Formelsammlung GET 2

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1 Formelsammlung GET Dr. Oliver Haas. September 06 Inhaltsverzeichnis Formelzeichen und Einheiten 3 Zehnerpotenzen und Vorsatzzeichen 3 3 Magnetisches Feld 4 3. Permeabilität Kraft auf Strom durchflossene Leiter Lorentz-Kraft Das Gesetz von Biot-Savart Magnetische Flussdichte Magnetische Feldstärke, Durchflutung Magnetischer Fluss Magnetischer Kreis Induktivität Wicklungssinn, Stromfluss und magnetische Kopplung Magnetische Energie Induktionsgesetz Maxwellsche Gleichungen 8 5 Wechselstromrechnung 8 5. Zeitabhängige Funktionen Methode der komplexen Amplituden Kirchhoffsche Gesetze für komplexe Ströme und Spannungen Ohmsches Gesetz im Wechselstromkreis Reihen- und Parallelschaltung Impedanz, Admittanz von Widerstand, Kondensator und Spule Resonanzfrequenzen Grenzfrequenz Leistungen im Wechselstromkreis Ortskurven

2 Formelsammlung II A Mathematische Ergänzungen 3 A. Rechenregeln für komplexe Rechnungen A. Sinus- und Cosinus-Funktionen A.3 Alternative Winkel-Berechnung A.4 Kreuzprodukt B Linien- und Flächenelemente 6 B. Linienelemente B. Flächenelemente September 06 Seite von 6 Dr.-Ing. Oliver Haas

3 Formelsammlung II Formelzeichen und Einheiten Größe Formelzeichen Einheitenname Einheitenkürzel Basis-Größen des SI-Systems Länge l Meter m Masse m Kilogramm kg Zeit t Sekunde s Stromstärke I, i Ampere A Temperatur T Kelvin K Abgeleitete Größen Kraft F Newton N bzw. VAs m Leistung P Watt W bzw. VA Arbeit, Energie W Joule J bzw. Ws el. Ladung Q Coulomb C bzw. As el. Spannung U, u Volt V el. Widerstand R Ohm Ω bzw. V A el. Leitwert G Siemens S bzw. A V Kapazität C Farad F bzw. As V Magn. Fluss Φ Weber Wb bzw. Vs Magn. Flussdichte B Tesla T bzw. Vs m Induktivität L Henry H bzw. Vs A Zehnerpotenzen und Vorsatzzeichen Zehnerpotenz Name Vorsatzzeichen 0 4 Yotta Y 0 Zetta Z 0 8 Exa E 0 5 Peta P 0 Tera T 0 9 Giga G 0 6 Mega M 0 3 Kilo k 0 Hekto h 0 Deka da Zehnerpotenz Name Vorsatzzeichen 0 Dezi d 0 Centi c 0 3 Milli m 0 6 Mikro µ 0 9 Nano n 0 Piko p 0 5 Femto f 0 8 Atto a 0 Zepto z 0 4 Yocto y. September 06 Seite 3 von 6 Dr.-Ing. Oliver Haas

4 Formelsammlung II 3 Magnetisches Feld 3. Permeabilität 7 Vs µ = µ 0 µ r, µ 0 = 4π 0 Am µ 0 : magnetische Feldkonstante, µ r : relative Permeabilität. () 3. Kraft auf Strom durchflossene Leiter Für die Kraft zwischen zwei mit Strom durchflossenen Leitern gilt F = µ I I l πϱ, vektoriell über magnetische Flussdichte Fj,k = I j l B(Ik ) () F j,k : Kraftwirkung auf Leiter j, die vom Magnetfeld des Leiters k ausgeübt wird. Vorzeichen der vektoriellen Länge l hängt von der Stromrichtung in Leiter j ab und die Richtung von B wird durch die Stromrichtung in Leiter k vorgegeben. 3.3 Lorentz-Kraft Für die Kraft auf eine Ladung Q, die sich mit der Geschwindigkeit v durch ein Magnetfeld bewegt, gilt F m = Q ( v B). (3) 3.4 Das Gesetz von Biot-Savart Die Grundgleichung des Gesetzes von Biot-Savart lautet: magnetische Feldstärke H = I d s r 0 4π L r H = I 4π L d s r r 3 magnetische Flussdichte B = µ I 4π B = µ I 4π L L d s r 0 r (4) d s r r 3 (5) wobei der Abstandsvektor r definiert wird durch r = R R, mit R: Ortsvektor, der auf den Aufpunkt zeigt (Am Aufpunkt wird H bzw. B ermittelt) R : Ortsvektor des Quellpunktes (Position des Linienelements während der Integration) d s: vektoriellem Linienelement in Richtung des Stromes I. September 06 Seite 4 von 6 Dr.-Ing. Oliver Haas

5 Formelsammlung II 3.5 Magnetische Flussdichte Feldbeschreibung der magnetischen Flussdichte in Zylinder-Koordinaten(ϱ, ϕ, z) Magnetfeld bildet konzentrischen Kreis um den Leiter mit Radius ϱ. Die magnetische Flussdichte B zeigt je nach Stromrichtung in bzw. gegen die Richtung des Einheitsvektors e ϕ B = ±B ϕ e ϕ = ± µi πϱ e ϕ. (6) Feldbeschreibung der magnetischen Flussdichte in kartesischen Koordinaten B(x, y) = ± µi π (y y 0 ) e x + (x x 0 ) e y (x x 0 ) + (y y 0 ) (7) (x 0 ; y 0 ): Leitermittelpunkt, (x; y): Ort an dem das Feld berechnet wird. Wahl des Vorzeichens erfolgt abhängig von der Stromrichtung: : + : Überlagerung magnetischer Felder durch vektorielle Addition B ges = B + B B n. (8) 3.6 Magnetische Feldstärke, Durchflutung Materialgleichung B = µ H, (9) Magnetische Feldstärke eines geraden, zylinderförmigen, mit Strom durchflossenen Leiters (idealisiert) außerhalb: H a (ϱ) = I πϱ innerhalb: H i (ϱ) = Iϱ πr (0) ϱ: Radius der Feldlinie, r: Radius des Leiterquerschnitts, I: Stromstärke. Durchflutungssatz L H d s = A J d A = Θ. () Elektrische Durchflutung N N Windungen: Θ = N I allg. für N Leiter: Θ = I k. (). September 06 Seite 5 von 6 Dr.-Ing. Oliver Haas k=

6 Formelsammlung II 3.7 Magnetischer Fluss Φ = A B d A, Quellenfreiheit: A B d A = 0, (3) Φ: magn. Fluss, B: magnetische Flussdichte, d A: Vektorielles Flächenelement. 3.8 Magnetischer Kreis Unter der Voraussetzung, dass das magn. Feld abschnittsweise konstant und homogen ist, gelten die folgenden Beziehungen Magn. Fluss el. Durchflutung magn. Spannung Φ = B A, Θ = H k l m,k k V m = H l m (4) Magn. Widerstand magn. Leitwert R m = l m µa, Λ = µa Λ = l m R m (5) l m : Feldlinienlänge, µ: Permeabilität, A: Fläche. Ohmsches Gesetz des magnetischen Kreises (Hopkinsches Gesetz) V m = Φ R m, Φ = V m Λ. (6) V m : Magn. Spannung, Φ: magn. Fluss, R m : magn. Widerstand. R m R m R I R I N I 3 R m3 I 3 N I U 0 R 3 U 0 ESB eines magn. Kreises mit Verzweigung Äquivalentes elektrisches Netzwerk 3.9 Induktivität Für zwei Wicklungen i und j gilt Allgemein Eigeninduktivität Gegeninduktivität N i Φ i,j = ±L i,j I j i = j: L i,i = L i, i j: L i,j = L j,i = M. (7) Magn. Fluss durch Wicklung i, i j Φ i = Φ i,i ± Φ i,j Φ i,i : eigener Anteil von i Φ i,j : Anteil von j in i (8) N: Windungszahl, Φ: magn. Fluss, I: Stromstärke, +: positive Kopplung, : negative Kopplung.. September 06 Seite 6 von 6 Dr.-Ing. Oliver Haas

7 Formelsammlung II 3.0 Wicklungssinn, Stromfluss und magnetische Kopplung Wicklungssinn und Stromflussrichtung bestimmen die magnetische Kopplung. I I I I I I Gegensinnige Wicklungen L N N L Negative magnetische Kopplung L N N L N N M I M I I I I I N N a b Zusammenhang zwischen Wicklungssinn, Stromflussrichtung, magnetischer Kopplung und Darstellung im elektrischen Ersatzschaltbild. Die Richtungen der magnetischen Teilflüsse bestimmen die magnetische Kopplung. Bsp. (a) ist negativ, (b) positiv magnetisch gekoppelt. 3. Magnetische Energie Allgemein wird die magnetische Energie berechnet über w m = Be 0 H d B und W m = V 0 Gleichsinnige Wicklungen Positive magnetische Kopplung w m dv. (9) wobei w m die magnetische Energiedichte und W m die magnetische Energie ist. Für den Fall eines homogenen Feldes im betrachteten Volumen V und µ = konst. gilt auch w m = µ B e, w m = µ H e, w m = H e B e, W m = V w m. (0) Energie für eine einfache Spule mit konstanter Eigeninduktivität L W m = L I, W m = NΦ I. () N: Windungszahl, Φ: magn. Fluss, I: Stromstärke. 3. Induktionsgesetz Lenzsche Regel: Die Induktionswirkung ist ihrer Ursache entgegengerichtet. u(t) = N dφ dt. () u: induzierte el. Spannung, N: Windungszahl, Φ: magn. Fluss.. September 06 Seite 7 von 6 Dr.-Ing. Oliver Haas

8 Formelsammlung II 4 Maxwellsche Gleichungen Erste Maxwellsche Gleichung: Ampère-Maxwellsches Durchflutungsgesetz rot H = J + D ( t L, H d s = J ) D + da A t. (3) Zweite Maxwellsche Gleichung: Faradaysches Induktionsgesetz rot E = B t L, B E d s = A t d A. (4) Dritte Maxwellsche Gleichung: Gaußsches magnetisches Gesetz div B = 0, B da = 0. (5) A Vierte Maxwellsche Gleichung: Gaußsches elektrisches Gesetz div D = ρ, D da = ρ dv = Q. (6) A J: Stromdichte, D: elektrische Flussdichte, E: elektr. Feldstärke, ρ: Raumladungsdichte. V 5 Wechselstromrechnung 5. Zeitabhängige Funktionen Periodische Funktionen sind allgemein definiert durch f(t) = f(t + k T ), mit der Periodendauer T und k Z. (7) Definition der Kreisfrequenz ω bei sinusförmigen Funktionen ω = π T, ω = πf, f = T. (8) Beispiel: allgemeine Beschreibung einer Sinusfunktion mit Amplitude â, Kreisfrequenz ω und Nullphasenwinkel ϕ 0 a(t) = â sin(ωt + ϕ 0 ). (9) Mittelwertbildung bei periodischen Funktionen Integration über die Zeit t: Arithmetischer Mittelwert Gleichrichtwert Effektivwert f = T f(t) dt f = T f(t) dt F = T t=0 T t=0 T Integration über den Winkel ωt (Substitution t ωt) f = π f(ωt)dωt f = π f(ωt) dωt F = π ωt=0 π ωt=0 T t=0 f (t) dt (30) π f π (ωt)dωt (3) ωt=0. September 06 Seite 8 von 6 Dr.-Ing. Oliver Haas

9 Formelsammlung II 5. Methode der komplexen Amplituden Methode zur Transformation sinusförmiger Funktionen in den komplexen Frequenzbereich.. Transformation vom reellen Zeitbereich in den komplexen Zeitbereich durch die Abbildungsvorschrift a(t) = â cos(ωt + ϕ a ) a(t) = â e j(ωt+ϕa),. Transformation vom komplexen Zeitbereich in den komplexen, zeitunabhängigen Frequenzbereich durch Multiplikation mit e j ωt a(t) = â e j(ωt+ϕa) â = â e j(ϕa), 3. Berechnung des Netzwerks mit komplexen Größen unter Verwendung der komplexen Amplituden, 4. Rücktransformation vom komplexen, zeitunabhängigen Frequenzbereich in den komplexen Zeitbereich durch Multiplikation mit e j ωt ˆb = ˆb e j(ϕ b ) ˆb(t) = ˆb e j(ωt+ϕ b), 5. Rücktransformation vom komplexen, zeitabhängigen Frequenzbereich in den reellen Zeitbereich durch die Abbildungsvorschrift b(t) = ˆb e j(ωt+ϕ b) b(t) = R{b(t)} = ˆb cos(ωt + ϕ b ). Alternativ werden bei der Berechnung in Schritt 3 statt der komplexen Amplituden auch die komplexen Effektivwerte verwendet: A = â/. 5.3 Kirchhoffsche Gesetze für komplexe Ströme und Spannungen Die Summe aller Ströme in einem einzelnen Knoten ist 0: Die Summe aller Spannungen entlang eines geschlossenen Umlaufs ist 0: n î k = 0, k= bzw. n I k = 0. (3) k= n û k = 0, k= bzw. n U k = 0. (33) k= 5.4 Ohmsches Gesetz im Wechselstromkreis Analog zum Gleichstromkreis gilt Z = u i = û î = û e jϕu î e jϕ I = û î e j(ϕ U ϕ I ) ϕ Z = ϕ U ϕ I (34) mit der komplexen Impedanz Z und ihrem Kehrwert, der komplexen Admittanz Y. Gleiches gilt für die komplexen Effektivwerte Z = U I = U e jϕ U I e jϕ I = U I e j(ϕ U ϕ I ). (35). September 06 Seite 9 von 6 Dr.-Ing. Oliver Haas

10 Formelsammlung II 5.5 Reihen- und Parallelschaltung Reihenschaltung komplexer Impedanzen und Admittanzen Z = k Z k, Y = k Y k. (36) Parallelschaltung komplexer Impedanzen und Admittanzen Y = k Y k, Z = k Z k. (37) 5.6 Impedanz, Admittanz von Widerstand, Kondensator und Spule Ohmscher Widerstand Kondensator, Kapazität Spule, Induktivität u R = R i R u C = j ωc i C, i C = C d dt u C u L = j ωl i L, u L = L d dt i L Z R = R R + j X R = R Z C = R C + j X C = j ωc R R = R R C = 0 R L = 0 X R = 0 X C = ωc Z L = R L + j X L = j ωl X L = ωl Y R = G R + j B R = G Y C = G C + j B C = j ωc Y L = G L + j B L = j ωl G R = G G C = 0 G L = 0 B R = 0 B C = ωc B L = ωl R = X C = X L = G B C B L 5.7 Resonanzfrequenzen 5.7. Phasenresonanz Bei Phasenresonanz verschwindet der Imaginärteil einer komplexen Funktion (hier am Beispiel der Impedanz Z), d. h. es gilt I{Z(ω 0 )} = 0 sowie ϕ Z (ω 0 ) = 0. (38). September 06 Seite 0 von 6 Dr.-Ing. Oliver Haas

11 Formelsammlung II 5.7. Betragsresonanz Bei der Betrags- oder Amplitudenresonanz nimmt der Betrag einer komplexen Funktion (hier am Beispiel der Impedanz Z) einen Extremwert (Minimum oder Maximum) an, d. h. es gilt 5.8 Grenzfrequenz dz(ω) dω = 0. (39) ω=ω0 Die Grenzfrequenz f g oder Grenzkreisfrequenz ω g tritt auf, wenn für die Beträge einer komplexen Funktion gilt Funktionswert bei ω g Maximum der Fkt. = bzw. Funktionswert bei ω g Minimum der Fkt. =. (40) Ist der Extremwert rein reell oder rein imaginär gilt außerdem (Bsp.: beim Reihenresonanzkreis ist Z min = R) R{Z(ω g )} = I{Z(ω g )}, ϕ(ω g ) = arctan(±) = ± π 4. (4) 5.9 Leistungen im Wechselstromkreis Kompl. Scheinleistung: S = U I = P + j Q S = I Z, S = U Y (4) Wirkleistung: P = U I cos(ϕ) P = R{S} = S cos(ϕ) (43) Blindleistung: Q = U I sin(ϕ) Q = I{S} = S sin(ϕ) (44) Einheiten: [S] = VA, [P ] = W, [Q] = VAr. Wichtig: Die Leistung der Quellen ist negativ: S q = U 0 I Ortskurven Ortskurve = Darstellung der Abhängigkeit einer Funktion von einem Parameter in der komplexen Ebene. Die Ortskurve wird beschrieben durch einen komplexen Zeiger, der vom Ursprung auf einen Punkt in der komplexen Ebene zeigt. Durch Variation der abhängigen Größe beschreibt dieser Zeiger eine Kurve in der komplexen Ebene. Beispiele (a) Die Impedanz eines Reihenschwingkreises abhängig von der Kreisfrequenz ω: ( Z(ω) = R + j ωl ), 0 ω <. ωc. September 06 Seite von 6 Dr.-Ing. Oliver Haas

12 Formelsammlung II (b) Die Impedanz eines Reihenschwingkreises abhängig von der Induktivität L: ( Z(L) = R + j ω L ), 0 L L 0. ω C j Im Z ( ) Z j Im Z ( L) L=L 0 Z 0 R = 0 Re 0 R L L=0 Re =0 Ortskurve zu Beispiel a Ortskurve zu Beispiel b Ortskurven-Inversion Regeln für die Inversion am Beispiel der Impedanz Z und der Admittanz Y : Hieraus folgt für die Extremwerte Z = Y = Y e j ϕ Y Z = Y, ϕ Z = ϕ Y. (45) max(z) min(y ) und analog min(z) max(y ). (46) Die Inversion ist winkeltreu, nur das Vorzeichen ändert sich! Hieraus lassen sich die folgenden Regeln ableiten Geraden, die nicht durch den Ursprung gehen, werden zu Kreisen, die durch den Ursprung gehen; Geraden, die durch den Ursprung gehen, bleiben Geraden; Kreise, die durch den Ursprung gehen, werden zu Geraden; Kreise, die nicht durch den Ursprung gehen, bleiben Kreise.. September 06 Seite von 6 Dr.-Ing. Oliver Haas

13 Formelsammlung II A Mathematische Ergänzungen A. Rechenregeln für komplexe Rechnungen Definition: es sei Z eine beliebige komplexe Zahl und Z ihre Konjugiertkomplexe mit dann gilt Z = R + j X = Z e j ϕ Z und Z = R j X = Z e j ϕ Z (47) Z + Z = R{Z} = R, Z Z = j I{Z} = j X, Z Z = Z. (48) Für den Betrag und den Phasenwinkel gilt Z = Z = R + X, ϕ Z = arctan ( ) ( ) I{Z} X = arctan. (49) R{Z} R Multiplikation und Division zweier komplexer Zahlen Z und Z Z Z = Z Z e j(ϕ +ϕ ) = (R + X)(R + X) e j(ϕ +ϕ ), (50) = (R + j X )(R + j X ) = R R X X + j(r X + R X ), (5) Z = Z e j(ϕ ϕ R ) + X = e j(ϕ ϕ ), Z Z R + X (5) = (R + j X ) (R + j X ) = R R + X X + j(r X R X ). R + X (53) A. Sinus- und Cosinus-Funktionen Wichtige Funktionswerte α α (rad) sin α cos α π 6 45 π 4 60 π π 3 3 ( + 6) ( + 6) π π 0 π π π 6 ( + 6) ( 6) π π 0. September 06 Seite 3 von 6 Dr.-Ing. Oliver Haas

14 Formelsammlung II Symmetrien sin( x) = sin x = sin(x + π) (54) cos( x) = cos x (55) Gegenseitiger Zusammenhang ( ) π sin(x) = cos x und ( ) π cos(x) = sin + x. (56) sin x + cos x =, sin x = ( cos x ), cos x = ( + cos x ). + cos x für 0 < x < π sin x = cos x für π < x < π + sin x für 0 < x < π 3π cos x = < x < π sin π x für < x < 3π (57) (58) Ableitungen sin x = cos x (59) cos x = sin x (60) Additionstheoreme sin(x ± y) = sin(x) cos(y) ± cos(x) sin(y) (6) cos(x ± y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) (6) ( ) ( ) x ± y x y sin x ± sin y = sin cos (63) ( ) ( ) x + y x y cos x + cos y = cos cos (64) ( ) ( ) x + y x y cos x cos y = sin sin (65) sin x sin y = [ ] cos(x y) cos(x + y) (66) cos x cos y = [ ] cos(x y) + cos(x + y) (67) sin x cos y = [ ] sin(x y) + sin(x + y) (68) A.3 Alternative Winkel-Berechnung Z = Z e j ϕ, ( ϕ = arctan I{Z} R{Z} + Z ), π < ϕ < π (69). September 06 Seite 4 von 6 Dr.-Ing. Oliver Haas

15 Formelsammlung II A.4 Kreuzprodukt Die formale Berechnung des Kreuzproduktes erfolgt über eine Determinante (Beispiel für kartesische Koordinaten) e x x x v v = e y y y = e x (y z z y ) e y (x z z x ) + e z (x y y x ) e z z z = (y z z y ) e x + (z x x z ) e y + (x y y x ) e z. (70) Fläche zwischen den beiden Vektoren, Richtung der zugehörigen Flächennormalen Rechtsschrauben-Regel v v = A, n = v v A. (7) Drehung nach rechts: Schraube bewegt sich nach unten, Drehung nach links: Schraube bewegt sich nach oben. v A n v A n v v v v A n = v v Wichtige Rechenregeln Anwendung: Koordinatensysteme v 0 = 0 (7) v v = 0 (73) v v = v v (74) v ( v + v 3 ) = ( v v ) + ( v v 3 ) (75) Definition der rechtshändigen Koordinatensysteme über das Kreuzprodukt der Einheitsvektoren e z Kreuzprodukte in Pfeilrichtung: + kartesisch: x, y, z e x, e y, e z e x e y = e z (76) e x e y e z Bsp.: e z e x = e y Zylinder: ϱ, ϕ, z e ϱ, e ϕ, e z e ϱ e ϕ = e z (77) e e Kugel: r, ϑ, ϕ e r, e ϑ, e ϕ e r e ϑ = e ϕ (78) e r e e Bsp.: e ϕ e z = e ϱ Bsp.: e ϑ e ϕ = e r. September 06 Seite 5 von 6 Dr.-Ing. Oliver Haas

16 Formelsammlung II B Linien- und Flächenelemente B. Linienelemente Weg auf Radius r ds = dr (79) Weg auf Kreisbogen ds = r dϕ (80) B. Flächenelemente Rechteck (x, y) da = dx dy (8) Kreisfläche da = ϱ dϕ dϱ (8) Zylindermantel da = ϱ dϕ dz (83) Kugeloberfläche da = r sin ϑ dϕ dϑ (84) z n dz % d da x da % d% % d A Kreis y x % A Zylindermantel y r sin z d r sin d z r da y r da x z r d x y r d da y A Kugel x. September 06 Seite 6 von 6 Dr.-Ing. Oliver Haas