Definitionsbereich von Funktionen mehrerer Variablen

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1 Definitionsbereich von Funktionen mehrerer Variablen Wir betrachten Funktionen, die von zwei Variablen und abhängen. Der (größtmögliche) Definitionsbereich D f einer Funktion f ist die Menge, die aus allen Paaren (,) besteht, für die die Funktion definiert ist. Die wichtigsten Regeln dafür, welche Paare (, ) für den Definitionsbereich stets ausgeschlossen werden müssen, sind: Der Nenner eines Bruches muss 0 sein. Der Ausdruck, der unter der Wurzel steht, muss 0 sein. Der Ausdruck, der in einem Logarithmus steht, muss > 0 sein. Zu diesen Fällen gibt es im Folgenden einige Beispiele. Vorher wollen wir noch eine Bemerkung machen: Der Definitionsbereich einer Funktion, die von zwei Variablen abhängt, ist stets ein Bereich in der -Ebene. In den folgenden Beispielen soll nicht nur der größtmögliche Definitionsbereich bestimmt werden, sondern jeweils auch eine Skizze von D f angefertigt werden. Der Nenner eines Bruches muss 0 sein. Beispiele: (a) Gesucht ist der größtmögliche Definitionsbereich der Funktion f(,) = 1. Der Nenner darf nicht Null werden, das heißt es muss sein. Also gilt D f = {(,) }. Es sind also alle Punkte der -Ebene zugelassen, nur die Gerade mit der Gleichung = muss ausgeschlossen werden. Der Definitionsbereich hat also folgende Gestalt: (Der schmale weiße Bereich soll andeuten, dass die Gerade = nicht zum Bereich gehört.)

2 (b) Gesucht ist der größtmögliche Definitionsbereich der Funktion f(,) = Der Nenner darf nicht Null werden, es muss also sein. Der Ausdruck wird aber nur Null, wenn sowohl als auch Null sind. Für den Definitionsbereich muss also nur der Nullpunkt ausgeschlossen werden, also: Zeichnen wir D f, so ergibt sich: D f = {(,) (,) (0,0)} = R 2 \{(0,0)}. (Der kleine weiße Kreis soll andeuten, dass der Nullpunkt nicht zum Bereich gehört.) Der Ausdruck, der unter der Wurzel steht, muss 0 sein. Beispiele: (a) Gesucht ist der größtmögliche Definitionsbereich der Funktion f(,) = Da der Ausdruck unter der Wurzel stets 0 sein muss, muss gelten: D f = {(,) }. Wie sieht die Menge D f in der -Ebene aus? Wir wissen, dass die Gleichung = 9 einen Kreis um den Koordinatenursprung mit Radius beschreibt. Bei der Ungleichung gehören nun nicht nur alle Punkte der Kreislinie dazu, sondern auch alle Punkte im Inneren des Kreises. D f hat also folgende Gestalt:

3 0 (b) Gesucht ist der größtmögliche Definitionsbereich der Funktion f(,) = Wir wissen, dass der Ausdruck unter der Wurzel 0 sein muss. Hier steht die Wurzel aber im Nenner, sodass zusätzlich gewährleistet werden muss, dass sie ungleich Null ist. Das heißt, der Ausdruck unter der Wurzel muss sogar echt > 0 sein, das heißt es ergibt sich die Bedingung > > 9. D f = {(,) > 9}. Die Ungleichung > 9 beschreibt nun gerade (im Gegensatz zur Aufgabe (a)) das Äußere des Kreises mit Radius. Wegen dem echten Ungleichheitszeichen > gehört die Kreislinie selbst nicht dazu. D f hat demnach folgende Gestalt: 0 (Die Kreislinie selbst ist gestrichelt, was andeuten soll, dass sie nicht zum Bereich gehört.) (c) Gesucht ist der größtmögliche Definitionsbereich der Funktion f(,) = (2 )(+). Der Ausdruck unter der Wurzel muss 0 sein, also ergibt sich die Bedingung (2 )(+) 0.

4 Ein Produkt ist 0, wenn entweder beide Faktoren 0 sind oder beide Faktoren 0 sind. Also muss gelten entweder oder 2 0 und und + 0. Fassen wir die Bedingungen jeweils etwas zusammen, muss somit gelten: 2 oder 2. D f = {(,) 2 oder 2 }. Zum Zeichnen von D f zeichnen wir am besten die Begrenzungsgeraden = und = 2 und schauen dann, welche der umrandeten Flächen zu D f gehören. Es ergibt sich: = = 2 Der Ausdruck, der in einem Logarithmus steht, muss > 0 sein. Beispiele: (a) Gesucht ist der größtmögliche Definitionsbereich der Funktion f(,) = ln(9 2 2 ). Es muss gelten: > < 9. D f = {(,) < 9}. Aus Beispiel (a) von den Wurzelfunktionen wissen wir schon, dass die Ungleichung < 9 das Innere des Kreises um den Ursprung mit Radius beschreibt. Dieses Mal steht aber ein echtes Ungleichheitszeichen, das heißt die Kreislinie selbst gehört nicht dazu. Es ergibt sich folgende Zeichnung von D f :

5 0 (b) Gesucht ist der größtmögliche Definitionsbereich der Funktion f(,) = ln(9 2 2 ) Hier sind zwei Bedingungen zu erfüllen. Der Ausdruck im Logarithmus muss > 0 sein und der Ausdruck unter der Wurzel 0. Also: was sich auch umformen lässt zu > 0 und , < 9. Es ergibt sich D f = {(,) < 9}. Die Ungleichung beschreibt das Äußere eines Kreises mit Radius 2 (inklusive Kreislinie), die andere Ungleichung < 9 beschreibt das Innere eines Kreises mit Radius (ohne Kreislinie). Insgesamt ergibt sich somit ein Kreisring, wobei die innere Linie dazugehört, die äußere nicht Es gibt noch weitere Funktionen, die Einschränkungen an den Definitionsbereich erfordern. Als Beispiele seien hier genannt: Der Ausdruck in einem Tangens darf kein ungeradzahliges Vielfaches von π 2 sein. Der Ausdruck in arcsin und arccos darf nur im Bereich [ 1,1] liegen.

6 Ein Beispiel noch dazu. Beispiel: Gesucht ist der größtmögliche Definitionsbereich der Funktion f(,) = arccos(+). Wie gerade erwähnt, muss der Ausdruck, der im Arcus Cosinus steht, im Bereich [ 1, 1] liegen. Also lautet die Bedingung: D f = {(,) 1 +1}. D f besteht aus allen Punkten, die zwischen den beiden Geraden mit den Gleichungen = 1 und = + 1 liegen. Somit ergibt sich folgende Skizze: = + 1 = 1