Kuvenintegrale 1. u. 2. Art

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1 Kuvenintegrale. u. 2. Art Die Lage eines Drahtes sei durch eine C -Kurve : [a, b] R 3 beschrieben. Seine ortsabhängige Massendichte ist durch die stetige Funktion ϱ(,, z) = Masse Längeneinheit gegeben. Wir gehen wie bei der Definition des Riemannschen Integrals vor, indem wir das Zeitintervall zerlegen Z := {a = t < t <... < t m = b}, die Dichte auf dem Teilstück (t i ), (t i+ ) durch einen konstanten Wert, etwa ϱ((t i )) und die Länge dieses Teilstückes durch (t i+ ) (t i ) approimieren (siehe Abb. ). (t i ) (t i+ ) Draht Abbildung : Zur Herleitung des Kurvenintegrals. Art Als Näherungsformel für die Gesamtmasse ergibt sich aus dieser Überlegung = m i= ϱ((t i )) m i= ( 3 ϱ((t i )) (t i+ ) (t i ) k= 2 k(τ ki )) /2 (t i+ t i ). () Die verschiedenen τ ki ergeben sich aus der Anwendung des Mittelwertsatzes der Differenzialrechnung auf jede einzelne Koordinatenfunktion k von. Unter den gemachten Voraussetzungen an ϱ

2 konvergiert die Summe für jede Zerlegung Z mit Z gegen einen endlichen Wert, der durch b a ϱ((t)) (t) dt berechnet wird. Alle durchgeführten Überlegungen gelten auch für Kurven : [a, b] R n, n N und man kommt zur Definition (Kurvenintegral. Art) Gegeben seien D R n, f : D R eine stetige Funktion und : [a, b] D eine stückweise C -Kurve. Dann eistiert das Kurvenintegral (W egintegral ). Art von f längs und wird durch f ds := b f((t)) (t) dt (2) a definiert. Für eine geschlossene Kurve verwendet man auch die Bezeichnung f ds. Wir sehen, dass diese Definition für f nichts anderes als die Definition der Bogenlänge von ist Beispiel 2 Es sei die Schraubenlinie (siehe Abb. 2) : [, 2π] R 3, t (cos t, sin t, t) und f(,, z) := z 2 gegeben. Wir berechnen f ds. Zunächst bestimmen wir [ ] 2 [ ] 2 [ ] 2 d(cos t) d(sin t) dt (t) 2 = + + = sin 2 t+cos 2 t+ = 2. dt dt dt Dann substituieren wir, und z und erhalten f(,, z) = f((t)) = cos 2 t + sin 2 t + t 2 = + t 2. 2

3 4 z 3 2 2πh t 4 r Abbildung 2: Schraubenlinie mit der Ganghöhe 2πh auf. Das führt zu f(,, z) ds = 2π (+t 2 ) 2 dt = ( ) 2 t+ t3 2π 3 = 2 2π (3+4π 2 ). 3 Ein Spezialfall liegt vor, wenn der Weg eine ebene Kurve beschreibt. Angenommen, alle Punkte (t) liegen in der -Ebene und f ist eine reellwertige Funktion zweier Variablen. Das Kurvenintegral von f über ist dann f(, ) ds = b a f((t), (t)) ẋ(t) 2 + ẏ(t) 2 dt. Für f(, ) lässt sich das Integral geometrisch als Flächeninhalt eines Zaunes deuten. Ein spezieller Zaun mit der Höhe f(, ) in (, ) auf dem Bild von ist in Abb. 3 (dort mit der Höhe f(, ) = ) zu sehen. 3

4 f(, ) Abbildung 3: Zaunfläche über einer Hpozkloide : [, π/2] R2, t (3 cos 3 t, 3 sin 3 t) mit konstanter Zaunhöhe Wir kommen nun zu einem Integralbegriff, der sich von einem Kurvenintegral. Art dadurch unterscheidet, dass der Integrand nicht mehr reell sondern vektorwertig ist. In Vorbereitung wiederholen wir die Definition 3 (Vektorfeld) Ein Vektorfeld im R n ist eine Abbildung F : D R n R n, die jedem Punkt D einen Vektor F () zuordnet. Von einem stetigen Vektorfeld F = (f,..., f n ) sprechen wir, wenn jede Koordinatenfunktion f i : D R, i =,..., n, stetig auf D ist. Das ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass die Abbildung F zur Klasse C gehört. Entsprechendes gilt für F C k, k. In den Anwendungen spricht man von einem Kraftfeld, Schwerefeld, elektrischem Feld, Geschwindigkeitsfeld usw. Dabei ist meist n = 2 oder 3. Man kann sich ebene Vektorfelder in groben Zügen grafisch sichtbar machen, indem man eine Anzahl von Punkten i D markiert und die zugehörigen Vektoren F ( i ) anheftet. Die Kurven, deren Tangentenrichtung in jedem Kurvenpunkt mit der Richtung von ±F () zusammenfallen, nennt man Feldlinien. Versieht man die Kurven mit Pfeilen, so wird auch die Richtung 4

5 des Feldes sichtbar. z (,, z) F (,, z) Abbildung 4: Vektorfeld F ordnet jedem D einen Vektor (Pfeil) F (,, z) zu, dessen Ursprung in den Punkt (,, z) verschoben wird Beispiel 4 Die Anziehungskraft der Erde (mit der Masse M) auf eine Masse m lässt sich durch ein Vektorfeld im R 3, das Gravitationsfeld, beschreiben. Nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz mit der Gravitationskonstanten g, dem Ortsvektor r(,, z) = (,, z) und r := r gilt für dieses Feld: F = gmm r. r 3 Die Feldlinien sind zum Zentrum Erde gerichtet. Man denke sich bei diesem Modell die Masse der Erde im Koordinatenursprung konzentriert. Je näher der Massenpunkt zum Ursprung liegt, um so größer wird die Anziehungskraft, was sich in längeren Pfeilen ausdrückt. 5

6 Definition 5 (Kurvenintegral 2. Art) Sei F : D R n R n ein Vektorfeld, das stetig auf dem C -Weg : [a, b] R n mit ([a, b]) D ist. Dann heißt F ds := b F ((t)) (t) dt (3) a das Kurvenintegral 2. Art von F über. Wie bei skalaren Funktionen können wir F ds auch definieren, wenn nur stückweise glatt ist. Eine andere gebräuchliche Schreibweise für das Kurvenintegral ist F ds = F d F n d n. Lemma 6 Sei D R n ein Gebiet, : [a, b] D eine stückweise glatte orientierte Kurve in D und L[] die Länge von. Ist dann F eine in D stetige Funktion, so gilt F ds L[] ma F () (4) Γ mit Γ := {(t) t [a, b]}. Beweis: Die Abschätzung (4) ergibt sich mühelos aus der Definition 5 des Kurvenintegrals, in dem man sich die Ungleichung b a überlegt. F ((t)) (t) dt ma F ((t)) t [a,b] b a (t) dt 6

7 Beispiel 7 Wir berechnen 2 d + d + dz mit (t) := (t, t 2, ), t [, ]. Mit F (,, z) := ( 2,, ) und (t) = (, 2t, ) ergibt sich F ds = = F ((t)) (t) dt = (t 2, t t 2, )(, 2t, ) dt (t 2 + 2t 4 ) dt = ( 3 t t5) = /5. Bemerkung 8 Das Kurvenintegral F ds ist nicht nur von dem Feld F, sondern auch von dem Weg : [a, b] R n abhängig. Beispiel 9. Zu berechnen sind die Integrale I k := d+( ) d, k =, 2, 3 (F (, ) := (, ) T ) k über die in der Abb. 5 dargestellten Wege k, k =, 2, 3. Mögliche (,) 2 (,) a) (,) b) (,) (,) (,) 3 c) = 2 Abbildung 5: Die Kurven, 2, 3 Parameterdarstellungen lauten für und 2 : ( ) t = 2, :=, t [, ], 2 := ( ) 2 = 2 22, 2 :=, t [, t], t 22 := ( ), t [, ], t ( ) t, t [, ]. 7

8 Das Zeichen bedeutet das Zusammensetzen der Teilkurven zu den Kurven und 2. Für 3 lautet eine nahe liegende Parametrisierung: ( ) t 3 (t) = t 2, t [, ]. Damit sind wir in der Lage, die Kurvenintegrale zu berechnen: I = = F ds = F ds + 2 F ds = + ( t) dt = 2 ( t)2 = /2. (, t )(, ) dt (t, t)(, ) dt In analoger Weise ermitteln wir den Wert I 2 = /2. Für I 3 zeigt die Rechnung I 3 = (t 2, t t 2 )(, 2t) dt = (3t 2 2t 3 ) dt = ( t 3 2 t4) = /2. Wir sehen, dass für alle drei Kurvenintegrale der gleiche Wert (nämlich /2) herauskommt, obwohl der Weg von (, ) nach (, ) stets ein anderer ist. Zufall oder kein Zufall? Aufschluss darüber gibt das nächste Beispiel. 2. Wir verändern das Vektorfeld aus. geringfügig und behalten die 3 Wege aus Abb. 5 bei: J k := d + ( ) d, k =, 2, 3. k Eine entsprechende Rechnung liefert folgende Resultate: J = /2, J 2 = 3/2, J 3 = /6. Es kommen also völlig unterschiedliche Werte heraus. 8

9 Unter welchen Bedingungen hängt das Kurvenintegral F ds nur vom Anfangs- und Endpunkt des Weges abhängt und nicht von dessen Verlauf. Definition (Wegunabhängigkeit) Hat für je zwei Punkte p, q D R n das Integral F ds längs jedes in D von p nach q verlaufenden Weges denselben Wert, so heißt das Wegintegral in D wegunabhängig. In diesem Fall ist es nur vom Anfangs- und Endpunkt der Kurve abhängig; wir bezeichnen diesen Wert mit q p F ds. Die Wegunabhängigkeit von Kurvenintegralen ist auf das Engste mit dem Begriff des Gradientenfeldes verknüpft. Definition (Gradientenfeld) Das Vektorfeld F = (f,..., f n ) T : D R n R n wird ein Gradientenfeld genannt, wenn F der Gradient einer reellwertigen Funktion ist, genauer, wenn es eine stetig differenzierbare Funktion ϕ : D R mit der Eigenschaft gibt. grad ϕ = F, bzw. ϕ k = f k, k =,..., n Das Vektorfeld F wird also durch Gradientenbildung einer skalaren Ortsfunktion ϕ erzeugt. In diesem Sinne heißt ϕ auch Stammfunktion zu F. Im phsikalischen Sprachgebrauch wird das Gradientenfeld auch Potenzialfeld und die Funktion U := ϕ das Potenzial zu F genannt (das negative Vorzeichen erweist sich bei Anwendungen als zweckmäßig). Wir demonstrieren am Newtonschen Gravitationsgesetz die soeben definierten Begriffe. Aus Gründen der Einfachheit denken wir uns eine Masse m (etwa die Masse der Erde) im Nullpunkt eines z- Koordinatensstems konzentriert. Diese Masse übt auf einen Punkt 9

10 P = (,, z) mit der Masse eine Anziehungskraft m F (,, z) = g ( z 2 ) 3/2(,, z) (g Gravitationskonstante) aus. Die Kraft F weist zum Nullpunkt hin. Setzen wir zur Abkürzung c := gm, so kann man für die reellwertige Funktion U(,, z) := c/( z 2 ) /2, (,, z) mühelos die Beziehung F (,, z) = grad U(,, z) nachrechnen. U ist also das Potenzial zu F. Das Gravitationsfeld F wird durch Gradientenbildung einer skalaren Ortsfunktion ϕ := U erzeugt. Im Allgemeinen hat ein C -Vektorfeld F (n 2) keine Stammfunktion. Der nächste Satz beantwortet die Frage, für welche Vektorfelder F das Kurvenintegral 2. Art unabhängig vom Weg ist. Dies trifft für die Gradientenfelder und nur für diese zu. Satz 2 (Kriterium für die Wegunabhängigkeit) Es sei D R n ein Gebiet und F : D R n ein stetiges Vektorfeld. Das Wegintegral F ds ist genau dann in D unabhängig vom Weg, wenn F ein Gradientenfeld besitzt. Ist dies der Fall, dann gilt: (i) Für beliebiges p D ist die Funktion ϕ : D R, ϕ() := p F ds (5) eine Stammfunktion von f.

11 (ii) Das Wegintegral hat für jeden Weg : [a, b] R n den Werṱ F ds = grad ϕ ds = ϕ((b)) ϕ((a)). (6) Hierbei ist ϕ eine beliebige Stammfunktion. Wie können wir nun herausfinden, ob ein vorliegendes Vektorfeld ein Gradientenfeld ist? Die Definition ist dazu völlig ungeeignet. Dann könnte man den vorigen Satz ausnutzen und die Wegintegrale auf Wegunabhängigkeit untersuchen. Dieser Gedanke ist auch nicht gut, da man eigentlich ein Gradientenfeld als solches erkennen will, um damit die Wegintegrale zu berechnen. Eine sehr einfache Überlegung gibt eine Teilantwort auf unsere Frage. Ist F = (f,..., f n ) T ein stetig differenzierbares Gradientenfeld auf D und ϕ eine Stammfunktion zu F, dann ist grad ϕ = F und ϕ C 2 (D). Es muss also ϕ i = f i (i =,... n) und auch ϕ i j = f i,j auf D gelten. Andererseits ist wegen des Satzes von Schwarz (Bd., Satz 6.24) auch ϕ j i = f j,i = f i,j. Damit haben wir die so genannte Integrabilitätsbedingung f i j = f j i in D, i, j =,..., n (7) erhalten. Für n = 2 und n = 3 lautet die Bedingung (7): n = 2 : f,2 = f 2, ; n = 3 : f,2 = f 2,, f,3 = f 3,, f 2,3 = f 3,2. In vielen Fällen können wir nun auf einfache Weise entscheiden, dass ein vorliegendes Vektorfeld mit Sicherheit kein Gradientenfeld ist. Z. B. ist F (, ) := (e, e + ) in D = R 2 kein

12 Gradientenfeld. Die Bedingung (7) ist leider nicht hinreichend, selbst dann nicht, wenn in jedem Punkt von D (7) erfüllt ist. Definition 3 (Sternförmigkeit) Man nennt ein Gebiet D R n sternförmig bezüglich des Sternmittelpunktes a D, wenn für jeden Punkt D die Verbindungsstrecke a ganz in D liegt. Sterngebiete sind alle konveen Gebiete wie z.b. Kugeln, Dreiecke und Rechtecke in der Ebene. Abb. 6 gibt weitere mögliche sternförmige Gebiete an, wobei es sich bei dem rechten Teil der Abb. um die geschlitzte Ebene R 2 \{(, ) R 2, = } mit Sternmittelpunkt (, ) handelt. Wir geben nun einen wichtigen Satz an, mit dem wir mit Hilfe der a (,) (, ) = a Abbildung 6: Zwei sternförmige Gebiete. Die rechte Abbildung steht für die geschlitzte Ebene R 2 \{(, ) R 2, = }. Integrabilitätsbedingung (7) bequem nachrechnen können, ob das Vektorfeld F ein Gradientenfeld ist. Satz 4 (Integrabilitätskriterium) Das Vektorfeld F : D R n R n sei auf der offenen und sternförmigen Menge D stetig differenzierbar und genüge der Integrabilitätsbedingung (7). Genau dann ist F ein Gradientenfeld in D. 2

13 Beispiel 5 Wir betrachten das Vektorfeld ( F (, ) := (P (, ), Q(, )) T = 2 + 2, ) T, (, ) D mit D := {(, ) R 2 < < 9}. Die Komponenten von F sind nicht stetig im Ursprung, deshalb wurde D wie hier gewählt. Allerdings ist D kein sternförmiges Gebiet. Eine einfache Rechnung zeigt jedoch, dass die Integrabilitätsbedingung P (, ) = Q (, ) = 2 2, (, ) D ( ) 2 erfüllt ist. Trotzdem ist das Wegintegral F ds, wenn wir die D 3 Abbildung 7: Die Kurve (t) = (2 cos t, sin t) T, t [, 2π] geschlossene Kurve (t) := (2 cos t, 2 sin t) T, t [, 2π] benutzen (siehe Abb. 7). Es gilt nämlich F ds d + d = P (, ) d + Q(, ) d = = = 2π 2π ( 2 sin t)( 2 sin t dt) + (2 cos t)(2 cos t dt) 4 cos 2 t + 4 sin 2 t dt = 2π. 3

14 . Berechnungsmethode: Beispiel 6 Berechne das Wegintegral d + d P (, )d + Q(, )d = (8) entlang des in Abbildung 8 gezeichneten Weges. Der Leser möge (, 3) (, ) ( ) 2 + ( 3) 2 = 4 (3, 3) = Abbildung 8: Die Kurven und beachten, dass es sich bei den Funktionen P und Q um dieselben Funktionen wie in Beispiel 5 handelt. Der Definitionsbereich D ist jetzt das Rechteck (/2, 4) (, 4). Es gilt wieder P (, ) = Q (, ) für (, ) (/2, 4) (, 4). D ist als konvee Menge sternförmig. Somit ist das Wegintegral wegunabhängig. Wir können das Kurvenintegral (8) berechnen, indem wir eine Stammfunktion ϕ bestimmen, die die Bedingung ϕ (, ) = 2 + 2, ϕ (, ) = 2 + 2, (, ) D erfüllt. In diesem Fall gilt für den Wert des Kurvenintegrals d + d = ϕ(3, 3) ϕ(, ) mit ϕ(, ) = arctan + c. Andererseits können wir wegen der Wegunabhängigkeit des Integrals auch den Weg (t) = (t, t), t 4

15 [, 3] verwenden. Wir rechnen sofort nach, dass d + d = tdt + tdt = ist. Folglich gilt für das Integral d + d d + d = = Berechnungsmethode (für n = 2, n > 2 analog) Es sei F = (f, f 2 ) T : D R 2 R 2 eine C -Funktion. Für die zu bestimmende Stammfunktion ϕ gelten die Beziehungen ϕ (, ) = f (, ), ϕ (, ) = f 2 (, ) für alle (, ) D. Diese veranlassen uns zu dem Ansatz ϕ(, ) = f (, ) d+c() oder ϕ(, ) = f 2 (, ) d+ c(). (9) Wir arbeiten mit der ersten Beziehung weiter. Die Variable wird bei der Integration beliebig, aber fest gewählt. Dies erklärt auch, warum eine von abhängige Konstante c entsteht. Zur Bestimmung von c() nutzen wir die verbleibende zweite Bedingung ϕ (, ) = f 2 (, ) = f (, ) d + c (). () Es verbleibt zu zeigen, dass diese Gleichung nur von und nicht von abhängt. Dazu differenzieren wir die Gleichung nach und zeigen, dass [ f 2 (, ) ist. In der Tat gilt f 2, (, ) [ ] f (, ) d ] f (, ) d 5 = f 2, (, ) f, (, ),

16 da für F die Integrabilitätsbedingung (7) auf D erfüllt ist. Somit kann c() aus () berechnet werden. Entsprechend kann man mit dem zweiten Ansatz in (9) verfahren, falls die Integration von f 2 bzgl. einfacher ist als die von f nach. Die Funktion c() wird aus c () = f (, ) bestimmt. f 2 (, ) d Beispiel 7 Gegeben sei das Vektorfeld F : R 3 R 3, F (,, z) := (P (,, z), Q(,, z), R(,, z)) T = (z 2 sin, cos 2z, 2z 2 + z) T. Wir überprüfen zunächst die Integrabilitätsbedingung für das Vektorfeld F. Sie lautet: P = Q = sin, P z = R = 2z, Q z = R = 2. Dies zeigt, dass das Wegintegral P d+q d+r dz unabhängig vom Weg ist. Wir bestimmen eine Stammfunktion ϕ durch unbestimmte Integration über P : ϕ(,, z) = P (,, z)d + c(, z) = z 2 + cos + c(, z). Aus den zwei verbleibenden Bedingungen können wir c(, z) wie folgt berechnen: also ϕ (,, z) = Q(,, z) = cos + c (, z) c (, z) = cos 2z cos. Dies liefert c(, z) = 2z + c (z) und mit der dritten Bedingung ϕ z (,, z) = 2z 2 + c (z) = R(,, z) = 2z 2 + z. 6

17 Hieraus folgt c (z) = z 2 /2+c 2. Alles zusammen liefert die Stammfunktion ϕ(,, z) = z 2 + cos 2z + z 2 /2 + c 2. Beispielsweise ergibt sich für eine beliebige C -Kurve, die den Punkt (π/2,, ) mit (π,, 2) verbindet (π,,2) (π/2,,) ( π ) P d+q d+r dz = ϕ(π,, 2) ϕ 2,, = 7/2(π ). 7