(2 π f C ) I eff Z = 25 V

Transkript

1 Physik Induktion, Selbstinduktion, Wechselstrom, mechanische Schwingung ösungen 1. Eine Spule mit der Induktivität = 0,20 mh und ein Kondensator der Kapazität C = 30 µf werden in Reihe an eine Wechselspannung mit Ueff = 25 V, 100 Hz gelegt. Die Spule habe den ohmschen Widerstand R = 10 Ω. a) Wie groß sind Ieff, die Teilspannungen U und UC und die Phasenverschiebung φ zwischen Stromstärke und Spannung? b) Wie groß ist die Resonanzfrequenz? c) Bestimmen Sie Imax. d) Skizzieren Sie den Verlauf der Impedanz Z in Abhängigkeit von der Frequenz. e) Zeichnen Sie das Zeigerdiagramm der Spannungen maßstäblich und prüfen Sie an ihm den Winkel der Phasenverschiebung. f) Bei t = 1/10 s steigt die Spannung gerade von Null zu positiven Werten an. Wie groß sind in diesem Augenblick die Stromstärke und die Teilspannungen an den Widerständen X und XC? Es gilt: I eff = U eff Z und Z = 2 +( R 2 2 π f 1 (2 π f C )) 1 Die Werte für X = 2 π f und X C = sollten extra berechnet werden, da sie später (2 π f C ) noch gebraucht werden. Also ergibt sich mit f = 100 Hz und = 0, H, bzw. C = F: und mit R = 10 Ω: X = 0,1257 Ω und XC = 53,0516 Ω Z = 53,86 Ω Jetzt kann man die effektive Stromstärke berechnen: I eff = U eff Z = 25 V 53,86 Ω I eff = 0,464 A Da es eine Reihenschaltung ist, bleibt die Stromstärke durch alle Bauteile konstant. Mit U = Z I folgt für die einzelnen Bauteile: U = Z I eff Z = X + R U = (0,1257Ω + 10Ω) 0,464 A U = 4,7 V und. = Z I eff Z = X C = 53,0516 Ω 0,464 A = 24,6 V Für die Phasenverschiebung gilt: tan φ = X X C R Damit ergibt sich für φ: 1( φ = tan X X ) C 0,1257Ω 53,0516Ω = R tan 1( 10Ω ) φ = 79,3

2 Für die Teilaufgaben b) bis d) ist es ratsam, wenn man den Verlauf der Impedanz über der Frequenz, also die Funktion Z(f) kennt. Denn, erstens soll in d) die Funktion skizziert werden, zweitens wird in b) die Resonanzfrequenz gesucht, die die Position des Minimums der Funktion Z(f) angibt und drittens ergibt sich aus Zmin der maximale Strom Imax, der in c) gesucht ist. Die Skizze für die Funktion Z(f): Mit dem GTR: Y 1 = Z ( f ) = 102 +( 2 π f 0, minimum Z(f) xmin = 2055,7 ymin = 10 Damit ergibt sich für die Resonanzfrequenz: 1 (2 π f ))2 6 f0 = 2055,7 Hz Die maximale Stromstärke erhält man durch: I max = U max Z min U = U max eff 2 = 25V 2 = 35,36 V I max = 35,36V 10Ω I max = 3,536 A (Zmin ergibt sich auch durch die Tatsache, dass bei der Resonanzfrequenz gilt: Z = R!)

3 Das Zeigerdiagramm für die Spannungen sieht folgendermaßen aus: Dafür muss die Spannung über der Spule U aufgeteilt werden. U wurde für die reale Spule bestimmt. Für das Zeigerdiagramm wäre es einfacher, die Spannung über den ohmschen Anteil, also UR und die Spannung über den induktiven Anteil, also UX, einzeln zu bestimmen: Es ergibt sich: U R = R I eff = 10Ω 0,464 A = 4,64 V U X = X I eff = 0,1257Ω 0,464 A = 0,06V Der allgemeine Ausdruch für die zeitabhängige Spannung lautet: U(t) = Û sin (ωt ) Gefordert ist, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt der Spannungsverlauf seinen Nulldurchgang von Minus nach Plus hat. Diesen Nulldurchgang hat der Verlauf alle 2π = 360. Damit wiederholt sich der Verlauf alle geradzahligen Vielfache von π, also 2π, 4π, 6π,... Die anliegende Frequenz beträgt 100 Hz, multipliziert mit der angegebenen Zeit t = 0,1 s ergibt das einen Faktor von 10, also geradzahlig. Damit verläuft die Spannung wie oben angegeben: Für t = 0,1 erhält man: U(0,1) = 0. U(t) = Û sin(ωt ) U(t) = 25 V sin ( t ) (Angegeben im Gradmaß) Mit der Phasenverschiebung φ folgt für den zeitabhängigen Strom: I(t) = Î sin (ωt φ) I(t=0,1s) = 3,536 A sin ( ,1 ( 79,3)) I (t=0,1 s) = 3,47 A 79,3 Für die Berechnungen: Es gilt 2 π 100 0,1 + sin( 180 ) π = sin ( ,1 + 79,3)

4 Für die Teilspannungen: U = Z I Z = X + R U = (0,1257Ω + 10Ω) 3,47A U = 35,14 V und = Z I Z = X C = 53,0516 Ω 3,47A = 184,09 V Zur Verdeutlichung sollte man sich die beiden Verläufe vorher skizzieren: Aus der Skizze kann man schon ersehen, dass der Wert für die Stromstärke positiv und nahe am Maximalwert sein muss. Wichtig ist die eindeutige Festlegung, ob man bei der Berechnung mit der Einheit Grad oder im Bogenmaß nutzt. 2. Eine Spule wird an Netzspannung betrieben und dabei wird ein Strom von 2,5A gemessen. Welche Induktivität hat diese Spule? Netzspannung bedeutet eine effektive Spannung von 230 V bei einer Frequenz von 50 Hz. Es gilt für die Berechnung: U = I X Im vorliegenden Fall ergibt sich das folgende: U = I X = I 2 π f = U I 2 π f = 230 V 2,5 A 2 π 50 Hz = 0,293 H

5 3. Für den Einschaltvorgang eines Stromkreises mit einer Spule gilt die folgende Differentialgleichung für die Spannung ΔU Ind Δt = R U Ind mit der ösung U Ind t. a) Zeigen Sie, dass die ösung die Dgl. erfüllt. b) Bei eine Speisespannung von U0 = 10 V und einem ohmschen Widerstand der Spule von 2,1 Ω wird nach 0,1 s eine Induktionsspannung von 5 V gemessen. Bestimmen Sie die Induktivität der Spule. c) Skizzieren Sie den Verlauf der Spannung in der Spule. Die Dgl. hat auf der linken Seite die zeitliche Ableitung der Spannung und auf der rechten Seie die Spannung selbst mit einem Faktor. Man muss die ösungsfunktion zunächst mal ableiten und entsprechend umformen: U Ind t Δ U Ind (t) Δt Man benötigt die folgende Funktion: = U 0 ( t R ) ΔU Ind (t) = R Δt ( U 0 e Δ U Ind (t) = R Δ t U Ind U Ind t mit den bekannten Größen U0 = 10 V, R = 2,1 Ω, UInd = 5 V und t = 0,1 s. Damit folgt: U Ind t 5V = 10 V e und die Umformungen: 2,1Ω 5V = 10V e 0,5 = e 2,1Ω t) R 2,1Ω ln(0,5) = 2,1Ω = 2,1 Ω ln(0,5) = 0,303H Anmerkung zu den Vorzeichen: Man kann keinen ogarithmus berechnen von einer negativen Zahl! Das Minuszeichen in der Ausgangsgleichung vor dem U0 kommt von der enzschen Regel. Die Größe der Spannung ist mit oder ohne Minus zu jedem Zeitpunkt gleich. Daher können wir es hier weg lassen. Das Minus im Exponenten können wir nicht weglassen, da es den Verlauf der Spannungmit der Zeit beschreibt. Ohne Minus würde die Spannung immer weiter ansteigen (exponentielles Wachstum), daher muss das Minus an dieser Stelle sein.

6 Der Spannungsverlauf ist in etwa der folgende: 4. Ein Körper schwingt harmonisch mit der Frequenz 0,8 Hz und der Amplitude smax = 10 cm. a) Welche Geschwindigkeit hat er in der Gleichgewichtslage? b) Bei welcher Elongation ist die Geschwindigkeit 0,25 m/s? Die Geschwindigkeit lässt sich durch v(t) = ω ŝ cos (ωt ) berechnen. Da es hier aber um die Geschwindigkeit in der Gleichgewichtslage geht, also die maximale Geschwindigkeit, wird der Cosinus gleich 1 gesetzt und es ergibt sich für die maximale Geschwindigkeit: v max = ω ŝ = 2π f ŝ v max = 2π 0,8s 1 0,1m v max = 0,5 m s Der Term v(t) = ω ŝ cos (ωt ) ergibt mit allen bekannten Größen die Zeit, zu der die Geschwindigkeit den bestimmten Wert hat: v(t) = ω ŝ cos(ω t) v(t) cos 1( ω ŝ ) 1( 0,25 cos 2 π 0,8 0,1) t = ω = 2π 0,8 t = 0,21s Mit dem Zeit-Elongations-Gesetz erhält man: s(t) = ŝ sin (ωt ) s(t) = 0,1m sin (2π 0,8Hz 0,21s) s(t) = 0,087m

7 5. An eine Schraubenfeder (D = 100 N/m) wird ein Körper der Masse 800 g gehängt und 4 cm aus seiner Gleichgewichtslage nach unter gezogen und losgelassen. a) Mit welcher Frequenz schwingt der Körper? b) Wie groß sind Geschwindigkeit und Beschleunigung des Körpers 3 cm oberhalb der Gleichgewichtslage? Welche Zeit braucht er vom unteren Umkehrpunkt bis zu dieser Stelle? Für die Schwingungsfrequenz gilt: f = 1 2π D m N f = m 2π 0,8kg f = 1,78Hz Mit den genannten Bedingungen zum Start der Schwingung muss man die Gleichung des Zeit Elongations-Gesetzes anpassen. Denn die Gleichung sagt aus, dass zum Zeitpunkt t = 0 auch die Auslenkung Null ist. Hier ist aber die Auslenkung maximal nach unten zum Zeitpunkt t = 0. Also, statt s(t) = ŝ sin(ω t), gilt: s(t) = ŝ cos(ω t) Für die Geschwindigkeit gilt damit v(t) = ω ŝ sin(ω t) und für die Beschleunigung a(t) = ω 2 ŝ cos(ωt). Es ist s(t) = ŝ cos(ω t) 0,03m = 0,04 m cos(2π 1,78Hz t) 0,03 cos 1( 0,04 ) t = = 0,216s 2π 1,78Hz v(t) = ω ŝ sin(ω t) v(t) = 2π 1,78Hz 0,04m sin (2π 1,78Hz 0,216s) Mit dieser Zeit erhält man: und v (t) = 0,297 m s a(t) = ω 2 ŝ cos(ω t) a(t) = (2π 1,78Hz ) 2 0,04m cos (2π 1,78Hz 0,216 s) Der Körper braucht t = 0,216 s bis zu dieser Stelle. a(t) = 3,74 m s 2