Experimentalphysik 2. Lösung Aufgabenblatt 3

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Ingeborg Hafner
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1 Technische Universität München Fakultät für Physik Ferienkurs Experimentalphysik 2 SS 208 Aufgabenblatt 3 Hagen Übele Maximilian Ries

2 Aufgabe (Leiterrahmen in Feld) Eine kreisförmige Leiterschleife mit der Radius r wird mit der Geschwindigkeit v in ein Magnetfeld mit der Flussdichte B eingetaucht. Bestimmen sie die induzierte Spannung U in Abhängigkeit von der Zeit t, wenn diese zum Zeitpunkt t = 0 in das B Feld eintaucht. Wir betrachten die Lage der Leiterschleife in einem beliebig angenommenen Zeitpunkt t. In diesem Zeitpunkt hat die Leiterschleife den v t zurückgelegt. Für die Höhe der induzierten Spannung u ist die im Magnetfeld wirksame Leiterlänge (l) maßgebend. Das ist der Abstand derjenigen Punkte der Leiterschleife, die gerade in das Magnetfeld eintauchen. Die induzierte Spannung beträgt dabei nach dem Induktionsgesetz U = Blv () Aus der Abbildung erhalten wir durch Anwendung des Satzes von Pythagoras r 2 = (r vt) 2 + ( l ) 2 (2) 2 Stellen wir diese Gleichung nach l um, und setzen wir dann das Ergebnis oben ein, so erhalten wir die gesuchte Spannung als U = 2Bv r 2 (r vt) 2 (3) Im Zeitpunkt t = 2r/v befindet sich die gesamte Leiterschleife im Magnetfeld. Das angegebene Ergebnis gilt somit nur im Zeitbereich 0 t 2r/v. 2

3 Aufgabe 2 (Tiefpass) Der in der Abbildung dargestellte Tiefpass enthält den Wirkwiderstand R = 0kΩ und einen Kondensator mit der Kapazität C = 20 nf. Bei welcher Frequenz f ist die Ausgangspannung U 2 um den Faktor 0 kleiner als die Eingangsspannung U? In der Schaltung gilt nach der Spannungsteilerregel U 2 U = Für den Betrag dieses Quotienten ergibt sich /(iωc) R + (iωc = + RiωC. (4) U 2 U = + (RωC) 2 (5) Wir lösen diese Gleichung nach ω auf und erhalten mit U /U 2 = 0 ω = (U /U 2 ) 2 RC = Ω F = 8, s. (6) Damit beträgt die gesuchte Frequenz f = ω 2π = 8, s 2 π =, 32 khz. (7) 3

4 Aufgabe 3 (Schwingkreis) Der in der Abbildung dargestellte Schwingkreis liegt an einer Spannung U mit veränderbarer Frequenz. Die mit L gekennzeichnete Spule hat die Induktivität L = 5 mh. Die Kapazität C und die Induktivität L 2 sollen gewählt werden, dass bei der Frequenz f = 3,5 khz das Spannungsverhältnis U 2 /U = 0 sein. Geben sie L 2 in Abhängigkeit von C an. Soll im Schwingkreis ein Spannungsverhältnis von U 2 /U = 0 auftreten, so muss die Admittanz der aus L, C und L 2 bestehenden Schaltung (Y) Null sein. Diese Aussage führt zu der Gleichung U = (Z + R)I U 2 = R I (8) U 2 = R U Z + R = 0 (9) Z Y = 0 (0) () Y = jω 2 2 L + jω 2 C + jω 2 L 2 = 0 (2) Wir stellen sie nach L 2 um und erhalten die gesuchte Beziehung. L 2 = ω 2 2 C L (3) 4

5 Aufgabe 4 (Mehrfachfilter) Berechnen Sie für die abgebildete Schaltung die Transmission U 2 / U und I 2 / I bei einer Eingangsspannung U = U 0 cos ωt für L = 0, H, C = 00µF, R= 50 Ω, ω = 300 s. Das Schaltbild lässt sich durch eine Umzeichnung vereinfachen. Dieser Abbildung entnimmt man folgende Größen: 5

6 Z D = iωc + iωl + R (4) Z B = iωc + iωl + Z D (5) Z = iωl + Z B (6) = (7) iωl + iωc + iωl + iωc + iωl + Z D U A = U, I A = U /(iωl), I B = I I A, U B = I B Z B (8) I C = U B /(iωl), I D = I B I C, U D = I D Z D = U 2. (9) I 2 = U D /R, I = U /Z. Einsetzen ergibt: (20) Z = (37, , 9i)Ω, Z = 54, Ω, (2) Z B = (22, 7 35, 4i)Ω, Z B = 42, 0Ω, (22) Z D = (3, 2, 3i)Ω, Z D = 7, 4Ω, (23) U 2 U = 0, 44 I 2 = 0, 448 (24) I (25) Aufgabe 5 (Selbstinduktion) Berechnen Sie die Selbstinduktion pro Meter eines Kabels aus zwei konzentrischen Leiterrohren für Hin und Rückfluss des Stromes, wenn die Rohrradien R und R 2 sind. Wie groß ist die magnetische Energiedichte zwischen den Rohren, wenn der Strom I fließt? R = mm R 2 = 5mm I = 0 A Wir nehmen zuerst an, dass der Abstand R 2 R zwischen den konzentrischen Rohren groß ist gegen die Wanddicke der Rohre. Dann gilt für das Magnetfeld B = µ 0I 2πr für R r R 2. (26) 6

7 Durch eine Rechteckfläche F = a b mit a = R 2 R 4 und b = l parallel zur Rohrachse geht der Fluss φ = µ 0I L 2π R2 a) Die Induktivität pro m Kabellänge ist daher b) Die Energiedichte beträgt Die Energie beträgt dann: R B dr = µ 0I l 2π ln R 2 R (27) ˆL = µ 0 2π ln R 2 R (28) ˆL, = ln 5 H/m = 0, H/m 2π (29) ω(r) = B 2 = µ 0I 2 2 µ 0 8π 2 r 2 (30) W = Die Energie pro Längeneinheit beträgt R2 ωdv = 2πl ω(r)dr (3) R = µ 0I 2 l 4π ln R 2 R = 2 LI2 (32) Ŵ = 2 ˆLI 2 = µ 0I 2 4π ln R 2 R (33) Ŵ =, J/m (34) c) Wenn die Dicke der Wände nicht vernachlässigbar ist, muss man für das Magnetfeld im Innenleiter B(r) = 2 µ 0j r = µ 0I 2πr0 2 r (35) verwenden. Man erhält dann als zusätzlichen Beitrag zur Induktivität pro m Kabellänge: L 2 = µµ 0 8π (36) 7

8 und für die Energie pro Länge: Ŵ = µµ 0I 2 6π (37) Der Beitrag des Außenleiters führt auf ein Integral das durch Reihenentwicklung lösbar ist. Aufgabe 6 (Zuggleis) Die beiden Schienen eines Eisenbahngleises mit der Spurweite l = 435 mm seien voneinander isoliert und mit einem Spannungsmesser verbunden. Welche Spannung U i zeigt das Instrument an, wenn ein Zug mit der Geschwindigkeit v = 00 km h über die Strecke fährt? Verwenden Sie B v = 45 µt als den Betrag der magnetischen Flussdichte der Vertikalkomponente des Erdmagnetfelds. U i = vb v l =,8 mv (38) 8

9 Aufgabe 7 (Wechselstromkreis) Abbildung : Schaltplan zur Aufgabe Wechselstromkreis a) Für den in Abbildung gezeigten Wechselstromkreis ist die Stromstärke I eff, die durch den Strommesser fließt, zu berechnen. Der geringe Innenwiderstand des Messgeräts soll vernachlässigt werden. b) Wie groß ist die Wirkleistung P W? c) Welche Wärme Q wird in einer Minute von diesem Stromkreis an seine Umgebung abgegeben? a) Wir benutzen ω = 2πf. I eff = U eff R 2 + ( ωl ) (39) 2 ωc = 0,88 A (40) 9

10 b) P W = U eff I eff + ( ωl ωc R ) 2 (4) = 70 W (42) c) Q = P W t = 4,2 kj (43) Aufgabe 8 (Rotierende Leiterschleife) Eine rechteckförmige Spule mit der Länge l = 52mm, der Höhe (dem Durchmesser) d = 55mm und N = 00 Windungen wird von der dargestellten Lage aus ( α = 35 ) in einem homogenen Magnetfeld gedreht. Die Drehzahl beträgt n = 50 /s. Die Drehung erfolgt wie in der Abbildung dargestellt - entgegengesetzt dem Uhrzeigersinn. Das Magnetfeld hat die Flussdichte B = 0,2 T. Es ist die in der Spule induzierte Spannung U in Abhängigkeit von der Zeit t zu ermitteln. Bei der Drehzahl n = 50 /s beträgt die Winkelgeschwindigkeit der Spule ω = 2πn = 2 π 50 s = 34 s. (44) Betrachtn wir die Spule in einem beiliebigen Zeitpunkt t, so hat sie nach der Abbildung den Winkel ωt zurückgelegt. In diesem Zeitpunkt verläuft durch die Spule bei der dann wirksamen Spulenfläche A = dl cos(ωt + α) der magnetische Fluss. Φ = BA = Bdl cos(ωt + α). (45) 0

11 Damit beträgt die in die Spule induzierte Spannung nach dem Induktionsgesetz U = N dφ dt = NBdlω[ sin(ωt + α)] (46) Das in dieser Gleichung bei dem Ausdruck N dφ/dt enthaltene negative Vorzeichen rührt daher, dass in der Abbildung die für die Spannung U eingetragene Pfeilrichtung so gewählt wurde, dass sie der Magnetfeldrichtung nach der Rechtsschraubenregel zugeordnet ist. Durch einsetzen der Werte erhält man U = 00 0, 2T m 34 s sin(34 s +35 ); (47) U = 0, 8V sin(34 s +35 ) (48) (49) Die induzierte Spannung halt also einen zeitlich sinusförmigen Verlauf. Aufgabe 9 (Kupfer Kreisscheibe) In einem homogenen Magnetfeld ( Flussdichte B) rotiert eine Kupferscheibe (Radius r 0 ) mit der Winkelgeschwindigkeit ω. Wie groß ist die zwischen den Schleifkontakten gemessene Spannung? Abbildung 2: Schematische Zeichnung der Kreisscheibe und der relevanten Größen

12 Abbildung 3: Verdeutlichung der von r 0 überstrichenen Fläche Geht man vom Induktionsgesetz U i = dφ dt (50) aus, so erklärt sich das Auftreten der induzierten Spannung durch die Änderung der Fläche der Leiterschleife. Diese Fläche vergrößert sich um den Kreissektor, den der auf der Scheibe mitrotierende Radius r 0 überstreicht- Für eine volle Drehung der Scheibe, die in der Umlaufzeit T = 2π ω (5) stattfindet, hat die Änderung des magnetischen Flusses den Betrag Φ = BA (52) mit A = πr 2 0 der Kreisfläche. Wegen der konstanten Umlauffrequenz gilt U i = Φ T = Bπr2 0 ω 2π = Bωr2 0 2 Das negative Vorzeichen spielt hierbei keine Rolle für die Rechnung. (53) 2 Die Beziehung für die im bewegten Leiterstück induzierte Feldstärke E i = v B liefert mit v = ωr zunächst eine von r abhängige Feldstärke Mit U i = r 0 0 E i(r) dr erhalten wir E i = Bωr (54) U i = Bωr2 0 2 (55) 2

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