Satz über implizite Funktionen und seine Anwendungen

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1 Satz über implizite Funktionen und seine Anwendungen Gegeben sei eine stetig differenzierbare Funktion f : R 2 R, die von zwei Variablen und abhängt. Wir betrachten im Folgenden die Gleichung f(,) = 0. Durch eine solche Gleichung wird im Allgemeinen eine Kurve in der -Ebene beschrieben, nämlich gerade die Kurve, in der sich der Graph der Funktion f (der, wie wir wissen, eine räumliche Fläche ist) und die -Ebene schneiden (vorausgesetzt natürlich, der Graph von f und die -Ebene haben überhaupt Punkte gemeinsam). Beispiel : Für die Funktion f(,) = beschreibt die Gleichung f(,) = = 0 den Kreis mit dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt und dem Radius. 0 Es sei nun ( 0, 0 ) ein Punkt, der die Gleichung f(,) = 0 erfüllt, also auf der durch die Gleichung beschriebenen Kurve liegt. Wir wollen uns im Folgenden mit der folgenden Frage beschäftigen: Gibt es eine Umgebung dieses Punktes, in der sich die Kurve auch in der Form = g() beschreiben lässt, die Kurve also mit dem Graph einer Funktion = g() übereinstimmt (selbst wenn die Vorschrift dieser Funktion g nicht unbedingt eplizit angegeben werden kann)? Falls eine solche Umgebung eistiert, sagt man auch, dass die Gleichung f(, ) = 0 im Punkt ( 0, 0 ) lokal eindeutig nach auflösbar ist. Man sagt außerdem, dass die dadurch bestimmte Funktion = g() implizit durch die Gleichung f(, ) = 0 gegeben ist. Unsere Fragestellung können wir übrigens auch wie folgt formulieren: Eistiert eine Umgebung des Punktes ( 0, 0 ), in der es keine zwei Kurvenpunkte gibt, die dieselbe -Koordinate, aber unterschiedliche -Koordinaten besitzen? Beispiel (Fortsetzung): Wir untersuchen die Fragestellung für den Einheitskreis, also für die Gleichung = 0. Es ist nicht schwer zu sehen, dass für fast jeden Punkt des Kreises eine Umgebung eistiert, in der es nicht mehrere Punkte auf dem Kreis mit demselben -Wert, aber unterschiedlichen -Werten gibt. In der folgenden Abbildung ist für einen Punkt auf der Kreislinie eine mögliche Umgebung mit dieser Eigenschaft grau eingefärbt.

2 ( 0, 0 ) 0 Es gibt nur zwei Punkte auf der Kreislinie, für die wir keine solche Umgebung finden können: die Punkte (, 0) und (, 0). Diese Punkte sind sogenannte Umkehrpunkte des Kreises. In jeder noch so kleinen Umgebung dieser beiden Punkte finden wir stets zwei Punkte auf der Kreislinie, die denselben -Wert, aber unterschiedliche -Werte besitzen. In der folgenden Abbildung ist das für den Punkt (, 0) veranschaulicht. Die grau eingefärbte Umgebung könnte beliebig verkleinert werden wir würden trotzdem innerhalb der Umgebung noch zwei Punkte auf dem Kreis mit demselben -Wert finden. 0 Die beiden Punkte, in denen die Gleichung f(,) = 0 nicht lokal eindeutig nach aufgelöst werden kann, sind gerade die beiden Punkte, für die die Tangente an den Kreis senkrecht verläuft. Oder anders herum: Für jeden Punkt des Kreises, für den die Tangente nicht senkrecht verläuft, ist die Gleichung f(,) = 0 lokal eindeutig nach auflösbar. Letztere Aussage lässt sich auf allgemeinere Gleichungen übertragen. Genau das macht der Satz über implizite Funktionen, den wir nun formulieren wollen. Satz über implizite Funktionen: Gegeben sei ein Punkt ( 0, 0 ), der die Gleichung f(,) = 0 erfüllt, der also auf der Kurve liegt, die durch diese Gleichung beschrieben wird. Falls f ( 0, 0 ) 0 ist, dann eistiert eine Umgebung des Punktes ( 0, 0 ), in der die Gleichung f(,) = 0 eindeutig nach auflösbar ist, in der die Kurve also mit dem Graph einer Funktion = g() übereinstimmt. Die dadurch bestimmte Funktion g ist stetig differenzierbar an der Stelle 0 und ihre Ableitung an dieser Stelle lässt sich mit Hilfe der partiellen Ableitungen von f wie folgt berechnen: g ( 0 ) = f ( 0, 0 ) f ( 0, 0 ). 2

3 Bemerkungen: Aus der Bedingung f ( 0, 0 ) 0 folgt anschaulich gesehen, dass die Tangente an die Kurve im Punkt ( 0, 0 ) nicht senkrecht verläuft. Mit Hilfe der zweiten Aussage über die Ableitung von g an der Stelle 0 lässt sich leicht eine Gleichung der Tangente an die Kurve im Punkt ( 0, 0 ) ermitteln. Sie lautet nämlich = t() = 0 +g ( 0 ) ( 0 ), siehe auch nachfolgende Beispiele. Die Bedingung f ( 0, 0 ) 0 ist nur ein hinreichendes Kriterium dafür, dass die Gleichung f(,) = 0 im Punkt ( 0, 0 ) lokal eindeutig nach auflösbar ist. Gilt nämlich umgekehrt f ( 0, 0 ) = 0, dann folgt nicht zwangsläufig, dass die Gleichung nicht lokal eindeutig nach auflösbar ist. Es sind dann gesonderte Untersuchungen notwendig, um über die lokale Auflösbarkeit nach zu entscheiden. Darauf wollen wir hier aber nicht im Detail eingehen. Übrigens folgt aus f ( 0, 0 ) = 0 noch nicht einmal zwangsläufig, dass die Tangente an die Kurve im Punkt ( 0, 0 ) senkrecht verläuft, siehe den Punkt P im Beispiel 2 weiter unten. Gilt zusätzlich aber f ( 0, 0 ) 0, dann verläuft die Tangente mit Sicherheit senkrecht. Beispiel (Fortsetzung): Wir betrachten erneut die Gleichung f(,) = = 0, durch die der Einheitskreis in der -Ebene beschrieben wird. Des Weiteren betrachten wir den Punkt ( 0, 0 ) = ( 2, 2 ), der die Gleichung erfüllt (wie leicht durch Nachrechnen bestätigt werden kann), das heißt, auf dem Einheitskreis liegt. Wir haben uns weiter oben bereits anschaulich überlegt, dass die Gleichung f(, ) = 0 in einer gewissen Umgebung dieses Punktes ( 0, 0 ) eindeutig nach aufgelöst werden kann. Das soll nun nochmal unter Verwendung des Satzes über implizite Funktionen bestätigt werden. Außerdem wollen wir den Wert der ersten Ableitung der dadurch gegebenen Funktion = g() an der Stelle 0 = 2 bestimmen. Als Hilfsmittel benötigen wir die partiellen Ableitungen erster Ordnung von f: f (,) = 2, f (,) = 2. Es ist ( f ( 0, 0 ) = f 2, ) = 0. 2 Demzufolge eistiert nach dem Satz über implizite Funktionen tatsächlich eine Umgebung des Punktes ( 0, 0 ) = (, 2 2 ), in der die Gleichung f(,) = 0 eindeutig nach aufgelöst werden kann, in der also die Kurve mit dem Graphen einer Funktion = g() übereinstimmt. Der Wert der ersten Ableitung der Funktion = g() an der Stelle 0 = beträgt, ebenfalls 2 nach dem Satz über implizite Funktionen, ( ) g = f (, 2 2 ) 2 f (, 2 2 ) = =.

4 Als Zusatz können wir nun auch noch eine Gleichung der Tangente an den Einheitskreis im Punkt (, 2 2 ) bestimmen: = t() = 0 +g ( 0 )( 0 ) = )( +g ( ) = ( ) Übrigens: Die Funktion = g(), mit deren Graph der Einheitskreis in einer gewissen Umgebung des Punktes ( 0, 0 ) = ( 2, 2 ) übereinstimmt, könnten wir sogar eplizit angeben: = g() = 2. Im Allgemeinen ist eine eplizite Angabe dieser Funktion jedoch nicht möglich, vgl. Beispiel 2. In der folgenden Abbildung sind neben dem Einheitskreis der Punkt ( 0, 0 ) sowie die Tangente an den Kreis in diesem Punkt (gestrichelt) dargestellt. ( 0, 0 ) t 0 Für die Punkte (,0) und (,0) ist der Wert von f übrigens gleich Null (das sind die einzigen beiden Punkte auf der Kreislinie, für die das der Fall ist). Für diese beiden Punkte ist der Satz über implizite Funktionen demnach nicht anwendbar. Allein mit Hilfe dieses Satzes lässt sich für diese beiden Punkte somit nicht entscheiden, ob die Gleichung f(, ) = 0 lokal eindeutig nach aufgelöst werden kann. Allerdings haben wir uns bereits weiter oben anschaulich überlegt, dass das nicht der Fall ist. Beispiel 2: Gegeben sei die Gleichung f(,) = ( ) 2 8( 2 2 ) = 0. Durch Nachrechnen lässt sich leicht bestätigen, dass zum Beispiel die folgenden vier Punkte diese Gleichung erfüllen, also auf der durch diese Gleichung beschriebenen Kurve liegen: ( ) P (0,0), P 2,, P (2, 4 ) ( ) 5 8, P 4 8,0. Wir wollen für jeden dieser Punkte untersuchen, ob wir mit Hilfe des Satzes über implizite Funktionen schlussfolgern können, dass die Gleichung f(, ) = 0 in einer gewissen Umgebung des Punktes eindeutig nach auflösbar ist. Falls ja, dann wollen wir eine Gleichung der Tangente an die Kurve im jeweiligen Punkt ermitteln. Als Hilfsmittel benötigen wir zunächst die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktion f: f = 4( ) 6 = 4( ), f = 4( )+6 = 4( ). 4

5 P (0,0) : Es ist f (0,0) = 0. Das bedeutet, dass wir für den Punkt P den Satz über implizite Funktionen nicht anwenden können und allein mit diesem Satz nicht entscheiden können, ob die Gleichung f(,) = 0 in einer Umgebung des Punktes P eindeutig nach aufgelöst werden kann. P 2 (, ) : Es ist f (, ) = 4 ( ( ) ) = 2 0. Nach dem Satz über implizite Funktionen eistiert somit eine Umgebung des Punktes P 2, in der die Gleichung f(,) = 0 eindeutig nach aufgelöst werden kann, in der also die Kurve mit dem Graphen einer Funktion = g 2 () übereinstimmt. Wir wollen als nächstes eine Gleichung der Tangente an die Kurve im Punkt P 2 ermitteln. Eine solche lautet ( ) ( = t 2 () = 2 +g 2( 2 ) ( 2 ) = +g 2 ). Für die Ableitung der Funktion = g 2 () an der Stelle 2 = ergibt sich, wiederum nach dem Satz über implizite Funktionen, ( ) g 2 = f (,) (( ) 2 f (,) = ) = 0. 2 Demzufolge ergibt sich für die Gleichung der Tangente im Punkt P 2 : = t 2 () =. Die Tangente an die Kurve im Punkt P 2 verläuft also waagerecht. P (2, 4 ) 5 8 : Es ist f (2, 4 ) 5 8 = 4 4 ( ( ) 2 5 8) +4 = Nach dem Satz über implizite Funktionen eistiert somit eine Umgebung des Punktes P, in der die Gleichung f(,) = 0 eindeutig nach aufgelöst werden kann, in der also die Kurve mit dem Graphen einer Funktion = g () übereinstimmt. Wir wollen als nächstes wieder eine Gleichung der Tangente an die Kurve im Punkt P ermitteln. Eine solche lautet = t () = +g ( ) ( ) = g (2) ( 2). Für die Ableitung der Funktion = g () an der Stelle = 2 ergibt sich, wiederum nach dem Satz über implizite Funktionen, ( g (2) = f (2, 4 ( ) ) ) f (2, 4 5 8) =

6 (Wert auf 6 Nachkommastellen genau gerundet). Beachten wir außerdem noch = , erhalten wir für die Gleichung der Tangente an die Kurve im Punkt P : = t () = ( 2). ( 8,0 ) ( ) P 4 : Es ist f 8,0 = 0. Das bedeutet, dass wir für den Punkt P4 den Satz über implizite Funktionen nicht anwenden können und allein mit diesem Satz nicht entscheiden können, ob die Gleichung f(,) = 0 in einer Umgebung des Punktes P 4 eindeutig nach aufgelöst werden kann. In der folgenden Abbildung ist die durch die Gleichung f(, ) = 0 beschriebene Kurve dargestellt. Es handelt sich um eine sogenannte Lemniskate. Die Punkte P,...,P 4 sind ebenfalls eingetragen. Auch die Tangenten an die Kurve in den Punkten P 2 und P sind mit dargestellt (gepunktet). Es ist noch einmal gut zu erkennen, dass für die Punkte P 2 und P jeweils eine Umgebung eistiert, in der keine zwei Kurvenpunkte mit demselben -Wert, aber unterschiedlichen - Werten liegen. Das ist anders für die Punkte P und P 4. Für jeden dieser beiden Punkte finden wir in jeder noch so kleinen Umgebung Punkte auf der Kurve, die denselben -Wert, aber unterschiedliche -Werte haben. Anhand der Abbildung können wir somit sagen, dass die Gleichung f(,) = 0 in den Punkten P und P 4 nicht lokal eindeutig nach auflösbar ist. Speziell im Punkt P 4 verläuft die Tangente an die Kurve senkrecht. Dort besitzt die Kurve einen sogenannten Umkehrpunkt. P 2 t P P P t Wir fassen noch einmal zusammen. Angenommen, ein Punkt ( 0, 0 ) erfüllt die Gleichung f(,) = 0. Ist die partielle Ableitung f in ( 0, 0 ) verschieden von Null, dann gibt es eine Umgebung dieses Punktes, in der die Gleichung f(,) = 0 eindeutig nach auflösbar ist, das heißt, die Kurve mit dem Graphen einer Funktion = g() übereinstimmt (ohne, dass diese Funktion g auch eplizit angegeben werden kann). Die Ableitung von g an der Stelle 0 lässt sich dann mit Hilfe der partiellen Ableitungen erster Ordnung von f bestimmen. Falls die Funktion f zweimal stetig differenzierbar ist, ist auch die implizit gegebene Funktion = g() zweimal stetig differenzierbar an der Stelle 0. Die zweite Ableitung von g an der Stelle 0 lässt sich dann mit Hilfe der partiellen Ableitungen zweiter Ordnung von f berechnen, und zwar wie folgt: g ( 0 ) = f ( 0, 0 ) 2 f ( 0, 0 ) 2f ( 0, 0 )f ( 0, 0 )f ( 0, 0 )+f ( 0, 0 ) 2 f ( 0, 0 ) f ( 0, 0 ). Damit ist man dann beispielsweise auch in der Lage dazu, das Talor-Polnom 2. Grades der Funktion g zur Entwicklungsstelle 0 zu bestimmen (und damit g ggf. lokal noch besser 6

7 anzunähern als durch die Tangente). Beispiel 2 (Fortsetzung): Wir betrachten noch einmal die Gleichung f(,) = ( ) 2 8( 2 2 ) = 0, durch die eine Lemniskate beschrieben wird. Wir haben bereits weiter oben gesehen, dass diese Gleichung in einer Umgebung des Punktes P 2 (,) eindeutig nach aufgelöst werden kann, die Lemniskate also mit dem Graphen einer Funktion = g() übereinstimmt. Wir hatten auch eine Gleichung der Tangente an die Kurve in diesem Punkt berechnet. Nun wollen wir auch die zweite Ableitung der Funktion g an der Stelle 2 = berechnen und anschließend auch das Talor-Polnom 2. Grades von g zur Entwicklungsstelle 2. Die partiellen Ableitungen erster Ordnung von f hatten wir bereits ermittelt: f (,) = 4( ), f (,) = 4( ). Konkret an der Stelle ( 2, 2 ) = (,) betragen diese f (,) = 0, f (,) = 2. Für die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung von f erhalten wir f (,) = , f (,) = 8, f (,) = Konkret an der Stelle ( 2, 2 ) = (,) ergibt sich f (,) = 24, f (,) = 8, f (,) = 40. Für die zweite Ableitung der Funktion = g() an der Stelle 2 = ergibt sich somit g ( ) = f (,) 2 f (,) 2f (,)f (,)f (,)+f (,) 2 f (,) f (,) = = 4. Nun sind wir auch dazu in der Lage, das Talor-Polnom 2. Ordnung der Funktion g zur Entwicklungsstelle 2 = zu bestimmen: ( ) ( )( = T 2 () = g +g }{{}}{{} = 2 = =0 = ( 2. ) 8 )+ 2 g ( ) }{{} = 4 ( ) 2 7