2 Das elektrostatische Feld

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1 Das elektrostatische Feld Das elektrostatische Feld wird durch ruhende elektrische Ladungen verursacht, d.h. es fließt kein Strom. Auf die ruhenden Ladungen wirken Coulomb-Kräfte, die über das Coulombsche Gesetz nach Gl. (1.1) beschrieben werden: 1 Q1 Q r 4πε r r 1 F Die Ladungen Q 1 und Q sind sog. Punktladungen mit einer infinitesimal kleinen räumlichen Ausdehnung. Elektrische Feldlinien einer positiven Punktladung zeigen radial von ihr weg, elektrische Feldlinien einer negativen Punktladung zeigen radial zu ihr hin. Bsp..1: Drei Punktladungen liegen auf der x-achse: Q 1 5nC liegt im Ursprung, Q -10nC liegt bei x m und Q 0 0nC befindet sich bei x 3,5m. Berechnen Sie die gesamte auf Q 0 einwirkende Kraft. y/m Q -10nC x/m Q 1 +5nC Q 0 +0nC Lösung: Kraft F 10, die Q 1 auf Q 0 ausübt: F 10 1 Q Q r 0,367µN e 4πε r10 r10 x 1

2 e x r r ist der Einheitsvektor in x-richtung Kraft F 0, die Q auf Q 0 ausübt: F 0 1 Q Q r 7,99µN e 4πε r0 r0 Durch Superposition ergibt sich die resultierende Kraft auf Q 0 : F ges F10 + F 0 0,43µN e x x

3 .1 Definition der elektrischen Feldstärke Der Begriff der elektrischen Feldstärke leitet sich aus dem Coulombschen Gesetz ab. Man definiert: Q F Q e Q E 1 r 4πε 0 r E (.1) Der Punktladung Q 1 am Ort r 0 wird ein Feld zugeordnet, das radial von ihr ausgeht und mit 1/r² abnimmt. Dieses elektrische Feld hat eine zu Q proportionale Kraft F zur Folge. Die Kraft auf eine Punktladung im elektrischen Feld beträgt allgemein (unabhängig davon, wie die Feldstärke E verursacht wurde): F Q E ; [ E] V m (.) Felder werden mittels Feldlinien visualisiert. Zur Darstellung eines Feldes zeichnet man Linien, deren Richtung in jedem Punkt der Kraftrichtung entspricht, die auf eine positive Punktladung ausgeübt würde. Die Dichte der Feldlinien ist dabei ein Maß für den Betrag der Feldstärke. Das elektrostatische Feld ist ein Quellenfeld. Elektrische Feldlinien beginnen und enden immer auf elektrischen Ladungen. Die positive Richtung der Feldlinien ist so definiert, dass sie von positiven Ladungen ausgehen und auf negativen Ladungen enden. 3

4 Bsp..: Gegeben ist ein System von 4 Punktladungen Q 1 bis Q 4 in einer quadratischen Anordnung mit Q 1 <Q <Q 3. Gesucht ist die elektrische Feldstärke E ges im Punkt A sowie die Kraft F auf die Ladung Q 4. a Q a Q 3 a Q 1 Q 4 A E 1 ϕ x E E E 3 y E ges E 3 Lösung mittels Vektorrechnung, d.h. Aufteilung des Feldstärkevektors in eine x- und y-komponente: E1 x 0 x E E1x + Ex Eges E1 + E + E E E E + E F Q E 4 ges y 3y y 3y 4

5 .4 Kondensator und Kapazität Kondensatoren sind zwei gegeneinander isolierte, entgegengesetzt geladene Leiteroberflächen beliebiger Geometrie, zwischen denen eine Spannung U herrscht. Ein Kondensator ist ein wichtiges elektrisches Bauelement und dient u.a. zur Speicherung elektrischer Ladungen und Energie. Der Quotient aus gespeicherter Ladungsmenge Q auf den Kondensatoroberflächen und angelegter Spannung wird als Kapazität C bezeichnet: Q C bzw. Q C U (.31) U [ C] 1F 1As V Kapazität eines Plattenkondensators: Ein Plattenkondensator besteht aus zwei parallelen Platten im Abstand d. Liegt zwischen ihnen eine Spannung U, dann herrscht zwischen den Platten an jeder Stelle dasselbe elektrische Feld (homogene Feldstärke). Im homogenen Feld gilt: D Q U ; E A d Mit Gl. (.9) ergibt sich hieraus für die Kapazität: Q U Q ε0 U A ε0 A ε0 CPl A d U d U d (.33) 17

6 Diese Beziehung ist nur gültig, wenn zwischen den Platten Vakuum (oder näherungsweise Luft) ist. In anderen Fällen ist ε 0 durch die Dielektrizitätszahl ε (ε ε 0 ε r ) zu ersetzen. Weiterhin werden die Randstörungen in Gl. (.33) vernachlässigt. Zusammenhänge für die homogene Feldstärke: Q Ψ ε0 A d d U ; C U Q Ψ C C d ε A ε A U 1 Ψ 1 Q 1 E D (.34) d ε A ε A ε Bsp..4: Kapazität eines Koaxkabels C πε h r ln a r i (.35) 18

7 Bsp..5: Spannung im Plattenkondensator U 1 Q l ε A 1 (.36) Bsp..6: Kapazität einer Doppelleitung mit vorgegebener Länge C πε0 h a R ln R (.37) Bsp..7: Spannung U 1 zwischen den Punkten P 1 und P mit den Abständen r 1 und r von einer positiven Punktladung U 1 Q 1 1 4πε 0 r1 r (.38) 19

8 .5 Nichtleiter im elektrischen Feld In Nichtleitern (Isolatoren) sind die Ladungsträger nicht frei beweglich, wodurch das Innere eines Nichtleiters im elektrischen Feld nicht feldfrei ist. Das Feld greift durch den Isolator hindurch. Solche Stoffe werden deshalb auch Dielektrika genannt (nach dem griechischen Wort dia für durch ). Wird bei einem Plattenkondensator mit der elektrischen Feldstärke E 0 U 0 /d ein Dielektrikum zwischen die Platten gebracht, dann verschieben sich die Ladungen auf dem Isolator, so dass ein geringeres Feld E im Dielektrikum zwischen den Platten herrscht. Es ist E < E 0 und deshalb U < U 0, es gilt: E U (.39) 0 0 r E U ε An der Plattenladung hat sich durch Einbringen des Dielektrikums nichts geändert, d.h. mit Q C U erhält man: C Q C0 U0 C U εr (.40) C 0 Wird ein Dielektrikum in ein elektrisches Feld gebracht, so nimmt die elektrische Feldstärke gegenüber der des Vakuums auf den ε r -ten Teil ab, während die Kapazität durch das Einbringen des Dielektrikums auf das ε r -fache ansteigt. Die Größe ε r wird relative Dielektrizitätszahl genannt und ist dimensionslos. Ihr Wert ist stets 1. 0

9 .6 Parallel- und Reihenschaltung von Kondensatoren Parallelschaltung: Alle Kondensatoren liegen an der gleichen Spannung U. Die Ladung, die jeder Kondensator speichert, ist proportional zu seiner Kapazität und der anliegenden Spannung: Q C U Die gespeicherte Gesamtladung Q setzt sich aus den Einzelladungen zusammen: Q Q + Q + + Q 1 n Q C U + C U + + C U U ( C + C + + C ) U C 1 n 1 n i i 1 Die Gesamtkapazität C von n parallel geschalteten Kondensatoren ist gleich der Summe der Einzelkapazitäten: n n i 1 C C C C C (.43) i n 1

10 Reihenschaltung: Jeder Kondensator wird unabhängig von seiner Kapazität mit demselben Ladestrom i geladen. Für alle Kondensatoren ist deshalb die gespeicherte Ladungsmenge gleich groß: Q i dt Q Q Q Q 1 n Dabei lädt sich der Kondensator mit der Kapazität C auf die Spannung U auf: U Q C Alle Ladespannungen U 1 bis U n addieren sich zur Gesamtspannung U: U U + U + + U 1 n n Q Q Q U Q Q C C C C C C C 1 n 1 n i 1 i Somit ist der Kehrwert der Gesamtkapazität der in Reihe geschalteten Kondensatoren gleich der Summe der Kehrwerte der Einzelkapazitäten: n (.44) C C C C C 1 n i 1 i Sonderfall für zwei in Reihe geschaltete Kondensatoren: C C C C + C 1 1 (.45)

11 Bsp..9: Ein Plattenkondensator mit quadratischen Platten der Seitenlänge a und Plattenabstand d ist wie in den Skizzen dargestellt teilweise mit einem Dielektrikum der relativen Dielektrizitätskonstanten ε r gefüllt. Drücken Sie seine Kapazität jeweils durch die gegebenen allgemeinen Größen aus. a) C ges ( ) ε0 εr a d + d ε + d 1 3 r 0 b) C ( a + ε a + a ) ges ε a d 1 r 3 c) C ges ε0 a ( a1 + εr a + a3 ) ( ) ( ε ) d + d a + a + a + d a r 3 5

12 .8 Ladungsvorgang beim Kondensator Die einfachste, aber wichtigste Schaltaufgabe ist das Laden oder Entladen eines Kondensators. Der auf die Spannung U geladene Kondensator C speichert die elektrische Energie 1/ CU², er wird deshalb Energiespeicher genannt. Jede Umladung verändert die Energieverhältnisse. Der zeitliche Verlauf der Kondensatoraufladung ist abhängig von der Speisungsart. Hier soll nur die Aufladung über Spannungsquellen mit einem Vorwiderstand zur Strombegrenzung betrachtet werden. Aufladung des Kondensators bei konstanter Spannung: Momentanwert des Stromes: i dq dt Über Zuleitungen zum Kondensator fließende Ladungsmenge: dq C du c Momentanwert des Lade- bzw. Entladestromes des Kondensators: du i C c (.51) dt Zeitkonstante: τ R C (.5) Kondensatorstrom: i t τ U e (.53) R t Kondensatorspannung: uc U 1 e τ (.54) 6

13 Entladungsvorgang des Kondensators: Der mit der Elektrizitätsmenge Q geladene Kondensator ist ein aktiver Zweipol. Er wird mit einem Widerstand belastet und dadurch entladen. Richtungszuordnung von Spannung und Strom: a) beim Laden eines Kondensators b) beim Entladen eines Kondensators U c0 Entladestrom des Kondensators: ic e τ (.55) R Kondensatorspannung: uc Uc0 e τ (.56) t t 7