Uebungsserie 1.1 Harmonische Signale und Ihre Darstellung

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1 28. September 2016 Elektrizitätslehre 3 Martin Weisenhorn Uebungsserie 1.1 Harmonische Signale und Ihre Darstellung Aufgabe 1. Die nachfolgende Grafik stellt das Oszillogramm zweier sinusförmiger Spannungen dar, die entsprechende mathematische Beschreibung ist u(t) = û cos(2πft + ϕ u ). a) Bestimmen Sie für die beiden Spannungen u 1 (t) und u 2 (t) die Frequenz f, die Phasenwinkel ϕ u1 und ϕ u,2, sowie die Amplituden û 1 und û 2. b) Wie gross ist der Betrag der Phasenverschiebung zwischen û 1 und û 2 in Grad? c) Bestimmen Sie die Summe u S (t) = u 1 (t) + u 2 (t). Aufgabe 2. (Phasenverschiebung) Für die skizzierte Sinusgrössen gebe man an:

2 Harmonische Signale und Ihre Darstellung, Elektrizitätslehre 3 2 a) Kreisfrequenz ω und Periodendauer, b) den Phasenverschiebungswinkel des Stroms gegenüber der Spannung ϕ, c) die reellen Zeitfunktionen u(t) und i(t), d) die Effektivwertzeiger U und I. Aufgabe 3. (Komplexe Zahlen) Bestimmen Sie die polaren und kartesischen Formen der komplexen Zahlen X und von deren reziproken Werten Y = 1 X. Alle Winkel sind in Einheiten von Radianten anzugeben a) X = 3 + 4j b) X = 3 4j c) X = 2 + exp(jπ) d) X = 1 π 2 ; Das Symbol α bedeutet ejα. e) X = (1 + j f) X = 1+j 1 j ; Es gibt zwei Lösungsansätze: 1.) Erweiterung des Bruchs mit dem konjugiert komplexen Nenner, 2.) Zähler und Nenner in polarkoordinaten darstellen. Lösen Sie das Problem auf beide Weisen. Aufgabe 4. (Harmonische Signale als komplexe Zahlen dargestellt) Geben Sie für die unten stehenden Zeitfunktionen y(t) die Parameter ŷ und ϕ an damit die Gleichung y(t) = ŷ cos(ωt+ϕ) erfüllt ist. Bestimmen Sie ausserdem die entsprechenden komplexen Zahlen y, sodass { y(t) = Re y e jωt} = Re { ŷ e jϕ e jωt}. a) y(t) = 2 cos(ωt + π/3) b) y(t) = 0.5 sin(ωt + π/8)

3 Harmonische Signale und Ihre Darstellung, Elektrizitätslehre 3 3 Aufgabe 5. (Komplexe Zeiger als harmonische Signale darstellen) Bestimmen Sie aus den jeweiligen Angaben der komplexen Effektivwerte die zugehörige reelle Zeitfunktion: Aufgabe 6. (Superposition) Drei Quellen mit sinusförmiger Quellenspannung und gleicher Frequenz sind in Reihe geschaltet. Die Klemmenspannung hat den Effektivwert 10.0 V und den Nullphasenwinkel 15. U q1 = 30 V; ϕ u1 = 30 ; U q2 = 45 V; ϕ u2 = 60 a) Zeichnen Sie ein Zeigerdieagramm mit allen vorkommenden Spannungen b) und bestimmen Sie die Kenngrössen der dritten Quelle.

4 Harmonische Signale und Ihre Darstellung, Elektrizitätslehre 3 4 Aufgabe 7. (Vom komplexen Zeiger zum Zeitsignal) gehörenden reellen Zeitfunktionen? Wie lauten die zu den Zeigern Aufgabe 8. (Superposition) An einem Knotenpunkt sind die Ströme I 1 und I 2 bekannt: I 1 = 5.0 A 0 ; I 2 = 4.2 A 120 ; f = 50 Hz Bestimmen Sie jeweils den unbekannten Strom I 3.

5 Harmonische Signale und Ihre Darstellung, Elektrizitätslehre 3 5 Aufgabe 9. (Mittelwerte) Für die Mittelwerte eines periodischen Signals x(t) gelten die folgenden Berechnungsformeln: Linearer Mittelwert: x = 1 x(t) dt 0 quadratischer Mittelwert, auch Effektiv- oder RMS-Wert (Root Mean Square) genannt: X = x 2 (t) dt 1 0 Die bestimmten Integrale erstrecken sich dabei über je eine Periodendauer. Bestimmen Sie auf analytischem Weg (d. h. in Funktion der gegebenen Parametern) die linearen und quadratischen Mittelwerte der folgenden Signale: a) harmonisches Signal x(t) = ˆx cos(ωt + ϕ). Besteht eine Abhängigkeit des Mittelwertes vom Nullphasenwinkel ϕ? b) harmonisches Signal mit Offset: x(t) = x 0 + ˆx sin(2πft) c) Rechteckpulsfolge x(t) mit Pegelwerten zwischen 0 und A und einer relativen Einschaltzeit ein : x(t) ein A 0 0 t Unter der relativen Einschaltzeit versteht man das Verhältnis der Dauer ein des höheren Signalpegels A zur Periodendauer des Signals. d) Nun soll der lineare Mittelwert des Rechtecksignals vom Rechtecksignal abgezogen werden. Wie gross ist der lineare Mittelwert des neuen Rechtecksignals? Wie gross ist dessen quadratischer Mittelwert?

6 Harmonische Signale und Ihre Darstellung, Elektrizitätslehre 3 6 Lösung 1. a) Die Dauer einer Periode kann aus der Grafik herausgelesen werden. Der Zeitraum [ 10, 0] ms enthält genau eine Periode. Das heisst = 10 ms. Damit gilt für die Frequenz f = 1/ = 100 Hz. Der Zeitpunk t u2 des Spitzenwerts von u 2 (t) der am nächsten bei t = 0 liegt lässt sich per Lineal und Dreisatz bestimmen: t u2 = ms. Gleiches gilt für die Bestimmung von t u1 : t u1 = 1.25 ms. Die Phasenwinkel berechnens sich wie folgt: ϕ u1 = ω t u1 = rad = 45 ϕ u2 = ω t u2 = rad = 30 Die Scheitelwerte der Spannungen sind û 1 = 2 V und û 2 = 0.8 V. b) ϕ u2 ϕ u1 = 75 c) u S (t) = V cos(2πft ) Lösung 2. a) ω = 314 s 1 ; = 20 ms b) ϕ = π/3 c) u(t) = 325 V cos(314 s 1 t π /2); i(t) = 3.48 A cos(314 s 1 t 5π/6) d) U = 230 V π/2; I = 2.46 A 5π/6 Lösung 3. X = 3 + 4j = 5 e j arctan(4/3) = , Y = = j X = 3 4j = 5 e j arctan(4/3) = , Y = = j X = 2 + exp(jπ) = 2 1 = 1, Y = 1 X = 1 π 2 = 1 ej π 2 = j, Y = π 2 = j X = (1 + j = ( 2 π 4 = 2 π 2 = 2j, Y = 0.5 π 2 = 0.5j

7 Harmonische Signale und Ihre Darstellung, Elektrizitätslehre 3 7 X = 1+j 1 j = 2 π 4 2 π 4 = 1 π 2 = j, Y = 1 j = j = 1 π 2 Lösung 4. a) y(t) = 2 cos(ωt + π/3) = ŷ cos(ωt + ϕ), wobei ŷ = 2, ϕ = 4π/3, y = 2 e j 4π 3 b) y(t) = 0.5 sin(ωt + π/8) = ŷ cos(ωt + ϕ), wobei ŷ = 0.5, ϕ = π/8 π/2, y = 0.5 e j 3π 8 Lösung 5. Lösung 6. u q3 = 64.4 V Lösung 7. u(t) = 325 V cos(314 s 1 t) i 1 (t) = 5.66 A cos(314 s 1 t) i 2 (t) = 4.24 A cos(314 s 1 t + 90 ) i(t) = 7.07 A cos(314 s 1 t ) Lösung 8. a) I 3 = 4.65 A 128 b) I 3 = 7.98 A Lösung 9. a) x = 0, X = ˆx 2

8 Harmonische Signale und Ihre Darstellung, Elektrizitätslehre 3 8 b) x = x 0, X = x ˆx2 c) x = A ein, X = A ein d) x = 0, X = A 2 ein ( ) ( 2 A2 ein = A ein ( A ein Die Resultate der letzten drei Aufgaben lassen sich viel schneller finden, wenn man den folgenden Zusammenhang benutzt: Jedes Signal x(t) lässt sich als die Summe seines Gleichanteils x und seines Wechselanteils x(t) darstellen, d.h. x(t) = x + x(t). Die Leistungen des Gleichanteils x und des Wechselanteils x(t) addieren sich zur Gesamtleistung P (x(t)) des Signals: ( P (x(t)) = RMS(x(t)) ( ( = RMS( x) + RMS( x(t)) ( = x 2 + RMS( x(t)) Eine Verallgemeinerung dieses Zusammenhangs auf Wechselanteile mit unterschiedlichen Frequenzen lernen Sie im Kurs Signale und Systeme als den Satz von Parseval kennen.