0 ) = 0 oder f ist konstant. 2) Sei G beschränkt und sei f stetig fortsetzbar auf G. Dann hat f Nullstellen in G oder f nimmt sein Minimum auf G an. Beweis. Wir nehmen an, dass f(z 0 ) 0 ist. Dann existiert ein r > 0 so, dass f(z) 0 für alle z D r (z 0 ). Es sei g(z) = /f(z) für z D r (z 0 ). Dann ist g : D r (z 0 ) C holomorph und z 0 ist ein lokales Maximum von g(z) = / f(z). Aus Satz 0.8 s0.8 folgt, dass f konstant ist. Es sei G beschränkt und f : G C eine stetige Fortsetzung von f auf G. Wir nehmen an, dass f keine Nullstellen in G hat. Dann ist g(z) = /f(z) eine holomorphe Funktion auf G, die eine stetige Forsetzung g(z) = /f(z) auf G hat. Aus Satz 0.8, s0.8 (2) folgt: Daher ist g(z) max g(ζ), z G. ζ G f(z) min ζ G f(ζ), z G. Ganze Funktionen und Polynome d0.0 Definition 0.0. Eine holomorphe Funktion f : C C heißt ganze Funktion. Es sei f : C C ganz und z 0 C. Dann konvergiert die Taylorreihe für alle z C. f(z) = k=0 f (k) (z 0 ) (z z 0 ) k k! Beispiele: e z, cos(z), sin(z) sind ganze Funtionen. Wir untersuchen das Verhalten von ganzen Funktionen für z. Als erstes betrachten wir Polynome. l0. Lemma 0.. Es sei ein Polynom. Dann gilt n p(z) = a k z k, a n 0, k=0

65 ) ( n ) p(z) a k z n, z. k=0 2) ɛ(0 < ɛ < ) ρ ɛ z ρ ɛ : KOMPLEXE ANALYSIS 65 ( ɛ) a n z n p(z) ( + ɛ) a n z n. Beweis. () Für z : ( n n ) p(z) a k z k a k z n. k=0 k=0 (2) Sei p(z) = n k=0 a kz k. Dann ist nach ): ( n ) p(z) a k z n, z. k=0 Sei 0 < ɛ < gegeben. Sei ( ) n ρ ɛ = max, a k. ɛ a n Für z ρ ɛ folgt k=0 k=0 p(z) ( n ) a k z n ɛ a n z n. z Hieraus folgt ( ɛ) a n z n a n z n p(z) p(z) a n z n + p(z) Die Umkehrung gilt ebenfalls. ( + ɛ) a n z n. s0.2 Satz 0.2. Es sei f : C C eine ganze Funktion. Es existiere n N 0, R > 0 und M > 0 mit f(z) M z n für z R. Dann ist f ein Polynom vom Grade n. Beweis. Es sei f(z) = a k z k k=0 die Taylorentwicklung von f in 0. Die Reihe konvergiert für alle z C. Aus Korollar 0.2 c0.2 folgt a k r k max f(ζ) z =r r k Mr n, z R. Für r folgt daraus a k = 0 für k > n. Daher ist n f(z) = a k z k. k=0

66 66 WERNER MÜLLER c0.3 Korollar 0.3. (Satz von Liouville) Es sei f : C C ganz und beschränkt. Dann ist f konstant. s0.4 Satz 0.4. (Fundamentalsatz der Algebra) Jedes nichtkonstante komplexe Polynom p(z) = n k=0 a k z k hat mindestens eine Nullstelle.. Beweis. Wir nehmen an, dass p(z) 0 für alle z C ist. Es sei f(z) = /p(z), z C. Aus Lemma 0. l0. folgt: f(z) = p(z) ( ɛ) a n z, für alle z ρ ɛ. n Daher ist f beschränkt. Aus Korollar 0.3 c0.3 folgt, dass f und daher p konstant ist. Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung. 2.Beweis. Es sei p(z) ein Polynom vom Grade n. Wir wählen in Lemma 0. l0. ɛ = /2 und R max{, ρ ɛ } so groß, dass p(0) < 2 a n R n gilt. Dann ist p(0) < min p(z). z =R Aus Satz 0.4 s0.4 folgt, dass p(z) eine Nullstelle in D R (0) hat. s0.5 Satz 0.5. (Faktorisierungssatz) Jedes komplexe Polynom P (z) = n k=0 a k z k vom Grade n ist eindeutig darstellbar als Produkt r P (z) = a n (z z i ) m i, i= wobei z,..., z r C paarweise verschieden sind, m,..., m r N und n = m + + m r. Theorem 0.6. (Umkehrsatz) Es sei G ein Gebiet, G C, und f : G G eine bijektive holomorphe Funktion. Dann ist G ein Gebiet und f : G G ist holomorph. Beweis. Aus Satz 0.5 s0.5 folgt, dass G ein Gebiet ist und f eine offene Abbildung. Damit ist f stetig und f ein Homöomorphismus. Sei M = {z G : f (z) = 0}. M G ist abgeschlossen und diskret, da f holomorph und f 0. Da f ein Homöomorphismus ist, folgt, dass M = f(m) abgeschlossen und diskret in G ist. Nun ist f : G \ M G \ M holomorph und f (z) 0, z G \ M. Aus Satz.8 s.8 folgt, dass f : G \ M G \ M holomorph und stetig auf G ist. Aus dem Riemannschen Hebbarkeitssatz folgt damit, dass f : G G holomorph ist. Aus f f = Id folgt f (f ). Daher ist M = = M.

67 KOMPLEXE ANALYSIS 67 Bemerkung: Der Beweis hat folgendes gezeigt. Sei f : G C holomorph und injektiv. Dann ist f (z) 0 für alle z G. Satz 0.7. (Phragmen-Lindelöf) Sei σ < σ 2 und S = {z C : σ < Re(z) < σ 2 }. Sei f : S C holomorph. Es existiere 0 < c < π σ 2 σ und A > 0, so dass für z S. Weiter existiere C > 0 mit Dann gilt f(z) C für z S. f(z) A exp(e c Im(z) ), f(z) C, z S. Beweis. O.B.d.A sei σ = π, σ 2 2 = π. Dann ist 0 < c <. Sei c < b <, ɛ > 0 und 2 Sei z = σ + it, σ, t R. Dann ist g(z) = f(z)e ɛ cos(bz). g(z) = f(z) exp( 2ɛ cos(bσ) cosh(bt)) f(z) exp( ɛ cos( bπ 2 )eb t ) f(z) Daraus folgt g(z) C, z S, und g(z) A exp(e c t ɛ cos ( bπ ) e b t ) 2 für z S. Da b > c, existiert T > 0, sodass g(z) C für Im(z) T. Mit dem Maximumprinzip folgt damit g(z) C, z S. Damit ist f(z) g(z) exp(2ɛ cos(b Re(z)) cosh(b Im(z))) C exp(2ɛ cos(b Re(z)) cosh(b Im(z))) für z S, ɛ > 0. Da ɛ > 0 beliebig ist, folgt f(z) C, z S. Beispiel: Für die Riemannsche Zetafunktion gilt ζ( + it) log t, t 2. Außerdem gilt die Identität ζ(s) = χ(s)ζ( s), mit χ(s) = π ( 2 2 s) Γ( s) 2 2 Γ( s. 2 )π s 2 Die Stirlingsche Formel liefert (χ(s)) = O(t σ 2 )

68 68 WERNER MÜLLER für t, α σ β <. Damit folgt ζ(it) = ζ( it) = Aus dem Satz von Phragmen-Lindelöf erhalten wir Vermutung (Lindelöf): Für alle ε > 0 gilt ζ( + it) χ( + it) = O(t 2 log(t)), ζ( 2 + it) = O(t 2 log(t)). ζ( 2 + it) = O ɛ( t ɛ ). Diese Abschätzung folgt aus der Riemannschen Vermutung.. Konvergenzsätze s. Satz.. (Weierstraßscher Konvergenzsatz) Es sei f n : G C, n N, eine Folge holomorpher Funktionen, die lokal gleichmäßig gegen eine Funktion f : G C konvergiert. Dann ist f holomorph und für alle k N 0 konvergiert die Folge (f n (k) ) n N lokal gleichmäßig gegen f (k). Beweis. ) Da f n : G C eine Folge stetiger Funktionen ist, die lokal gleichmäßig gegen f konvergiert, ist f stetig. Sei G ein abgeschlossenes Dreieck. Da die f n holomorph sind, folgt aus dem Lemma von Goursat: f(ζ)dζ = lim n f n (ζ)dζ = 0. Aus dem Satz von Morera folgt, dass f : G C holomorph ist. 2) Es sei D R (z 0 ) G, 0 < r < R und k N 0. Aus Satz s0. 0. folgt z D r (z 0 ) : f (k) n (z) f (k) (z) C max ζ D R (z 0 ) f n(ζ) f(ζ). Die Folge (f n ) konvergiert gleichmäßig auf D R (z 0 ) gegen f. Daraus folgt, dass (f n (k) ) gleichmäßig auf D r (z 0 ) gegen f (k) konvergiert. c.2 Korollar.2. Es sei f n : G C eine Folge holomorpher Funktionen und n=0 f n konvergiere lokal gleichmäßig. Dann gilt ) f(z) := n=0 f n (z), z G, ist eine holomorphe Funktion. 2) Für alle k N 0 konvergiert n=0 f (k) n (z) lokal gleichmäßig gegen f (k). Es sei U C offen und f : U C eine Funktion. Dann ist f U := sup f(z). z U

69 KOMPLEXE ANALYSIS 69 Eine Reihe n=0 f n von Funktionen f n : G C heißt lokal normal konvergent, wenn jeder Punkt z G eine Umgebung U G besitzt mit f n U <. n=0 s.3 Satz.3. Es sei f n : G C eine Folge holomorpher Funktionen und n=0 f n sei lokal normal konvergent. Dann ist f(z) := n=0 f n (z) eine holomorphe Funktion f : G C und für alle k N 0 konvergiert n=0 f n (k) normal gegen f (k). Beweis. Es sei z 0 G. Dann existiert r > 0 mit D r (z 0 ) G. Aus Korollar 0.3 c0.3 folgt, dass für alle k N ein C k > 0 existiert so, dass für alle holomorphen Funktionen g : G C gilt: g (k) (z) C k max g(ζ) ζ D r(z 0 ) für alle z D r/2 (z 0 ). Daraus folgt g (k) Dr/2 (z 0 ) C k g Dr(z 0 ). Daraus folgt, dass für alle k N 0 gilt: f n (k) Dr/2 (z 0 ) C k f n Dr(z0 )<. n=0 Daher sind alle Reihen n=0 f n (k) normal konvergent. Daraus folgt, dass f := n=0 f n lokal gleichmäßig konvergiert (siehe Bemerkung). Aus Satz. s. folgt, dass f holomorph ist und es gilt Bemerkungen: f (k) (z) = n=0 n=0 f (k) n (z), z G. ) Sei n=0 f n lokal normal konvergent. Dann ist n=0 f n lokal gleichmäßig konvergent. Dies sieht man wie folgt. Sei x U G offen und n=0 f n U <. Dann ist n=0 f n (z) < für z U. Also konvergiert f(z) = n=0 f n (z). Weiter ist N f f n U f n U < ɛ. n=0 n=n+ 2) Die Umkehrung gilt nicht. Beispiel: ( ) n n=, z C \ { n : n N} konvergiert lokal gleichmäßig, aber nicht z+n normal. Satz.4. (Umordnungssatz) Die Reihe n=0 f n konvergiere normal in G gegen f : G C. Sei τ : N N eine Bijektion. Dann konvergiert auch n=0 f τ(n) normal gegen f in G.

70 70 WERNER MÜLLER Beweis. Sei x G und U G eine offene Umgebung von x, so dass f n U <. n=0 Aus dem Umordnungsatz für Reihen komplexer Zahlen folgt f τ(n) U <, n=0 für alle τ : N N. Daher gilt: f(z) = f τ(n) (z), n=0 konvergiert und n=0 f τ(n) konvergiert normal gegen f. Beispiele: ) Die Gammafunktion Die Gammafunktion ist definiert durch Für n N sei Γ(s) = 0 f n (s) = Dann ist f n : C C holomorph. Weiter ist f n (s) Γ(s) /n 0 t s e t dt, Re(s) > 0. n /n t s e t dt. t Re(s) e t dt + n t Re(s) e t dt. Es sei ɛ > 0. Aus dieser Ungleichung folgt, dass für alle kompakten Teilmengen K der Halbebene Re(s) > 0 ein n 0 N existiert mit f n (s) Γ(s) < ɛ für alle n n 0 und s K. Aus Satz. s. folgt, dass Γ(s) in Re(s) > 0 holomorph ist. Wie wir wissen, gilt die Funktionalgleichung Γ(s + ) = sγ(s), Re(s) > 0. Daraus folgt für k N: Γ(s + k + ) Γ(s) = (s + k)(s + k ) s. Daraus erhalten wir die analytische Fortsetzung von Γ zu einer holomorphen Funktion Γ: C \ Z C, Z = {0,, 2,...}. 2) Es sei Ω R n ein beschränktes Gebiet. Es sei n = 2 i= x 2 i der Laplaceoperator. Wir betrachten als Operator in L 2 (Ω) mit Definitionsbereich C c : C c (Ω) L 2 (Ω), (Ω)

71 KOMPLEXE ANALYSIS 7 weyllaw Aus der Greenschen Formel folgt, dass ein symmetrischer linearer Operator im Hilbertraum L 2 (Ω) ist, das heißt f, g = f, g, f, g C c (Ω). Außerdem gilt ϕ, ϕ = ϕ 2 > 0 für alle ϕ C0 (Ω). Daher ist ein positiv definiter Operator. Es sei D die Abschließung von in L 2 (Ω). Dann existiert eine orthonormale Basis {ϕ i } i N von L 2 (Ω), die aus Eigenfunktionen von D besteht, das heißt es ist ϕ i C (Ω) und es existiert λ i > 0, so dass Ω ϕ i = λ i ϕ i, ϕ i = 0 für alle i N. Die λ i sind die Eigenwerte von D, die wir wachsend ordnen 0 < λ λ 2 Für λ > 0 sei N Ω (λ) = #{j : λ j λ} die Zählfunktion der Eigenwerte. Die Weylsche Formel beschreibt das asymptotische Verhalten von N Ω (λ) für λ. Theorem.5. (Weylsches Gesetz) Es sei N Ω (λ) vol(ω) (4π) n 2 Γ(n/2 + ) λ n 2, λ. ζ(s, D ) = Aus Theorem.5 weyllaw folgt, dass diese Reihe gleichmäßig auf kompakten Teilmengen von Re(s) > n/2 konvergiert. Aus Satz. s. folgt, dass ζ(s, D ) eine holomorphe Funktion in Re(s) > n/2 ist. Aus der Theorie der Wärmeleitungsgleichung erhält man folgenden Satz. Satz.6. Für t +0 hat die Reihe j= e tλ j, t > 0, eine asymptotische Entwicklung der Form e tλ j t n 2 a k t k 2. j= Daraus folgt wie im Falle der Riemannschen Zetafunktion, dass ζ(s, D ) eine analytische Fortsetzung auf C \ {(n k)/2: k N 0 } besitzt, die in s = 0 holomorph ist. Wir definieren die regularisierte Determinante von D durch ( dds ) ζ(s, D) s=0 det D = exp i= k=0 λ s i.. Die regularisierte Determinante spielt zum Beispiel in der geometrischen Analysis und der Quantenfeldtheorie eine wichtige Rolle.

72 72 WERNER MÜLLER 2. Laurentreihen Wir untersuchen Funktionen, die holomorph in einem Kreisring sind. d2. Definition 2.. Eine Laurentreihe um a C ist eine Reihe der Form L(z) = a k (z a) k. k= L (z) = a k (z a) k = a k (z a) k k= k= heißt Hauptteil und L 2 (z) = a k (z a) k k=0 heißt Nebenteil der Laurentreihe. Die Laurentreihe L(z) heißt konvergent in z, wenn L (z) und L 2 (z) in z konvergieren. Dann setzen wir L(z ) := L (z ) + L 2 (z ). L(z) heißt gleichmäßig oder lokal gleichmäßig konvergent, wenn dies für L (z) und L 2 (z) gilt. Sei ρ der Konvergenzradius von n= a n w n und R der Konvergenzradius von n=0 a n z n. Dann gilt a n (z a) n konvergiert für r = /ρ < z a < R divergiert für z a < r oder z a > R. n= Die Reihe n= a n (z a) n konvergiert normal auf kompakten Teilmengen von Sei r < z a < R. Die Reihe K a (r, R) = {z C : r < z a < R}. g(w) = a n w n, n= w < ρ = /r, ist konvergent, also ist g : D /r (0) C holomorph. Es ist L (z) := g((z a) ). Daraus folgt, dass L : C \ D r (a) C holomorph ist. Es sei (z n ) n N eine Folge in C. Wir sagen, dass (z n ) n N gegen unendlich konvergiert, was wir mit z n bezeichnen, wenn gilt: N N n 0 n n 0 : z n N. Dann gilt ( ) lim L (z) = lim z z g = lim g(w) = 0. z a w 0

73 KOMPLEXE ANALYSIS 73 Die Reihe L 2 (z) = a n (z a) n. n=0 konvergiert für z a < R. Daher ist L 2 : D R (a) C holomorph. s2.2 Satz 2.2. Sei n= a n (z a) n konvergent für r < z a < R. Dann existieren holomorphe Funktionen L : C \ D r (a) C und L 2 : D R (a) C mit L (z) + L 2 (z) = a n (z a) n, r < z a < R, n= und lim z L (z) = 0. Diese Darstellung ist eindeutig. Beweis. Wir müssen nur noch die Eindeutigkeit beweisen. Es seien holomorph. Es gelte f, g : C \ D r (a) C, f 2, g 2 : D R (a) C limes (2.8) z lim f (z) = 0 = z lim g (z) und Dann ist f (z) + f 2 (z) = g (z) + g 2 (z), r < z a < R. gl5 (2.9) f (z) g (z) = g 2 (z) f 2 (z), r < z a < R. Wir definieren die Funktion h: C C durch f (z) g (z), z C \ D r (a); h(z) = g 2 (z) f 2 (z), z D R (a). Wegen ( 2.9) gl5 ist h eindeutig definiert. Weiter ist h holomorph und auf Grund von ( 2.8) limes ist lim z h(z) = 0. Aus dem Satz von Liouville folgt h 0. Damit ist f = g, f 2 = g 2. Holomorphe Funktionen in Kreisringen Für 0 r < R, a C, sei K a (r, R) = {z C r < z a < R}. a r R

74 74 WERNER MÜLLER s2.3 Satz 2.3. Sei f : U C holomorph und K a (r, R) U. Dann gilt für alle z K a (r, R) : f(z) = f(ζ) 2πi ζ a =R ζ z f(ζ) 2πi ζ a =r ζ z dζ. Beweis. Sei φ: U C definiert durch f(ζ) f(z) ; ζ z; ζ z φ(ζ) = f (z); ζ = z. Dann gilt: ) φ holomorph in U \ {z}, 2) φ stetig in z. Aus dem Riemannscher Hebbarkeitssatz folgt, dass φ: U C holomorph ist. Für r ρ R sei γ ρ : [0, 2π] U definiert durch γ ρ (θ) = a + ρe iθ. Dann sind γ r und γ R frei homotop durch γ ρ. Aus dem Cauchyschen Integralsatz folgt φ(ζ)dζ = φ(ζ)dζ. ζ a =r Sei ρ = r oder ρ = R. Dann ist int5 (2.0) φ(ζ)dζ = und int6 (2.) ζ a =ρ ζ a =ρ ζ a =ρ ζ z dζ = ζ a =R f(ζ) ζ z ζ a =ρ dζ f(z) ζ z dζ 2πi, ρ = R; 0, ρ = r. Der Fall ρ = r folgt aus dem Cauchyschen Integralsatz, da γ r in C \ {z} nullhomotop ist. Zusammen mit ( 2.0) int5 und ( 2.) int6 erhalten wir f(z) = f(ζ) 2πi ζ a =R ζ z dζ φ(ζ)dζ 2πi ζ a =R = f(ζ) 2πi ζ a =R ζ z dζ φ(ζ)dζ 2πi ζ a =r = f(ζ) 2πi ζ a =R ζ z dξ f(ζ) 2πi ζ a =r ζ z dζ. s2.4 Satz 2.4. (Laurententwicklung) Es sei f : K a (r, R) C holomorph. Dann kann f in K a (r, R) in eine konvergente Laurentreihe entwickelt werden: f(z) = a n (z a) n := a n (z a) n + a n (z a) n. n= n= n=0

75 KOMPLEXE ANALYSIS 75 Die erste Reihe konvergiert lokal gleichmäßig in C \ D r (a) gegen den Hauptteil und die zweite Reihe konvergiert lokal gleichmäßig in D R (a) gegen den Nebenteil von f. Die Koeffizienten a n sind eindeutig bestimmt. Für alle n Z und r < ρ < R gilt: a n = f(ζ) dζ. 2πi ζ a =ρ (ζ a) n+ Beweis. Sei r < r < ρ < R < R. Dann ist K a (r, R ) K a (r, R). Aus Satz 2.3 s2.3 folgt int7 (2.2) f(z) = 2πi ζ a =R Weiter ist ζ z = ζ a ζ z = z a ( z a ζ a ( ζ a z a ) = ζ a f(ζ) ζ z dζ 2πi ζ a =r n=0 ) = z a Durch Einsetzen in ( int7 2.2) erhalten wir f(z) = n=0 2πi ζ a =R f(ζ) ζ z dζ. ( ) n z a, z a < R, ζ a = R ζ a n=0 f(ξ) (ζ a) dζ(z n+ a)n n=0 ( ) n ζ a, ζ a = r, z a > r. z a f(ζ)(ζ a) n dζ(z a) n+. 2πi ζ a =r Wir können bei den Integralen r und R durch jedes ρ mit r ρ R ersetzen. Dann ergibt sich f(z) = a n (z a) n, r < z a < R, wobei n= a n = f(ζ) dζ. 2πi ζ a =ρ (ζ a) n+ Dies gilt für alle r < r < R < R. Daher für r < z a < R und r < ρ < R. Beispiel: Sei f(z) = =. Es gilt: (z )(z 2) z 2 z Daher ist z = z = z n= z, z > n z 2 = z n 2 z =, z < 2. 2 n=0 2n+ f(z) = n=0 z n 2 n+ n= z n, z K 0 (, 2).

76 76 WERNER MÜLLER 3. Isolierte Singularitäten d3. Definition 3.. Sei U C offen, z 0 U, und f : U \ {z 0 } C holomorph. Dann heißt z 0 isolierte Singularität von f. U \ {z 0 } heißt punktierte Umgebung von z 0. Beispiele: ) Sei f(z) = sin z, z C \ {0}. Dann ist 0 eine isolierte Singularität. z 2) f(z) = hat die isolierten Singularitäten 0 und i. z(z i) 2 3) f(z) = e /z hat in z = 0 eine isolierte Singularität. 4) f(z) = cot πz, z C \ Z, hat in jedem n Z eine isolierte Singularität. Wir unterscheiden isolierte Singularitäten nach dem Verhalten von f in der Nähe der Singularität. d3.2 Definition 3.2. Es sei U C offen, z 0 U, und f : U \ {z 0 } holomorph. ) Es existiert eine offene Umgebung V von z 0 in U so, dass f V beschränkt ist. \{z0 } Dann heißt z 0 hebbare Singularität. 2) Es gilt lim z z0 f(z) =. Dann heißt z 0 Pol von f. 3) z 0 ist weder eine hebbare Singularität noch ein Pol. Dann heißt z 0 wesentliche Singularität von f. Bemerkungen: Wenn z 0 eine hebbare Singularität von f : U \ {z 0 } ist, so hat f nach dem Riemannschen Hebbarkeitsatz eine holomorphe Fortsetzung f : U C. s3.3 Satz 3.3. Sei f : U \ {z 0 } C holomorph. Dann ist z 0 ein Pol von f genau dann, wenn ein n N, eine Umgebung V U von z 0 und eine holomorphe Funktion g : V C existieren mit g(z 0 ) 0 und Beweis. ) Es sei ɛ > 0 so, dass für z z 0 < ɛ. Dann ist Hieraus folgt für z z 0 < ɛ: f(z) = (z z 0 ) n g(z), z V. g(z) g(z 0 ) < g(z 0) 2 g(z) > 2 g(z 0), z z 0 < ɛ. f(z) = z z 0 n g(z) > g(z 0) z z z 0 n, und daher lim z z0 f(z) =. ) Da lim z z0 f(z) = ist, existiert eine Umgebung V U von z 0 mit f(z) 0 für alle z V \ {z 0 }. Sei h(z) = /f(z), z V \ {z 0 }. Dann ist h: V \ {z 0 } C holomorph und lim z z0 h(z) = 0.

77 KOMPLEXE ANALYSIS 77 Nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz kann h durch 0 zu einer holomorphen Funktion h: V C fortgesetzt werden. Daher existieren n N und eine holomorphe Funktion H : V C mit H(z 0 ) 0 und h(z) = (z z 0 ) n H(z). Sei ɛ > 0 so, dass H(z) 0 für z z 0 < ɛ. Sei g(z) = /H(z) für z B ɛ (z 0 ). Dann ist g(z 0 ) 0 und f(z) = (z z 0 ) n g(z). d3.4 Definition 3.4. Sei n wie in Satz s n heißt Ordnung des Poles z 0. s3.5 Satz 3.5. Eine isolierte Singularität z 0 von f : U \ {z 0 } ist genau dann eine wesentliche Singularität, wenn für alle w 0 C eine Folge (z k ) in U \ {z 0 } existiert mit lim k z k = z 0 und lim k f(z k ) = w 0. Beweis. ) z 0 ist kein Pol, da es Folgen (z k ) gibt, für die f(z k ) einen endlichen Limes hat. z 0 ist nicht hebbar, da der Grenzwert nicht eindeutig ist. ) Sei w C. Wir nehmen an, dass r > 0 und ɛ > 0 existieren mit f(z) w ɛ für alle 0 < z z 0 < r. Sei g(z) := f(z) w, z D r(z 0 ) \ {z 0 }. Dann ist g : D r (z 0 ) \ {z 0 } C holomorph. Weiter ist g(z) f(z) w ɛ, das heißt, g hat eine hebbare Singularität in z 0. Wir unterscheiden zwei Fälle. a) Sei lim z z0 g(z) 0. Dann ist lim f(z) = lim z z 0 z z0 g(z) + w = g(z 0 ) + w und daher hat f eine hebbare Singularität in z 0. b) Sei lim z z0 g(z) = 0. Dann ist lim f(z) = lim z z 0 z z0 g(z) + w =, das heißt, z 0 ist ein Pol von f. Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung, dass z 0 eine wesentliche Singularität ist. Den Typ der Singularität kann man mit Hilfe der Laurententwicklung bestimmen.

78 78 WERNER MÜLLER s3.6 Satz 3.6. Es sei f : D r (z 0 ) \ {z 0 } holomorph und f(z) = a n (z z 0 ) n n= die Laurententwicklung von f in z 0. Dann gilt: ) z 0 ist hebbare Singularität von f genau dann, wenn a n = 0 für alle n < 0. 2) z 0 ist Pol genau dann, wenn eine k N existiert mit a k 0 und a n = 0 für alle n < k. 3) z 0 ist wesentliche Singularität, genau dann, wenn a k 0 für unendlich viele k < 0. Beweis: Übung! Meromorphe Funktionen d3.7 Definition 3.7. Es sei U C offen, P U eine diskrete Teilmenge und f : U \ P C holomorph. Wenn alle z 0 P Pole von f sind, so heißt f eine meromorphe Funktion auf U. Seien f, g meromorphe Funktionen auf U sowie P f, P g U die Pole von f bzw. g. Sei (f + g)(z) = f(z) + g(z), z U \ {P f P g }, dann ist f + g meromorph auf U. Dies gilt ebenso für f g. Wenn g 0 ist, so ist g meromorph. s3.8 Satz 3.8. f ist meromorph auf U genau dann, wenn für alle z 0 U eine Umgebung V U von z 0 und holomorphe Funktionen g, h: V C existieren so, dass f(z) = g(z) h(z), z V. Beweis. ) Sei V C offen und seien g, h: V C holomorph. Sei z 0 V. Dann existieren n, m N 0 und holomorphe Funktionen g, h: V C mit g(z 0 ) 0, h(z 0 ) 0, und g(z) = (z z 0 ) m g(z), h(z) = (z z 0 ) n h(z). Sei f(z) = g(z)/h(z) und f(z) = g(z)/ h(z). Sei r > 0 so, daß h(z) 0 für alle z D r (z 0 ). Dann ist f : D r (z 0 ) C holomorph und Daher hat f höchstens einen Pol in z 0. f(z) = (z z 0 ) m n f(z), z B r (z 0 ) \ {z 0 }. ) Wenn z 0 kein Pol von f ist, dann setzen wir g = f und h. Sei z 0 Pol der Ordnung n von f. Nach Satz 3.3 s3.3 existieren eine Umgebung U von z 0 und eine holomorphe Funktion g : U C, so dass f(z) = g(z) (z z 0 ), z U. n Dann setzen wir h(z) = (z z 0 ) n.

79 KOMPLEXE ANALYSIS 79 d3.9 Definition 3.9. Sei G C ein Gebiet. Dann sei M(G) die Menge der in G meromorphen Funktionen. s3.0 Satz 3.0. M(G) ist ein Körper. Beweis: Übung! Riemannsche Zahlenkugel Es sei Ĉ = C { }. Es sei S 2 = {x R 3 x 2 + x x 2 3 = } die 2-dimensionale Einheitssphäre und σ : S 2 Ĉ die stereographische Projektion. Dadurch kann man die Topologie von C zu einer Topologie von Ĉ fortsetzen. d3. Definition 3.. Eine Teilmenge U Ĉ heißt offen, wenn entweder U C und U offen in C ist oder wenn U und Ĉ \ U kompakt in C ist. Es sei (z n ) eine Folge in Ĉ. Dann gilt: z n N N : n 0 N : z n N für alle n n 0. Sei f meromorph auf U und sei a U ein Pol von f. Dann setzen wir f(a) :=. Damit erhalten wir eine Abbildung f : U Ĉ. s3.2 Satz 3.2. Sei U C offen und f : U Ĉ eine Abbildung. Dann ist f eine meromorphe Funktion auf U genau dann, wenn ) f stetig, 2) f ( ) diskret in U, 3) f : U \ f ( ) C ist holomorph. Beweis: Übung. 4. Der allgemeine Cauchysche Integralsatz Als Vorbereitung beschäftigen wir uns noch einmal mit dem Logarithmus. Seien f, g : G C holomorph mit e g(z) = f(z), z G. Dann heißt g holomorpher Logarithmus von f. Falls f einen holomorphen Logarithmus besitzt, so gilt f(z) 0 für z G. l4. Lemma 4.. Sei G C ein konvexes Gebiet und f : G C holomorph und nullstellenfrei. Sei a G und γ z : [0, ] G ein Integrationsweg mit γ z (0) = a und γ z () = z. Sei weiterhin b C so, dass e b = f(a) gilt. Sei Dann ist e g = f. g(z) = γz f (ζ)dζ + b. f

80 80 WERNER MÜLLER Beweis. Da G ein konvexes Gebiet ist, ist das Integral unabhängig vom Integrationsweg. Es gilt fg = f. Daraus folgt (fe g ) = 0. Daher existiert eine Konstante c C, so dass f = ce g. Nun benutzt man, dass e g(a) = e b = f(a) ist. Daraus folgt c =. Mit diesem Lemma folgt, dass f(z) = f(a) exp ( γ z f f (ζ)dζ). s4.2 Satz 4.2. Sei G C ein Gebiet und f : G C = C \ {0} holomorph. Sei a, z G. Für alle Integrationswege γ : [0, ] G mit γ(0) = a, γ() = z gilt: f(z) = f(a) exp ( γ z f f (ζ)dζ). Beweis. Sei γ : [0, ] G ein Integrationsweg mit γ(0) = a, γ() = z. Wir wählen 0 = t 0 < t < < t n = und D i = D ri (z i ) G, so dass für γ k = γ [tk,t k ] gilt, dass Sp(γ k ) D k, k =,, n. γ(t k ) γ(t k ) z γ(t n) a G Aus Lemma l4. 4. folgt damit Daraus folgt exp ( γ exp ( γ k f f f (ζ)dζ) = f (ζ)dζ) = f(γ(t k)) f(γ(t k )), k n. n exp ( f n k= γ k f (ζ)dζ) = k= f(γ(t k )) f(γ(t k )) = f(z) f(a).

81 KOMPLEXE ANALYSIS 8 k4.3 Korollar 4.3. Sei f : G C holomorph und γ : [0, ] G ein geschlossener Integrationsweg. Dann gilt f (ζ) dζ Z. 2πi γ f(ζ) Beweis. Aus Satz s folgt, dass exp ( γ f ) (ζ) f(ζ) dζ =. Definition 4.4. Sei γ : [0, ] G ein geschlossener Integrationsweg. Für z C \ Sp(γ) sei n(γ, z) = 2πi γ ζ z dζ. n(γ, z) heißt Umlaufzahl (oder Windungszahl) von γ um z. Beispiel: Sei γ n : [0, 2π] C, γ n (θ) = re inθ, n > 0. γ n umläuft jeden Punkt z D r (0) n-mal in positiver Richtung. Um das Integral zu berechnen, betrachten wir die geschlossene Kurve γ z,n : [0, 2π] C, die definiert ist durch γ z,n (θ) = z + re iθ. Dann sind γ n und γ z,n frei homotop in C \ {z} und wir erhalten dζ 2πi ζ z = dζ 2πi ζ z = 2π e 2πinθ (2πin) e 2πinθ dθ = n. 2πi 0 γ n γ z,n Satz 4.5. Sei γ ein geschlossener Integrationsweg in C. Dann gilt: ) z C \ Sp(γ) : n(γ, z) Z. 2) C \ Sp(γ) z n(γ, z) ist lokal konstant. 3) Sei γ ein geschlossener Integrationsweg in C mit γ(0) = γ(0). Dann ist n(γ + γ, z) = n(γ, z) + n( γ, z), z C \ Sp(γ + γ). Insbesondere gilt n( γ, z) = n(γ, z) für z C \ Sp(γ). Beweis. ) folgt aus Korollar 4.3 k4.3 mit f(ζ) = ζ z. 2) folgt, da n(γ, z) stetig in z ist (Übung) und nur Werte in Z annimmt. 3) folgt aus der Definition und der entsprechenden Eigenschaft der Integrale. Definition 4.6. Sei Int(γ) = {z C \ Sp(γ) : n(γ, z) 0}, Ext(γ) = {z C \ Sp(γ) : n(γ, z) = 0}. Dann heißt Int(γ) das Innere von γ, und Ext(γ) das Äußere von γ.

82 82 WERNER MÜLLER eschraenkt Es ist C = Int(γ) Sp(γ) Ext(γ). Sowohl Int(γ) als auch Ext(γ) sind offen in C, da n(γ, z) stetig und lokal konstant ist. Int(γ) Sp(γ), Ext(γ) Sp(γ). Beispiel: Sei γ : [0, ] C, γ(φ) = e 2πiφ. Dann ist Int(γ) = D r (0) und Ext(γ) = C\D r (0). Lemma 4.7. Int(γ) ist beschränkt, Ext(γ) und ist unbeschränkt. Beweis. Sp(γ) D r (0) ist kompakt. Daher existiert r > 0 mit Sp(γ) D r (0). Sei V = C \ D r (0). Da V zusammenhängend ist, existiert k Z mit n(γ, z) = k für alle z V. Da dζ lim = 0, z V, z γ ζ z folgt k = 0. Daher ist V Ext(γ) und Int(γ) D r (0). Zyklen Definition 4.8. Sei G C ein Gebiet, seien γ,, γ r : [0, ] G geschlossene Integrationswege sowie n,, n r Z. Dann heißt Zyklus in G. Wir setzen Sp(Γ) = r i= Sp(γ i ), Γ f(z)dz = r i= n i γ i f(z)dz, n(γ, z) = r i= n i n(γ i, z), L(Γ) = r i= n i L(γ i ). r Γ := n i γ i i= Zyklen können auf folgende Weise addiert werden: r r r m i γ i + n i γ i = (m i + n i )γ i, i= i= i= und bilden so eine abelsche Gruppe. Dabei ist zu beachten, dass einige der Koeffizienten n i bzw m j gleich Null sein können. Beispiel: Sei 0 < r < R, a C, Sei Γ = γ R γ r. Dann ist γ ρ (θ) := a + ρe 2πiθ, θ [0, ]. K a (r, R) = {z C : n(γ, z) = }.

83 KOMPLEXE ANALYSIS 83 Definition 4.9. Sei Γ ein Zyklus in G. Dann heißt Γ nullhomolog, wenn gilt: z / G : n(γ, z) = 0. Zwei Zyklen Γ, Γ 2 heißen homolog, wenn Γ Γ 2 nullhomolog sind. Man schreibt dann Γ Γ 2. Wir kommen nun zum allgemeinen Cauchyschen Integralsatz und der allgemeinen Cauchyschen Integralformel. t4.0 Theorem 4.0. Sei G C ein Gebiet, f : G C eine holomorphe Funktion und Γ ein Zyklus in G mit Γ 0. Dann gilt ) f(z)dz = 0. 2) Für alle z / Sp(Γ), k N 0, ist Γ n(γ, z)f (k) (z) = k! 2πi Γ f(ζ) dζ. (ζ z) k+ (Man beachte dabei, dass für z / G das Integral gleich Null ist). Beweis. Wir beweisen zuerst 2). Es genügt, k = 0 zu betrachten. Wir führen eine Hilfsfunktion g(ζ, z) ein, die definiert ist durch f(w) f(z), w z, g(w, z) = w z f (z), w = z.. Dann ist 2) äquivalent zu Sei int8 (4.3) h 0 (z) = Γ g(ζ, z)dζ = 0, Γ g(ζ, z)dζ, z G \ Sp(Γ). z G \ Sp(Γ). Zu zeigen: h 0 0. Wir beweisen dies in zwei Schritten: (a) h 0 kann zu einer holomorphen Funktion h 0 : G C fortgesetzt werden. (b) Es existiert h: C C holomorph mit h G = h 0 und lim z h(z) = 0. Mit dem Satz von Liouville folgt, dass h 0 und damit auch h 0 0 gilt. Beweis von (a): Wir zeigen zuerst, dass g : G G C stetig ist. Für ζ z ist das klar. Wir betrachten g(ζ, z) g(z 0, z 0 ) in einer Umgebung D δ (z 0 ) D δ (z 0 ). Wir unterscheiden zwei Fälle. i) ζ = z. Dann ist g(z, z) g(z 0, z 0 ) = f (z) f (z 0 ).

84 84 WERNER MÜLLER ii) ζ z. Dann ist g(ζ, z) g(z 0, z 0 ) = f(ζ) f(z) ζ z f (z 0 ) = (f (w) f (z 0 ))dw. ζ z [z,ζ] Da f stetig ist existiert für alle ɛ > 0 ein δ > 0, sodass Im Fall i) folgt und im Fall ii) w D δ (z 0 ) : f (w) f (z 0 ) < ɛ. g(z, z) g(z 0, z 0 ) < ɛ g(ζ, z) g(z 0, z 0 ) ζ z ɛ = ɛ. ζ z Also ist g stetig. Damit ist h 0 durch das Integral ( int8 4.3) für alle z G definiert und h 0 : G C ist stetig. Wir zeigen jetzt, dass h 0 holomorph ist. Sei G ein abgeschlossenes Dreieck. Dann ist h 0 (z)dz = Γ g(ζ, z)dζdz = Γ g(ζ, z)dzdζ. Für jedes feste ζ G ist z g(ζ, z) holomorph in G \ {ζ} und stetig in ζ. Nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz ist diese Abbildung holomorph. Mit dem Lemma von Goursat folgt: g(ζ, z)dz = 0. Daher ist h 0 (z)dz = 0. Nach dem Satz von Morera ist h 0 also holomorph. Beweis von (b): Jetzt kommt die Voraussetzung Γ 0 ins Spiel. Aus Γ 0 folgt, dass Int(Γ) G. Da Int(Γ) Γ kompakt ist und Int(Γ) Γ G, folgt Für z Ext(Γ) G ist h 0 (z) = g(ζ, z) = Γ da n(γ, z) = 0 für z Ext(γ). Sei h (z) := Dann ist h holomorph und Γ G Ext(Γ). f(ζ) f(z) dζ = ζ z Γ Γ f(ζ) ζ z dζ, lim h (z) = 0. z f(ζ) ζ z dζ n(γ, z)f(z) = Γ z Ext(γ). f(ζ) ζ z dζ,

85 Weiter ist h (z) = h 0 (z) für z Ext(γ) G. Es sei h 0 (z), z G, h(z) := h (z), z Ext(γ). Dann ist h: C C holomorph und es gilt KOMPLEXE ANALYSIS 85 lim h(z) = lim h (z)) = 0. z z Damit haben wir die gewünschte Funtion h gefunden und es folgt h 0 0, was 2) beweist. Wir zeigen jetzt die Behauptung ) des Theorems. Sei a G \ Sp(γ). Wir definieren F : G C durch F (z) = (z a)f(z). Dann ist F holomorph und es gilt F (a) = 0. Mithilfe von 2) folgt damit: 0 = n(γ, a)f (a) = 2πi Γ F (ζ) ζ a dζ = f(z)dz. 2πi Γ Definition 4.. Sei γ ein geschlossener Integrationsweg. γ heißt einfach geschlossen, wenn Int(γ) und n(γ, z) = für alle z Int(γ) ist. Definition 4.2. Sei G C ein beschränktes Gebiet. G heißt positiv berandet, wenn einfach geschlossene Integrationswege γ 0,, γ n existieren mit ) Sp(γ i ) Sp(γ j ) =, i j, 2) G = n i=0sp(γ i ), 3) Sei Γ = γ 0 γ γ n. Dann ist G = {z C : n(γ, z) = }, und C \ G = {z C : n(γ, z) = 0}. γ γ 2 γ 0 G Theorem 4.3. Sei G C ein positiv berandetes Gebiet und U C offen mit G U. Sei f : U C eine holomorphe Funktion. Dann gilt:

86 86 WERNER MÜLLER ) f(z)dz = 0. G 2) Für alle z G und k N 0 gilt f (k) (z) = k! f(ζ) dζ. 2πi G (ζ z) k+ Beweis. Wir können U als zusammenhängend annehmen. Dann ist n( G, z) = 0 für z / U. Also ist G 0 in U. Aus Theorem t folgt ). Da n( G, z) = für z G folgt 2). chap-res th-res 5. Der Residuensatz Definition 5.. Sei G C ein Gebiet, S G eine diskrete Teilmenge und f : G\S C holomorph. Sei z 0 G und r > 0 so, dass D r (z 0 ) G und S D r (z 0 ) höchstens z 0 enthält. Das Residuum von f in z 0 ist die Zahl res z0 f = f(z)dz. 2πi D r(z 0 ) Der Radius r > 0 kann mit den obigen Einschränkungen beliebig gewählt werden. Seien nun die Punkte von S die isolierten Singularitäten von f. Sei z 0 S, f(z) = a n (z z 0 ) n n= die Laurententwicklung von f in z 0. Dann ist für r > 0 hinreichend klein f(z)dz = a n (z z 0 ) n dz = a. 2πi z z 0 =r 2πi z z 0 =r Das heißt, es gilt Beispiel: Sei r > 0. Dann ist n= res z0 (f) = a. z =r e /z = 2πi. Theorem 5.2 (Residuensatz). Sei G C ein Gebiet, S G diskret und f : G \ S C holomorph. Sei Γ ein nullhomologer Zyklus in G mit Γ S =. Dann ist f(z)dz = n(γ, z) res z f. 2πi Γ z S Beweis. Da Int(γ) beschränkt ist (siehe Lemma 4.7), beschraenkt existiert ein r > 0, so dass Int(Γ) D r (0). Da S diskret ist folgt #S D r (0) < Daher ist #{z S : n(γ, z) 0} <. Sei {z,, z r } = {z S : n(γ, z) 0} und S = S \ {z,, z r }.

87 KOMPLEXE ANALYSIS 87 Für alle z S ist dann n(γ, z) = 0. Daher ist Γ auch nullhomolog in G \ S. Sei h k (z) = n= a k n(z z i ) n der Hauptteil der Laurentreihe von f in z k. Dann ist h k (z): C \ {z i } C holomorph und r F (z) = f(z) h k (z) i=k ist holomorph auf G \ S, das heißt, F (z) kann in z,, z r holomorph fortgesetzt werden. Mit dem Cauchyschen Integralsatz folgt damit F (z)dz = 0, Γ das heißt r f(z)dz = h k (z). Γ k= Γ Weiter ist h k (z)dz = a k n (z z k ) n dz = a k dz = 2πi n(γ, z k )a k Γ Γ Γ z z k n= = 2πi n(γ, z k ) res zk f. Korollar 5.3. Sei G ein positiv berandetes Gebiet und Γ = G. Sei U G eine Umgebung, S U diskret mit S G = und sei f : U \ S C holomorph. Dann ist f(z)dz = n(γ, z) res z f. 2πi Γ z S Berechnung von Residuen Um diese Formel anwenden zu können, muss man die Residuen berechnen können. Es gelten folgende Regeln: () Seien a, b C. Dann ist res z (af + bg) = a res z f + b res z g. Sei z 0 ein einfacher Pol von f. Dann ist res z0 f = lim z z0 (z z 0 )f(z). Ist g holomorph in z 0, so ist res z0 (gf) = g(z 0 ) res z0 f.

88 88 WERNER MÜLLER (2) Sei z 0 ein Pol von f der Ordnung n 2 Dann ist res z0 f = n ( (z z0 ) n f(z) ) z=z0 (n )! z n (3) Seien f, g : G C holomorph, z 0 eine einfache Nullstelle von f. Dann ist res z0 g f = g(z 0) f (z 0 ). Beispiel: Sei f(z) = z z 2 + = z (z i)(z + i). Wir sehen daraus, dass f einfache Pole in i und i hat. Es gilt res i (f) = i 2i = 2, res i(f) = i 2( i) = 2 Anwendung auf die Berechnung reeller Integrale Wir betrachten Integrale der Form f(x)dx. Dazu machen wir folgende Annahme: Sei H = {z C : Im(z) 0} die abgeschlossene obere Halbebene. Sei H U C offen und es gelte: Es existieren S U mit S <, S R = und eine holomorphe Funktion f : U \ S C mit f R = f. f nennt man zulässig. Grundidee: ) Es ist R R f(x)dx = lim f(x)dx R R Es sei γ R : [0, π] C die Kurve, die definiert ist durch γ R (θ) = Re iθ. Die Komposition der Strecke [ R, R] und γ R ergibt eine einfach geschlossene Kurve: γ R R R Sei R so gewählt, dass z < R für alle z S. Dann folgt aus dem Residuensatz R f(x)dx = 2πi res f z f(z)dz. R z S γ R

89 Sei lim R γ R f(z)dz = 0. Dies gilt zum Beispiel, wenn Dann folgt KOMPLEXE ANALYSIS 89 f(z) C, z. z 2 f(x)dx = 2πi res f. z R z S Beispiele: ) Als erstes betrachten wir das Integral R + x 2 dx. Bekanntlich ist arctan (x) =. Daraus folgt +x 2 = arctan( ) arctan( ) = π. R + x2 Wir prüfen jetzt dieses Ergebnis mit der obigen Methode nach. Es ist die Fortsetzung von +x 2. Weiter ist f(z) = + z 2 + z = 2 (z i)(z + i). Damit ist i der einzige Pol von f in H. Damit ergibt sich R + x dx = 2πi res ( ) 2 i = 2πi + z 2 2i = π. 2) Als nächstes betrachten wir das Integral Dann ist die Fortsetzung von x2. Es gilt +x 4 mit z 4 i + = 0. Die Wurzeln sind R x 2 + x 4 dx. f(z) = z2 + z 4 z 4 + = (z z )(z z 2 )(z z 3 )(z z 4 )

90 90 WERNER MÜLLER z = e iπ/4 = 2 ( + i), z 2 = e iπ3/4 = 2 ( + i) z 3 = z = 2 ( i), z 4 = z 2 = 2 ( i). z 2 z 0 z 3 z 4 Die Pole, die in H liegen, sind z und z 2. Mit Hilfe der oben genannten Regeln zur Berechnung der Residuen erhalten wir res z f = z 2 2z (z z 2 )(z + z 2 ) = z 2(z 2 z 2 2), und es folgt Damit erhalten wir res z2 f = z 2 2 2z 2 (z 2 z )(z 2 + z ) = z 2 2(z 2 2 z 2 ). res z f + res z2 f = R 2(z + z 2 ) = 2 2i. x 2 + x 4 dx = π 2. Abzählen von Nullstellen Sei f : G C holomorph, z 0 G, f(z 0 ) = w. f nehme den Wert w in z 0 mit der Vielfachheit k N an, das heißt es existieren k N und eine holomorphe Funktion g : G C mit g(z 0 ) 0, so dass f(z) = w + (z z 0 ) k g(z). Daraus folgt Da g(z 0 ) 0 gilt, folgt f (z) f(z) w = res z0 k + g (z) z z 0 g(z). f (z) f(z) w = k.

91 KOMPLEXE ANALYSIS 9 Sei f meromorph in G, und z 0 ein Pol der Ordnung k. Sei w C. Dann hat f(z) w ebenfalls einen Pol der Ordnung k in z 0. Daher existieren r > 0 und eine holomorphe Funktion g : D r (z 0 ) C mit g(z 0 ) 0, so dass Damit ist und wir erhalten Aus dem Residuensatz folgt: f(z) w = f (z) f(z) w = res z0 g(z) (z z 0 ) k. k + g (z) z z 0 g(z). f (z) f(z) w 0 = k. Satz 5.4. Sei G ein Gebiet und f meromorph in G. Seien {b i } die Pole von f mit Vielfachheiten k i, i I. Sei w C und a,, a r seien die Lösungen von f(z) = w mit Vielfachheiten m i. Sei Γ ein nullhomologer Zyklus in G, der keinen Pol und keine w-stelle trifft. Dann gilt 2πi Γ f (z) f(z) w dz = r n(γ, a i )m i n(γ, b i )k i i= i I Korollar 5.5. Sei G ein positiv berandetes Gebiet und f eine in einer Umgebung von G meromorphe Funktion, die auf G die Werte w und nicht annimmt. Dann ist f (z) dz = N(w) N( ), 2πi Γ f(z) w wobei N(w) und N( ) die Anzahl der w-stellen beziehungsweise Pole, mit Vielfachheit gezählt, bezeichnet.