Übungsblatt 2. zur Vorlesung EP2 (Prof. Grüner) im SS Mai Aufgabe 1: Feldlinien. Aufgabe 2: Elektrisches Feld einer geladenen Linie

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1 Übungsblatt zur Vorlesung EP (Prof. Grüner) im SS 0 0. Mai 00 Aufgabe : Feldlinien a) Richtig oder falsch? Das elektrische Feld einer Punktladung zeigt immer von der Ladung weg. Falsch! Bei negativen Ladungen zeigen die Feldlinien hin. Alle makroskopishcen Ladungen q können als q = ±ne geschrieben werden, wobei n eine ganze Zahl und e die Ladung des Elektrons ist. Richtig! Elektrische Feldlinien divergieren niemals von einem Raumpunkt. Falsch! Feldlinien divergieren immer von der positiven Ladung. Elektrische Feldlinien kreuzen sich nie in einem Raumpunkt. Richtig! Feldlinien zeigen in die Richtung der Kraft und die muÿ eindeutig sein. Alle Moleküle haben in Gegenwart eines äuÿeren elektrischen Feldes elektrische Dipolmomente. Richtig! b) Zwei gleich groÿe positive Ladungen benden sich in kleinem Abstand voneinander. Skizzieren Sie sowohl die Äquipotentiallinien als auch die Feldlinien. Lösung: Abbildung?? c) ist richtig Aufgabe : Elektrisches Feld einer geladenen Linie Gegeben ist eine geladene Linie mit der konstanten Linienladungsdichte λ und der Länge l, die auf der x-achse liegt. Berechnen Sie die -Komponente des elektrischen Feldes an einem Punkt P der im Abstand d senkrecht über dem Mittelpunkt der Linie liegt.

2 Abbildung : Rot - Equipotentiallinien Lösung: Das Koordinatensstem wird so gewählt, daÿ der Ursprung mit der Mitte der Ladungsverteilung übereinstimmt und die Linienladung selbst auf der x-achse liegt (siehe Abbildung??). Das Feld besitzt eine x- und eine -Komponente allerdings existiert aus Smmetriegründen für jedes rechts des Ursprungs liegende Ladungselement ein entsprechendes Ladungselement links des Ursprungs. Dadurch heben sich die x-komponenten des Feldes de auf. Bei der Berechnung von E (Integration über die Feldelemente de) brauchen daher nur die -Komponenten berücksichtigt werden. Die Stärke des Feldes, das durch ein Ladungselement dq = λdx erzeugt wird, ist: Die -Komponente des Feldes ist: de = dq r = λdx r () de = λdx cosθ () r Das Gesamtfeld E der Linienladung mit der Länge l erhält man durch Integration entlang der Geraden von x = l bis x = + l. Wegen der Smmetrie

3 Abbildung : Skizze zu Aufgabe ) der Ladungsverteilung genügt es, von x = 0 bis x = l zu integrieren und das Resultat zu verdoppeln: E = x=+ l x= l de = x=+ l x=0 de (3) Ersetzt man die Variable x durch Θ, so vereinfacht sich die Integration. Die Ortsvariablen x und hängen mit dem Winkel Θ über x = tanθ (4) zusammen, wobei den Abstand von P zur Linienladung angibt. Wir erhal- 3

4 ten: dx dθ = cos Θ = ( ) r. (5) Der Zuwachs dx steht somit durch dx = r dθ mit dem Zuwachs dθ in Beziehung. Ersetzt man in Gleichung (??) dx durch r dθ, so ist: de = λ cos ΘdΘ. (6) Gleichung (??) ergibt Θ = 0 für x = 0 und Θ = Θ 0 für x = l. Es gilt: tan Θ 0 = l. (7) Integration der Gleichung (??) von Θ = 0 bis Θ = Θ 0 und Verdoppelung des Ergebnisses ergibt die gesamte -Komponente des Feldes: oder E = λ πɛ 0 Θ 0 0 cos ΘdΘ, (8) E = πɛ 0 λ sin Θ 0 = wobei sin Θ 0 mit l und durch: λ πɛ 0 l ( l) +, (9) sin Θ 0 = l ( l) + verknüpft ist. Ist sehr viel gröÿer als l, so ergibt sich als Näherung: (0) sin Θ l und E beträgt dann angenähert: für l, () E λl = Q, () wobei Q = λl die Gesamtladung ist. Wie erwartet, wirkt die endliche Linienladung in groÿer Entfernung wie eine Punktladung. 4

5 Aufgabe 3: Potentielle Energie von Punktladungen Drei Punktladungen der Werte C, C und 3 C benden sich an den Ecken eines gleichseiteigen Dreiecks mit Kantenlänge m. Welche Arbeit muss man aufwenden, um die drei Ladungen zu einem gleichseitigen Dreieck mit halber Kantenlänge zusammenzuschieben? Lösung: Betrachte Ausgangskonguration: Wieviel Energie steckt schon im Sstem? Erste Ladung sei da. Zweite Ladung zur ersten bringen: E pot = F dl E pot, = m Dritte Ladung kommt dazu: C C dr = r ( ) C C m (3) E pot, = = m C 3C dr r ( ) C 3C m m + C 3C dr r (4) ( ) C 3C m (5) E pot,ges = E pot, + E pot, = C /m. (6) Halbe Kantenlänge m wird zu 0.5m Energie verdoppelt sich. Daraus folgt, daÿ nochmals E pot,ges aufgewendet werden muÿ. Besprechung der Aufgaben am 7.05.