Serie 5 Musterlösung

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1 Serie 5 Musterlösung Lineare Algebra Klasse: 1Ea, 1Eb, 1Sb Datum: HS Winkelfrequenz, Periodendauer 5IYBKE Berechnen Sie die fehlenden Grössen. (a) T = 4π (b) ω = (c) T = π/ (d) ω = π (e) T = 10 (f) ω = π 4 (g) T = 1 (h) ω = 10 Wir benutzen ω = T und berechnen damit (a) ω = 1 (b) T = π (c) ω = 6 (d) T = (e) ω = π 5 (f) T = 8 (g) ω = (h) T = π 5. Oberschwingungen 15H4TP Bestimmen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache der Periodenlängen. Geben Sie dann die entsprechende Grundfrequenz ω 0 an sowie die Indices der angegebenen Oberschwingungen. (a) T 1 = 4, T = 1 (b) T 1 = 1, T = (c) T 1 = 9, T = 6 (d) T 1 =, T = 4 (e) T 1 = 5π, T = 5π (f) T 1 = 7π, T = 5π (a) Das kgv ist T 0 = 4. Die Grundfrequenz ist ω 0 = angegebenen Schwingungen sind Also sind die Indices 1 und 4. ω 1 = 4 = 1ω 0, ω = 1 = 4 π 1 4 = π 1 = 4ω 0. Die Frequenzen der

2 (b) Das kgv ist T 0 = 1. Die Grundfrequenz ist ω 0 = angegebenen Schwingungen sind Also sind die Indices 1 und 4. ω 1 = 1 = 1ω 0, ω = = 4 π 6 (c) Das kgv ist T 0 = 18. Die Grundfrequenz ist ω 0 = angegebenen Schwingungen sind Also sind die Indices und. 1 = π 6 = 4ω 0 18 = π 9 ω 1 = 9 = ω 0, ω = 6 = / π 9 (d) Das kgv ist T 0 = 1. Die Grundfrequenz ist ω 0 = angegebenen Schwingungen sind 1 = π 6. Die Frequenzen der. Die Frequenzen der = ω 0. Die Frequenzen der Also sind die Indices 4 und. ω 1 = = 4ω 0, ω = 4 = ω 0 (e) Das kgv ist T 0 = 5 π. Die Grundfrequenz ist ω 0 = der angegebenen Schwingungen sind Also sind die Indices 1 und 5. ω 1 = 5π = 1ω 0, ω = 5π = 5ω 0 (f) Das kgv ist T 0 = 5 π. Die Grundfrequenz ist ω 0 = der angegebenen Schwingungen sind Also sind die Indices 5 und 7. ω 1 = 7π = 5ω 0, ω = 5π = 7ω 0 = 5π 5 = 5π 5. Die Frequenzen. Die Frequenzen. Trigonometrische Funktionen zeichnen 4HG9L9 Zeichnen Sie ohne elektronische Hilfsmittel den Graphen der folgenden Funktionen. Zeichnen Sie für jeden Graph den Phasenwinkel ϕ, Amplitude A und Periode T ein. (a) f() = sin() (c) f() = sin ( ) (b) f() = cos() (d) f() = cos ( π 4 ) Seite / 8

3 (e) f() = cos( ) (f) f() = sin( π/) (g) f() = sin ( ) (h) f() = cos ( ) 4 (i) f() = sin ( ) π 4 (j) f() = 5 cos ( π ) (k) f() = cos ( + ) 5 (l) f() = sin ( π 1) 4 Achtung bei Funktionen, die eine Verschiebung wie auch eine Winkelfrequenz enthalten: (d) f() = cos ( ) ( π 4 = cos ( π )). Die Funktion wird zu = π verschoben 8 8 und dann gestaucht mit ω =. (i) f() = sin ( ) ( π 4 = sin 1 ( π)). Die Funktion wird zu = π verschoben und dann gestreckt mit ω = 1. (j) f() = 5 cos ( π ) = 5 cos ( π ( )). Die Funktion wird zu = 4 π π verschoben und dann gestaucht mit ω = π. (+ 5 (k) f() = cos ( +) = cos ( )). Die Funktion wird zu = verschoben und dann gestaucht mit ω =. 5 (l) f() = sin ( π 1) = sin ( π ( ) 4 4 π. Die Funktion wird zu = π verschoben und dann gestaucht mit ω = π. a) φ=0 b) 0.4 T= c) 1 0. () () 0-1 A = -0. T= -0.4 A =1/ φ=0 - φ'=π/8 d) 1.0 e) T= f) -1.5 () 1.0 T=4π - A =1 φ=0 1.0 φ=π/ () - A =1 T=π () A = 1 φ=0 A =1 T= -.0 () 1.0 h) 1.0 g) φ=0 i) T=4 () j) () A =1 T= A =5 φ'=4/π T = 4 () A =1 - φ=0 k) -1.5 () -.0 φ'=15/() -.5 A =1 T=5 -.0 () l) () A =1 A =/4 T=4π φ'=π/ φ'=/π T=6 Seite / 8

4 4. Überlagerung gleichfrequenter cos / sin Schwingungen SXWHB9 Bestimmen Sie Winkelfrequenz, Phasenwinkel und Amplitude der Superposition. (a) f(t) = 5 cos(t) + 5 sin(t) (b) f(t) = cos(18t) sin(18t) (c) f(t) = cos(10t) + sin(10t) (d) f(t) =.6588 cos(7t) sin(7t) Wir schreiben die Überlagerung als f(t) = a cos(ω t) + b sin(ω t) und benutzen für die Frequenz f = ω, für die Amplitude A = a + b und für die Phase ϕ = arctan(a/b). Dann gilt f(t) = A sin(ω t + ϕ) (a) Wir lesen aus ω = 1 (f = 1 ) und erhalten A = 75+5 = 5 und ϕ = 4 arctan( 5 ) = π. Also 5 f(t) = 5 sin(1 t + π ) (b) Wir lesen aus ω = 18 (f = 9 π )und erhalten A = (1.766) + (.4705) = und ϕ = arctan( ) π 5. Also f(t) = sin(18 t + π 5 ) (c) Wir lesen aus ω = 10 (f = 5 )und erhalten A = 1 π + = und ϕ = arctan( 1 ) = π. Also 6 f(t) = sin(10 t + π 6 ) (d) Wir lesen aus ω = 7 (f = 7 )und erhalten A = (.6588) + (.1611) = 4 und ϕ = arctan(.6588 ) 1. Also.1611 f(t) = 4 sin(7 t + 1) 5. Überlagerung gleichfrequenter cos / sin Schwingungen Z4DX95 Zerlegen Sie die Schwingung in gleichfrequente cos / sin Schwingungen f(t) = a cos(ω t) + b sin(ω t). (a) f(t) = 41 sin(t ) (b) f(t) = 5 sin(4t ) (c) f(t) = 5 sin(5t + π ) (d) f(t) = 74 sin(t ) Wir benutzen a = A sin(ϕ) und b = A cos(ϕ). Seite 4 / 8

5 (a) Wir berechnen b = 41 cos( ) = 5 und a = sin( ) 5 = 4. Also f(t) = 4 cos(1 t) + 5 sin(1 t) (b) Wir berechnen b = 5 cos( ) = 1 und a = sin( ) 1 =. Also f(t) = cos(4 t) + 1 sin(4 t) (c) Wir berechnen b = 5 cos( π ) = 0 und a = 5 sin( π ) = 5 f(t) = 5 cos(5 t) + 0 (d) Wir berechnen b = 74 cos( ) = 5 und a = sin( ) 1 = 7. Also f(t) = 7 cos( t) + 5 sin( t) 6. Von Polarkoordinaten zu kartesischen Koordinaten EQTD97 Berechnen Sie die kartesischen Koordinaten der Vektoren im angegebenen Koordinaten- Sstem a) v = c) v = d) b) v =5 6 v =4 7 Wir benützen ( v v ) = r ( ) cos(ϕ) sin(ϕ) Dafür messen wir den Dreh-Winkel im Gegenuhrzeigersinn von der -Achse aus. (a) r =, ϕ = 15 ( ) v = v ( ).1.1 Seite 5 / 8

6 (b) r = 5, ϕ = 7 ( ) ( ) v 1.55 = v 4.76 (c) r = 9, ϕ = = 55 ( ) v = v ( ) (d) r = 4, ϕ = = 16 ( ) v = v ( ) Polarkoordinaten, kartesische Koordinaten HDJZ6 Berechnen Sie die fehlenden Grössen. a) c) v =? v =-1 v = 5 v =-8 v =17?? v =? d) b) v =-4?? v =? v = -40 v = 9 v =5 v =? (a) Wir berechnen den Winkel ϕ = arctan ( 5/( 1) ) = Da der Vektor im. Quadranten liegt, gilt ϕ = ϕ + π = Die Länge des Vektors ist v = = 1 (b) Wir berechnen den spitzen Winkel zwischen -Achse und v: ϕ = arccos(4/5) = Der blau eingezeichnete Winkel ist dann α = ( π ϕ) = Und es ergibt sich v = cos(α) 5 = (c) Wir berechnen den spitzen Winkel zwischen -Komponente des Vektors v und dem Vektor v: ϕ = arccos(8/17) = Das ist der Stufenwinkel zum blau eingezeichnete Winkel, also dann α = Die Länge der Komponente ist v = sin( ) 17 = 15. Aus der Skizze schliessen wir v = 15. Seite 6 / 8

7 (d) Wir berechnen den Winkel ϕ = arctan ( 9/( 40) ) = Da der Vektor im. Quadranten liegt, gilt ϕ = ϕ + π =.90. Die Länge des Vektors ist v = = Bogenmass 9788 Berechne die fehlenden Einträge im Bogenmass oder im Winkelmass α. α π 10 5π 7π 9. Bogenmass 51 Berechne die Bogenlänge s. 8π 5π 18 s 1 / 7π/18 s r=6cm r=1cm Hier sind [in cm]: und Die Bogenlänge berechnen wir aus dem Anteil am ganzen Kreis, d.h. s = r s 1 = 6 / s = 1 7π/18 = 4π = 7π Bogenmass Berechne die Fläche des Kreissektors A. A 1 A 5π/6 5π/9 r=4cm r=10cm Seite 7 / 8

8 Die Fläche des Kreissektors berechnen wir aus dem Anteil am ganzen Kreis, d.h. A = π r Hier sind [in cm ]: A 1 = π 4 5π/9 = 40π und A = π 10 5π/6 = 15π Seite 8 / 8