Serie 12 Musterlösung

Transkript

1 Serie 2 Musterlösung ineare Algebra Klasse: Ea, Eb, Sb Datum: HS 7 In dieser Serie werden alle echnungen in der Basis und in SI-Einheiten durchgeführt. e ˆ cos(ω t) und e 2 ˆ sin(ω t). Gesamt-Impedanz 86MM2 Bestimmen Sie die Gesamt-Impedanz des Netzwerks. Benutzen Sie auch a b A d b c d ad bc c a 2 a) b) c) d) (a) Z T Z Z

2 ineare Algebra Serie 2 Musterlösung HS 7 (b) (c) Z T Z Z 2 ω ω 2 ω 2 ω ω cω ω ω 2 2 ω 2 2 ω Z T Z ( Z ( 2 ω 2 ) 2 ) Z { 2 ω ω 2 2 ( 2 ω 2 2 ) } ( ω) 2 2 ( ω) 2 2 ( ω) 2 ( ω) 2 (d) Z T Z ( Z ( 2 ω 2 ( ) Z 2 ) { 2 ω 2 2 )ω ( 2 ω 2 2 )ω ( 2 ω 2 2 ) } ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 2. Zeigerdiagramm P5DDG Gegeben sind die beiden Netzwerke mit den Komponenten 4 Ω, 2 2 Ω, 3 nf, und 3 µ H. Für die Amplitude und Frequenz der sinusförmigen Quellenspannung gelten V und f khz. Bestimmen Sie die Ströme i (t) und i 2 (t) mit Hilfe der Zeigerdarstellung. î sin( ω t φ ) 2 î 2 sin( ω t φ 2 ) sin( ω t) sin( ω t) Seite 2 / 8

3 ineare Algebra Serie 2 Musterlösung HS 7 Netzwerk : Die Impedanz des Netzwerks ist Z T Z Z Die Spannungsquelle ist in der Zeigerdarstellung u Z i i Z u Die Amplitude des Stromes ist und die Phasenverschiebung Also ist der Strom 4 5 3π 5 u 4 3π i A φ arctan i (t).5 A sin(ω t 53 ). Es ergibt sich aus u Netzwerk 2: Die Impedanz des Netzwerks ist Z T Z Z Die Spannungsquelle ist in der Zeigerdarstellung u. Es ergibt sich aus u Z i i (Z ) u 2 3π 5 3π u 2 5 Die Amplitude und Phasenverschiebung des Stromes sind i ( 2.5) ) A und φ 2 arctan Also ist der Strom i 2 (t) 3.64 A sin(ω t 43 ). 3. Zeigerdiagramm MZ823 Gegeben ist das Netzwerke mit den Komponenten 4 Ω, 2 2 Ω, 3 nf, und 3 µ H. (a) Für die Amplitude und Frequenz der sinusförmigen Quellenspannung gilt u(t) sin(ωt) mit V und f khz. Bestimmen Sie den Strom i(t) î sin(ωtϕ ) mit Hilfe der Zeigerdarstellung. Seite 3 / 8

4 ineare Algebra Serie 2 Musterlösung HS 7 (b) Für die Amplitude und Frequenz des sinusförmigen Quellen-Stroms gilt i(t) î sin(ωt) mit î 5 A und f khz. Bestimmen Sie die Spannung u(t) sin(ωt ϕ ) mit Hilfe der Zeigerdarstellung. i(t) u(t) 2 Die Impedanz des Netzwerks ist Z T ( Z Z }{{} Z a ) ( Z Z }{{} Z b ( ) (a) Die Spannungsquelle ist in der Zeigerdarstellung u i (Z T ) u. Wir bemerken ). Es ergibt sich aus also ((Za ) (Z T ) ( ) ) Zb ( ) ( ) Z a Zb i Z T u Die Amplitude des Stromes ist und die Phasenverschiebung Also ist der Strom u i (.29385) A φ arctan i(t) 3.78 A sin(ω t 2 ) Seite 4 / 8

5 ineare Algebra Serie 2 Musterlösung HS 7 (b) Die Stromquelle ist in der Zeigerdarstellung i u Z T i i Amplitude und Phasenverschiebung der Spannung sind î. Wir berechnen also u V und φ arctan Die Spannung ist also u(t) 3.22 V sin(ω t 2 ). 4. Tiefpassfilter DA5N3 Gegeben ist das Netzwerke mit den Komponenten,. Für die Amplitude und Frequenz der sinusförmigen Quellenspannung gelten V und ω Hz. Bestimmen Sie die Gangs-Spannung u o (t) sin(ωt ϕ ). Gehen Sie dabei wie folgt vor: (a) Bestimmen Sie die Impedanz der Kapazität und des gesamten Netzwerks in Zeigerdarstellung. (b) Berechnen Sie damit den Strom i(t) im Netzwerk in Zeigerdarstellung. (c) Benutzen Sie u Z i um aus dem Strom die Spannung über der Kapazität zu berechnen. (d) Wandeln Sie den Zeiger für die Spannung in die Form sin(ωt ϕ ) um. (e) Berechnen Sie die Ausgangsspannung bei f und f 23 khz, V und ein Netzwerk mit 4 Ω und 3 nf. î sin( ω t φ) sin( ω t) sin( ω t φ ) (a) Die Impedanzen in Zeigerform sind Z und Z T Seite 5 / 8

6 ineare Algebra Serie 2 Musterlösung HS 7 (b) Der Strom ergibt sich aus u Z T i also i (Z T ) u also i 2 /() 2 2 /() 2 (c) u Z i 2 () 2 2 /() 2 2 /() 2 () 2 Beim letzten Schritt wurde der Bruch erweitert mit () 2. (d) Amplitude : Phase: 2 () 2 ( ) 2 2 Also ist die Ausgangspannung 2 () 2 ( ) ϕ arctan arctan ( ) u o (t) sin(ωt arctan ( )) 2 () 2 Für hohe Frequenzen ist der Ausdruck 2 () 2 gross, also ist die Amplitude von u o (t) klein. D.h. an dieser Schaltung werden hohe Frequenzen werden mehr gedämpft als tiefe. (e) Die Ausgangsspannungen sind 2 ( ) 2 V V ( 2π 23 3 ) 2 5 V da 2π Hochpassfilter EBBWE Gegeben ist das Netzwerke mit den Komponenten,. Für die Amplitude und Frequenz der sinusförmigen Quellenspannung gelten V und ω Hz. Bestimmen Sie die Gangs-Spannung u o (t) sin(ωt ϕ ). Gehen Sie dabei wie folgt vor: Seite 6 / 8

7 ineare Algebra Serie 2 Musterlösung HS 7 (a) Das Netzwerk ist hat die selbe Struktur wie in der vorherigen Aufgababe. Deshalb können wir den resultierenden Strom in Zeigerform i 2 /() 2 verwenden. Benutzen Sie u Z i um aus dem Strom die Spannung über dem Widerstand zu berechnen. (b) Wandeln Sie den Zeiger für die Spannung in die Form sin(ωt ϕ ) um. (c) Berechnen Sie die Ausgangsspannung bei f und f 274 khz, V und ein Netzwerk mit 4 Ω und 3 nf. î sin( ω t φ) sin( ω t) sin( ω t φ ) (a) Die Spannung ist u Z i 2 /() 2 2 /() 2 2 ω () 2 () 2 Beim letzten Schritt wurde der Bruch erweitert mit () 2. (b) Die Amplitude ist () 2 (ω ) 2 () 4 () 2 (ω ) () 2 (ω ) () 2 Seite 7 / 8

8 ineare Algebra Serie 2 Musterlösung HS 7 Die Phasenverschiebung ( ) ω ϕ arctan () 2 ( ) arctan (c) Berechnen Sie die Ausgangsspannung bei f und f 23 khz, V und ein Netzwerk mit 4 Ω und 3 nf. Die Ausgangsspannungen sind ( ) ( ) 2 V (ω ) () 2 9 V da ω Der Gleichstromanteil verschwindet, während Wechselströme um so weniger gedämpft werden, je höher ihre Frequenz liegt. Seite 8 / 8