Ferienkurs Experimentalphysik Übung 4 - Musterlösung

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1 Ferienkurs Experimentalphysik Übung 4 - Musterlösung a) Berechnung mit dem Ampèreschen Gesetz: Mit der Rechten-Hand-Regel ermittelt man die Richtung des Magnetfeldes. Also entlang den Strecken und 4 (s. Abbildung). Die Strecken und tragen aufgrund des Skalarproduktes nichts bei. Es gilt also nach Ampère: B d s = B( z)dy + b(z)dy = b( z) d B(z) d = µ I () 4 Aus Symmetrieüberlegungen folgt B(z) = B( z), die Magnetfelder aber unterschiedlich gerichtet sind. Das heißt: B(z) = µ I d () Der umschlossene Strom ist in dem Fall I = j d. Und damit: B = sgn(z) µ j e y () b) Wir verwenden wieder das Ampèresche Gesetz. Die Stromdichten sind jeweils: inneres Rohr:j = äußeres Rohr:j = I π(r + d) πr I π(r + d) πr (4) (5)

2 Nochmal das Ampèresche Gesetz: B d s = µ I, wobei I der vom Integrationsweg eingeschlossene Strom ist. Das Magnetfeld ist hier wieder kreisförmig um die Achse gerichtet. r < r : πrb = (6) I r r < r + d : πrb = µ (πr πr π(r + d) πr ) (7) r + d r < r : πrb = µ I (8) I r r < r + d : πrb = µ I + µ (πr πr π(r + d) πr ) (9) r + d r < : πrb = () Aufgelöst nach B ergibt sich folgender Verlauf: Die Berechnung lässt sich mithilfe des Superpostionsprinzips ausführen. Die Stromdichte I im grau unterlegten Bereich ist: j g = e πr πa z. Man nimmt nun an, dass diese Stromdichte überall im Leiter (auch im weiß unterlegten Bereich) herrscht. Dieser Strom wird nun gedanklich von einem Strom im weiß unterlegten Bereich überlagert: j w = I e πr πa z. Insgesamt kompensieren sich in der inneren Röhre die beiden Ströme zu Null. Außerdem kann man (wie in Aufgabe berechnet) außerhalb eines Leiters mit kreisförmigem Durchschnitt B = µ I e πr ϕ verwenden (I=eingeschlossener Strom). Die Einheitsvektoren in e ϕ -Richtung sind natürlich für beide Leiterteile unterschiedlich: a) Magnetfeld bei (R,, ), das bedeutet ϕ = : sin ϕ e ϕ,g = cos ϕ () y e ϕ,w = x b () y + (x b)

3 B = µ I R µ I a R b () 4πR R a π(r b) R a (R b) = µ I R µ I a (4) 4πR R a π(r b) R a b) Magnetfeld bei (, R, ), also ϕ = π : B = µ I R µ I 4πR R a π a R b (5) b + 4R R a 4R + b Nach Biot-Savart gilt: B( r) = µ I 4π d s r r.da wir das Magnetfeld im Ursprung suchen, folgt direkt, dass die geraden Leiterstücke nichts zu diesem Feld beitragen können, r r da dort ( r r ) d s ist und das Kreuzprodukt folglich verschwindet. Die Berechnung der Feldstärke, die durch den Halbkreis vervorgerufen wird, ist aber analog zur kreisförmigen Schleife aus der Vorlesung; wir integrieren abschließend lediglich von bis π statt von bis π. Das Feld im Ursprung beträgt also 4 B() = µ I 4R e z (6) Wir legen das Koordinatensystem so, dass die positive z-achse in die Papierebene hineinzeigt, also B = B e z. Die Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld ist gegeben durch: dl ist hier: dl dx r sin ϕdϕ = dy = r cos ϕdϕ Weil das Magnetfeld nur eine z-komonente hat, gilt: d F = I (d L B) (7) df x = I dy B (8) df y = T dx B (9)

4 Um die gesamte Kraft auf den Leiter zu erhalten muss nun noch über den Leiter integriert werden. Er wird dazu über den Azimutalwinkel ϕ parametrisiert. π F x = I B r F y = I B r π cos ϕdϕ = () sin ϕdϕ = r T B () Die Gesamtkraft auf den halbkreisförmigen Leiter ist also F = r I B e y. Das entspricht genau der Kraft, die ein gerader Leiter zwischen den Enden des Halbkreises erfahren würde. 5 Die Kraft auf einen Leiter der Länge L ist gegeben durch F = I( L B) () Der Leiter befindet sich in dem Magnetfeld, das vom anderen Leiter im Abstand a hervorgerufen wird: B = µ I πr e ϕ = µ I 4πa e ϕ () Die Kraft die also Leiter im Magnetfeld des Leiters erfährt ist: F = I ( L µ I 4πa e ϕ,) = µ I I L e z e ϕ, = µ I I L e r, (4) 4πa 4πa Pro Längeneinheit ergibt sich: F = µ I I e r, (5) 4πa Da actio=reactio gilt, ist die Kraft die Leiter im Magnetfeld des Leiters erfährt, genau entgegengesetzt gleich groß: F = µ I I e r, (6) 4πa In dem vorliegenden Fall sind die Ströme parallel, so dass die Kraft zwischen den Leitern wie berechnet anziehend ist. Bei antiparallelen Strömen ist die Kraft abstoßend. 4

5 6 Die 6 Li-Ionen sollen auf der x-achse beschleunigt werden. Das Magnetfeld zeige in positive y-richtung. Dann wirkt auf ein Ion mit der Geschwindigkeit v = v e x die Kraft: F = q( v B) = qvb e z (7) Um das Ion auf der Spur zu halten, muss also ein E-Feld so angelegt werden, dass das Ion in negative z-achse abgelenkt wird. Da q = +e ist E = E e z. Der Betrag des E-Feldes lässt sich über die Kräftegleichgewichtsbedingung bestimmen: qvb = qe (8) E = vb (9) Für die Berechnung der Geschwindigkeit des Teilchens benötigt man die Beschleunigungsspannung U acc, die von dem Ion durchlaufen wird. Mit Energieerhaltung ergibt sich: quacc qu acc = mv () v = m = 5674m/s () Insgesamt ist also: E = 6, 8 5 V/m e z () 7 Der halbe Öffnungswinkel des Kegels sei ϕ, so dass gilt: sin ϕ = R l () Wobei l die Kantenlänge des Kegels ist. Der Strom in einem geladenen Kreisring (Linienladungsdichte λ) mit Radius r, der mit der Geschwindigkeit ω rotiert ist gegeben durch: I = λ r ω (4) 5

6 Um das gesamte magnetische Dipolmoment zu berechnen müssen wir über die infinitesimalen Dipolmomente d p m = di(r) A(r) integrieren. Für di benötigen wir den Zusammenhang zwischen λ und der gegebenen Flächenladungsdichte σ: Also mit Gleichung (): λ = σdl (5) (6) Ingesamt ist das magnetische Dipolmoment gegeben durch: di = σrωdl = σrω dr (7) sin ϕ 8 p m = d p m = = πσωr4 4 sin ϕ R πr σrω sin ϕ dr = a) Der Betrag das Dipolmoments lässt sich einfach über πσω [ ] r 4 R (8) 4 sin ϕ (9) p m = I A = A,, 4m =, 54 Am (4) berechnen. Da Stromrichtung und Flächennormale ein Rechtssystem bilden müssen zeigt das Dipolmoment Richtung y-z-ebene. Die Flächennormale n kann man über sin Θ cos Θ n = e b e a = cos Θ = sin Θ (4) berechnen. Für das Dipolmoment ergibt sich also insgesamt: p m = I A = I A n =, 54 Am (4) b) Für B = B e x mit B = T ist die potentielle Energie 6

7 E pot = p m B =, 54 Am V s/m =, J (4) und das Drehmoment auf die Schleife 9 M = p m B =, 54 Am T =, 77 J e z (44) a) Durch die vereinfachenden Annahmen kann man die Krümmung der Ringspule vernachlässigenund bei der Berechnung des Feldes so tun, als handele es sich um eine gerade zylinderförmige Spule. Dann kann man eine Amperèsche Schleife so legen wie in der Abbildung gezeigt: Das Feld hat die Form: B( r innen ) = B e z (45) B( r außen ) = (46) Mithilfe des Ampèreschen Durchflutungsgesetzes A d r B = µ o A d A j ergibt sich dann für das Magnetfeld im Innenraum der Spule: Bl = µ nli (47) wobei l die Länge der Schleife und n die Anzahl der Wicklungen pro Längeneinheit ist. Also B = µ o ni =, 6 6 kgm/c /m, A =, 6 5 T (48) Im materiefreien Raum ist der Zusammenhang zwischen H und B: H = µ o B. Also ist 7

8 H = ni = A/m (49) b) Wenn sich der Eisenkern in der Spule befindet, dann hat H immer noch denselben Wert wie zuvor, also H = A/m. Der Zusammenhang zwischen H und B im Eisen ist nun allerdings gegeben durch H = µ B M (5) mit der Magnetisierung M. Diese ist zunächst noch unbekannt, allerdings hat man den Zusammenhang zwischen M und H: M = χ m H (5) mit der magnetischen Suszeptibilität χ m des betrachteten Materials. und M = A/m (5) B = µ (H + M) =, 6T (5) 8