Harmonische Schwingungen und komplexe Zeiger

Transkript

1 Harmonische Schwingungen und komplexe Zeiger Eine harmonische Schwingung wird durch eine allgemeine sinusartige Funktion beschrieben (Grafik siehe unten: y = y (t = sin (ω t + ϕ Dabei ist die mplitude, ω die Winkelgeschwindigkeit (oder: Kreisfrequenz und ϕ ist der Phasenwinkel. Eine solche harmonische Schwingung lässt sich durch einen rotierenden Zeiger modellieren. Der Zeiger ist im Nullpunkt eines kartesischen x-y-koordinatensystems befestigt. Er hat die Länge und rotiert mit Winkelgeschwindigkeit ω. Der Phasenwinkel ϕ gibt die Winkelposition des Zeigers in Bezug auf die positive x-chse zum Zeitpunkt t = 0 an. Die vertikale (d.h. die y- Koordinate dieses Zeigers ist dann durch die obige allgemeine sinusartige Funktion gegeben. Zur Erinnerung hier die Grafiken: Zeitpunkt t y sin ( ωt+ ϕ ωt+ ϕ Zeitpunkt 0 ϕ sin ( ϕ x T = 1 f = 2π ω ϕ ω Zeit t Diesen rotierenden Zeiger fassen wir jetzt als einen Zeiger auf, der in der komplexen Zahlenebene rotiert, und dessen von der Zeit t abhängige Position wir mit z (t bezeichen.

2 ω j. sin( φ+ω t z(t φ+ω t cos( φ+ω t Die allgemeine sinusartige Funktion ist dann der Imaginärteil dieses Zeigers: Der Zeiger selber ist gegeben durch Im (z (t = sin (ωt + ϕ z = z (t = (ωt + ϕ = (cos (ωt + ϕ + j sin (ωt + ϕ = e j(ωt+ϕ = e jϕ e jωt wobei die letzte Zeile den Zeiger beschreibt als ein Produkt von e jϕ mit e jωt. Der erste Faktor e jϕ = ϕ ist selbst ein komplexer Zeiger, der jedoch unabhängig ist von der Zeit t, also nicht rotiert. Es handelt sich um die nfangsposition unseres rotie-renden Zeigers: Länge und rgument ϕ. Dieser Zeiger wird auch komplexe mplitude von z = z (t genannt und dann mit bezeichnet. z = ϕ Bei dem zweiten Faktor e jωt handelt es sich um einen mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotierenden Einheitszeiger (ohne Phasen-Verschiebung. Er spielt hier sozusagen die Rolle eines ntriebsmotors. Merke: Komplexe mplitude = reelle mplitude und Phase

3 Komplexe Version einer harmonischen Schwingung (mit Kreisfrequenz ω, reeller mplitude und Phasenwinkel ϕ z = z (t = e j(ωt+ϕ = z e jωt mit der komplexen mplitude (Zeigerposition bei t = 0 z = e jϕ = ϕ und einem mit Winkelgeschwindigkeit ω rotierenden Einheitszeiger e jωt = 1 ωt Die reelle harmonische Schwingung ergibt sich dann als Imaginärteil a y = sin (ωt + ϕ = Im (z a Manche utoren ziehen es vor, harmonische Schwingungen durch cos (ωt + ϕ zu beschreiben. Dann nimmt man eben jeweils den Realteil: Re (z. Superpositions-Theorem für harmonische Schwingungen gleicher Frequenz: Die Summe der harmonischen Schwingungen y 1 = 1 sin (ω t + ϕ 1 und y 2 = 2 sin (ω t + ϕ 2 gleicher Frequenz ist wieder eine harmonische Schwingung y = y 1 + y 2 = sin (ω t + ϕ derselben Frequenz mit resultierender mplitude = und resultierendem Phasenwinkel ϕ, wobei cos (ϕ 2 ϕ 1 tan (ϕ = y 1 + y 2 x 1 + x 2 = 1 sin (ϕ sin (ϕ 2 1 cos (ϕ cos (ϕ 2 Die Verwendung komplexer Zeiger macht diesen Sachverhalt jetzt wesentlich einfacher und übersichtlicher: Überlagerung gleich-frequenter harmonischer Schwingungen Die Summe zweier harmonischer Schwingungen gleicher Frequenz mit komplexen mplituden z 1 = 1 ϕ 1 und z 2 = 2 ϕ 2 ist wieder eine harmonische Schwingung derselben Frequenz mit komplexer mplitude z = ϕ = z 1 + z 2 Um die Schwingungen zu überlagern muss man also einfach nur zwei komplexe Zahlen die beiden komplexen mplituden nämlich addieren! Überlagerung (ddition von Signalen ist eine von drei Operationen, die ein sogenannter linearer Filter durchführen kann. Hinzu kommen noch Skalierung (Verstärkung oder Dämpfung um konstante Faktoren und schließlich Verzögerung um eine Zeitspanne. lle diese Operationen lassen sich mithilfe komplexer mplituden sehr elegant und effizient darstellen und berechnen.

4 Linearer Filter oder LTI-System Ein linearer Filter oder auch LTI-System ( linear time invariant ist ein System a mit einem oder mehreren Eingangs-Signalen y 1... y n und einem (oder auch mehreren usgangs-signalen y, der (bzw. den System-Reaktion(en. y 1 y n. LTI System y Das usgangs-signal y entsteht aus den Eingangs-Signalen y 1... y n durch folgende Grundoperationen (möglicherweise mehrstufig miteinander kombiniert: ddition (Überlagerung, Superposition Skalierung (Verstärkung oder Dämpfung um einen gegebenen Faktor Verzögerung Sind alle Eingangs-Signale harmonische Schwingungen gleicher Frequenz, so ist die System-ntwort eines LTI-Systems stets auch wieder eine harmonische Schwingung derselben Frequenz. Beispiel a Das spielt nicht nur in Nachrichtentechnik und Signalverarbeitung eine Rolle. LTI-Systeme sind wichtige Modelle in allen Bereichen der Ingenieurwissenschaften. Eingangssignale können ebensogut z.b. auf ein Bauteil einwirkende Kräfte sein oder... Gegeben ein LTI-System mit zwei Eingängen y 1 und y 2, das Folgendes bewirkt: 1. y 1 wird um 1 der Schwingungsperiode verzögert und um 100% verstärkt y 2 wird um 1 der Schwingungsperiode verzögert und um 0% verstärkt. 3. y ist die Differenz der Resultate von 1. und 2. ngenommen, y 1 = 3 sin (ωt und y 2 = 2 sin (ωt, welches usgangs-signal ergibt sich? Zur Illustration soll die Rechnung hier zweimal durchgeführt werden: einmal im Zeitbereich, d.h. unmittelbar mit den reellen sinusartigen Signalen, und dann noch einmal unter Verwendung komplexer mplituden. Rechnung im Zeitbereich: Die Periode einer harmonischen Schwingung ist T = 1 = 2π. f ω Das Signal y 1 wird also um die Zeitspanne t 1 = T = π verzögert mit dem Ergebnis 10 ω 3 sin (ω (t t 1 = 3 sin ( ωt π Das Signal wird außerdem noch um 100% d.h. um den Faktor 2 verstärkt. Das Ergebnis von Teilschritt 1 ist dann das Signal y 1 = 6 sin ( ωt π Das Signal y 2 wird um die Zeitspanne t 2 = T = 2π verzögert: ω 2 sin (ω (t t 2 = 2 sin ( ωt 2π und um 0% also um den Faktor 1, verstärkt. Es ergibt sich das Signal y 2 = 3 sin ( ωt 2π

5 Schließlich müssen wir noch die Differenz berechnen y = y 1 y 2. Das geht mit dem Superpositions-Theorem. Wir haben y 1 = 1 sin (ωt + ϕ 1 und y 2 = 2 sin (ωt + ϕ 2 mit 1 = 6, ϕ 1 = π, 2 = 3 (wir wollen ja die Differenz berechnen und ϕ 2 = 2π. Wir erhalten als resultierende mplitude = (6 2 + ( (6 ( 3 cos ( 2π π. = 3, 98 und für den resultierenden Phasenwinkel im Bogenmaß ( ( 6 sin π ( 3 sin 2π ϕ = arctan 6 cos ( ( π 3 cos 2π. = 0, 17 Ergebnis: y. = 3, 98 sin (ωt 0, 17 Rechnung mit komplexen mplituden: Die komplexe mplitude des Signals y 1 ist ỹ 1 = 3 0. Das Signal um 1 1 Periode zu verzögern, bedeutet, diesen Zeiger um d.h. um 2π = π zurückzustellen : 10 3 π eines Vollwinkels, Das Signal um den Faktor 2 zu verstärken, heißt die komplexe mplitude mit 2 zu multiplizieren. Ergebnis von Schritt 1: ỹ 1 = 6 π Die komplexe mplitude des Signals y 2 ist ỹ 2 = 2 0. Verzögert um 1 Periode haben wir 2 2π und um den Faktor 1, verstärkt: ỹ 2 = 3 2π Die komplexe mplitude des Differenz-Signals ist einfach Es ist in kartesischer Form lso ist die Differenz ỹ = ỹ 1 ỹ 2 ỹ 1 = 6 π. = 4, , 2671j ỹ 2 = 3 2π. = 0, , 8317j ỹ = 3, , 6734j und, wenn wir das wieder in Polar-Form umwandeln: ỹ. = 3, 98 0, 17 Ergebnis auch hier: y. = 3, 98 sin (ωt 0, 17