ELEKTRISCHER DIPOL (5.1)

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1 @ Kapitel 5 ELEKTRISCHER DIPOL Wegen der Linearität der Poisson leichung, φ = ρ/ɛ gilt das Superpositionsprinip: φ( R) = f c i Q i R r i (5.) Für Ladungen, die im Raum kontinuierlich verteilt sind gilt φ( R) ρ( r) dv = f c V R (5.) r 4 H ist allerdings die Potentialgleichung nur selten analtisch lösbar. In diesem Fall bewährt sich die sogenannte Multipolentwicklung. Der edanke dahinter ist folgender: Ist der Aufpunkt P (R) weit entfernt von der Ladungsverteilung, kann man das Potential in Summanden einfacher Ladungsverteilungen erlegen. Diese beschreiben das Potential eines Monopols (Punktladung), Dipols (Punktladungspaar), Quadrupols (Dipolpaar),.... Ein elektrischer Dipol besteht aus wei entgegengesett gleichen Ladungen Q im Abstand d. Das elektrische Dipolmoment ist definiert als p = Q d (5.3) Aus der Überlagerung des Potentialfeldes der beiden Punktladungen ergibt sich das Dipolpotential 3 3 ( ) φ dipol = f c Q R d/ R + d/ (5.4) wobei die Vektoren R ± d/ von den entsprechenen Ladungen um Aufpunkt eigen. 39

2 4 KAPITEL 5. ELEKTRISCHER DIPOL Das Bild eigt den Potentialverlauf ( die potentielle Energie einer Punktladung ) in der Umgebung der beiden Ladungen ±Q In einer Reihen-Entwicklung für R d erhalten wir R ± d/ = R R d ± R + d 4R Damit ergibt sich für (R d) φ dipol = f c Q R d R 3 = f c R p R 3 R R d ± R ( R d ) R R ±.... = f c p cosθ R (5.5) ein Potential, das in großer Entfernung (R d) mit /R abnimmt. exakt exakt Die Bilder oben eigen die Potentialverteilung nach der exakten leichung 5.4. Die Bilder unten eigen die Potentialverteilung nach der Näherung 5.5. Die beiden Ladungen befinden sich bei den Positionen x = =, = ±. Weit von diesen Positionen (die Bilder rechts) sind die Lösungen von l. 5.4 und l.5.5 praktisch identisch. Näherung : R d Näherung : R d Nabla Operator in Polarkoordinaten Zur Berechnung des Feldstärkeverlaufs aus leichung 5.5 brauchen wir den Na-

3 4 bla Operator in Polarkoordinaten. Der Nabla in kartesischen Koordinaten ist { } = ê x x, ê, ê (5.6) In einer beliebigen orthonormalen Basis gilt: ê ê =ê 3, ê ê 3 =ê, ê 3 ê =ê. Die Einheitsvektoren in Polarkoordinaten sind in kartesischer Basis: ê R = { sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ } radial (5.7) ê θ = { cos θ cos ϕ, cos θ sin ϕ, sin θ } tangential an Längenkreis (5.8) ê ϕ = { sin ϕ, cos ϕ, } tangential an Breitenkreis (5.9) Den Differentialoperator in Polarkoordinaten erhalten wir indem wir uns infinitesimale Reisen auf einer (Erd)Kugel überlegen: R sin d dr R d nach Osten ändert sich nur ϕ, der Weg = R sin θ dϕ nach Süden ändert sich nur θ, der Weg = R dθ d d nach Oben ändert sich nur R, der Weg = dr x Damit wird Nabla in Polarkoordinaten: { = ê R R, ê θ R θ, ê ϕ R sin θ } ϕ (5.) Mit diesem Ausdruck berechnen wir die Feldstärke in Polarkoordinaten: { } E = φ dipol = R, R θ, φ dipol (5.) R sin θ ϕ wobei wir die Dipolachse entlang der -Achse ( p ) legen. Verwenden wir den Ausdruck (5.5) für das Dipolpotential, ergibt sich eine Rotationssmmetrie des Feldes um mit den Feldkomponenten E R = f c p cosθ R 3 (5.) E θ = f c p sinθ R 3 (5.3) E ϕ = (5.4)

4 KAPITEL 5. ELEKTRISCHER DIPOL Potentielle Energie des Dipols im externen Feld Ein äußeres elektrisches Feld sei durch die Potentialwerte φ und φ an den Orten der beiden Dipolladungen charakterisiert. Die potentielle Energie des Dipols in diesem Feld ist W pot = Q(φ φ ) = Q d φ = p E (5.5) W pot ist Null, wenn p E liegt. W pot ist ein Minimum für p E. W pot ist ein Maximum für p E. B B Kräfte auf einen Dipol im externen Feld Im Feld sind die Kräfte auf die Einelladungen des Dipols F = +Q E und F = Q E.. Im homogenen Feld sind die Feldstärken gleich, E = E = E, die resultierende Kraft ist gleich Null, aber ein Drehmoment wirkt auf den Dipol D = p E Im inhomogenen Feld ist die resultierende Kraft F + F [ ] = Q E( r + d) E( r). = p d E d r wobei F x = Q [ E x + Ex ] = p grad Ex F = Q [. E + E ] = p grad E F = Q [ E + E ] = p grad E Dabei stellt d E/d r den Vektorgradienten dar. Im inhomogenen Feld erfährt der

5 @ = MOLEKULARE DIPOLE 43 Dipol ein Drehmoment und eine Kraft in Richtung wachsender Feldstärke. E x F x = p grad E x = p x x + p E x + p E x E F = p grad E = p x x + p E + p E E F = p grad E = p x x + p E + p E Elektrischer Quadrupol Vier Monopole mit der esamtladung Null stellt man als eine Überlagerung weier Dipole dar φ = φ dipol ( R + a/) φ dipol ( R a/) Quadupolbeiträge und Beiträge höherer Ordnung verwendet man als Maß für die Abweichung einer Ladungsverteilung von der Kugelsmmetrie. 5. Molekulare Dipole Moleküle mit permanentem Dipolmoment,.B. H O werden im Feld ausgerichtet. Dabei entsteht eine makroskopische Polarisation (Orientierungspolarisation). Anwendung.B. im geielten Aussortieren von Wassertröpfchen. (Sortieren von Zellen, Chromosomen, die mit Farbstoff gelabelt und daher optisch erkennbar sind, und die stark verdünnt sich auif einelne Tropfen verteilen. Unpolare Moleküle,.B. CO tragen kein permanentes Dipolmoment, aber in ihnen wird in einem äußeren Feld ein Dipolmoment induiert. Ein weiters Beispiel für induiertes Dipolmoment wäre ein O-Atom, das einem H + begegnet. Die Kraft des Feldes von H + auf das induierte Dipolmoment im neutralen O- Atom ist beobachtbar. Das induierte Dipolmoment in einem einelnen Atom beschreiben wir über die Polarisierbarkeit α mit p = α E. Liegt das Feld entlang, dann wandern die Ladungsschwerpunkte um den Betrag auseinander, sodass p = q.

6 44 KAPITEL 5. ELEKTRISCHER DIPOL 5. Methode der Bildladungen Wir betrachten das Feld eines Dipols ( Punktladungen mit q = q ). Wir wählen eine Äquipotentialfläche und belegen diese mit einer dünnen, leitenden Schicht. Nichts ändert sich am Bild der Feldlinienverteilung! Aber wir haben mit diesem gedanklichen Ansat ein neues Problem der Elektrostatik gelöst. Wie sieht das Feld wischen einer Punktladung und dieser leitenden Schicht aus? Im Fall des Dipols ist diese leitende Schicht eine hperbolische Oberfläche. Links (oder rechts) vom Leiter können wir das Volumen mit einem Leiter oder einem Isolator füllen, es ändert nichts an der Verteilung des Feldes im rechten (bw. linken) Raum. Das Feld ist so, als ob eine Bildladung entgegengesetten Voreichens hinter der Leiterfläche läge, in einem Abstand, so dass die Feldlinien senkrecht in die Leiteroberfläche münden. Warum verschwindet die Tangentialkomponente des E-Feldes an der Oberfläche im statischen Fall? Sonst würde ein Strom fließen, bis sich die Ladungen im Leiter so verteilt haben, dass die Tangentialkomponente verschwindet.