Experimentalphysik 2

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1 Ferienkurs Experimentalphysik 2 Sommer 2014 Vorlesung 1 Thema: Elektrostatik Technische Universität München 1 Fakultät für Physik

2 Inhaltsverzeichnis 1 Elektrostatik Elektrische Ladungen und Coulomb-Gesetz Das elektrische Feld Elektrostatisches Potential Multipole Leiter im elektrischen Feld Dielektrika im elektrischen Feld Technische Universität München 2 Fakultät für Physik

3 1 Elektrostatik 1.1 Elektrische Ladungen und Coulomb-Gesetz Grundlagen: Es gibt zwei verschiedene rten von Ladungen: Positive und negative; Unterschied durch Krafteinwirkung aufeinander.... blenkung in elektrischen und magnetischen Feldern. Ladungen mit gleichem Vorzeichen stoßen sich ab, solche mit entgegengesetzten Vorzeichen ziehen sich an. Ladungen sind immer an massive Teilchen gebunden. lle in der Natur vorkommende Ladungen Q sind ganzzahlige Vielfache der Elektronenladung 1. Die Maßeinheit der Ladung: [Q] = 1Coulomb = 1C = 1 s In einem abgeschlossenen System bleibt die Gesamtladung zeitlich konstant. Ein Ladungstransport stellt einen elektrischen Strom dar. Ein Ladungstransport ist immer mit einem Massentransport verbunden. Coulomb-Gesetz: Die Kraft, die zwischen zwei Ladungen wirkt, wird mit dem Coulomb-Gesetz beschrieben: F = 1 Q1 Q 2 r 4πɛ 0 r 2 r (1) Hierbei ist ɛ 0 = s 4 kg 1 m 3 die Dielektrizitätskonstante. 1.2 Das elektrische Feld Die Kraft, die eine Ladung Q im Nullpunkt des Koordinatensystems auf eine Punktladung q ausübt ist: F( r) = Q q 4πɛ 0 r r (2) 2 r Das elektrische Feld, dass von der Ladung Q erzeugt wird, ist dann wie folgt definiert: E( r) = F( r) q = Q 4πɛ 0 r r 2 r (3) 1 usgenommen sind die Bausteine der Hadronen, die Quarks. Diese existieren aber nicht als freie Teilchen. Technische Universität München 3 Fakultät für Physik

4 mit der Dimension [E] = 1V m 1. Definitionsgemäß ist dann die Kraft, die auf die Ladung q wirkt: F = q E (4) Bei mehreren Ladungen Q i an den Orten r i ergibt sich das elektrische Feld durch Vektoraddition: y Q 1 r r 1 q r 1 r r 2 Q 2 r r 2 r r 3 Q 3 x E( r) = N i=1 = Q i r r i (5) 4πɛ 0 r r i 3 Kontinuierliche Ladungsverteilung: ußer Punktladungen gibt es auch kontinuierliche verteilte Ladungen mit einer räumlichen Ladungsdichte ϱ( r). Diese ist als Ladung pro Volumeneinheit definiert. Die Gesamtladung ist somit: Q = ϱ( r) dv (6) Die Kraft zwischen der gesamten Ladung Q und q ist dann: F( r) = q 4πɛ 0 V V R r ϱ( r) dv (7) R r 3 Entsprechend ergibt sich für Flächen bzw. Linien die Flachen- (σ( r)) bzw. die Linienladungsdichte (λ( r)): Q = σ d bzw. Q = λ dl (8) L Technische Universität München 4 Fakultät für Physik

5 Feldlinien: Das elektrische Feld kann durch Feldlinien veranschaulicht werden: Die Richtung ist durch die bbildung 1: Kugelförmiges Coulombfeld einer positiven und negativen Punktladung. Kraft auf die positive Punktladung definiert. Elektrische Feldlinien zweier gleicher Ladungen Q 1 und Q 2 = Q 1 (elektrischer Dipol): Das elektrische Feld eines Dipols ist: bbildung 2: Elektrisches Feld eines Dipols. Technische Universität München 5 Fakultät für Physik

6 E( r) = q [ r 4πɛ 0 r r d ] 3 r d 3 (9) Elektrischer Fluss: Fläche, die Raum umschließt, in dem sich eine Punkt- oder Raumladung befindet. Elektrische Feldlinien dieser Ladung durchsetzen die Fläche. Flächenelement d wird durch den nach außen zeigenden Flächennormalenvektor d charakterisiert. Der elektrische Fluss dφ el durch d ist: dφ el = E d (10) Durch Integration ergibt sich der gesamte elektrische Kraftfluss durch die Fläche : Φ el = E d (11) Mathematisch kann mit Hilfe des Gaußschen Satzes zeigen, dass für jede geschlossene Oberfläche gilt: Φ el = E d = div E dv (12) Hiermit ergibt sich für den gesamten elektrischen Fluss die Beziehung: Φ el = 1 = ϱ dv = Q div E = ϱ (13) ɛ 0 ɛ 0 ɛ 0 Die im Raum verteilten Ladungen werden als Quellen bezeichnet, wenn ϱ > 0 und als Senken wenn ϱ < 0. V() 1.3 Elektrostatisches Potential Wird eine Ladung q im elektrischen Feld von einem Punkt P 1 zu einem P 2 gebracht, so ist die entsprechende rbeit: W = P2 P 1 F d r = q P2 P 1 E( r) d r (14) Das elektrische Feld ist konservativ, d.h. das Integral ist wegunabhängig. Deshalb kann man jeden Raumpunkt r eine eindeutig definierte Funktion zuordnen. Diese wird als elektrostatisches Potential bezeichnet: φ( r) = r E( r) d r (15) Die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten r 1 und r 2 nennt man die elektrische Spannung: U = φ( r 1 ) φ( r 2 ) = r2 r 1 E( r) d r (16) Technische Universität München 6 Fakultät für Physik

7 Potentialgleichung: usgangspunkt ist die Definitionsgleichung für das elektrostatische Potential: φ( r) = r E( r) d r φ( r) = E( r) (17) φ( r) = E( r) = ϱ( r) ɛ 0 (18) Somit folgt die Poisson-Gleichung: φ = ϱ ɛ 0 (19) Für ϱ = 0 ergibt sich die Laplace-Gleichung: φ = 0 für ϱ = 0 (20) Äquipotentialflächen: ls Äquipotentialfächen werden die Flächen bezeichnet, auf denen das Potential φ( r) konstant ist. Die Äquipotentialflächen stehen immer senkrecht auf den Feldlinien. Daher wird keine r- bbildung 3: Elektrisches Feld einer Punktladung mit Äquipotentialflächen. beit verrichtet, wenn Ladungen auf den Äquipotentialflächen verschoben werden. Technische Universität München 7 Fakultät für Physik

8 1.4 Multipole Der elektrische Dipol: z E r 1 = R d/2 P R +Q E R d r 2 = R + d/2 E ϑ Q Der elektrische Dipol wird durch das Dipolmoment charakterisiert: Ebene z = 0 p = Q d (21) Die elektrische Feldstärke E( R) und das Potential φ( R) in einem beliebigen Punkt P( R) erhält man durch Überlagerung der Felder: φ D ( R) = 1 ( Q 4πɛ 0 R d/2 Q ) (22) R + d/2 Für R d gilt: 1 R ± d/2 = 1 R 1 1 ( = R d 1 ± R 1 1 R d ) R + 2 d2 R 2 4R 2 Somit erhält man die Näherung für das Potential des Dipols in großer Entfernung: φ D ( R) = (23) Q 4πɛ 0 d R R 3 = p R 4πɛ 0 R 3 = p cos ϑ 4πɛ 0 R 2 (24) Für das elektrische Feld erhält man: E( R) = φ( r) = 1 ( R 3p ) cos ϑ p 4πɛ 0 R 3 R (25) Dipol im homogenen Feld: F + Q +Q F Liegen beide Ladungen +Q und Q auf einer Äquipotentialfläche so ist die potentielle Energie eines Dipols null, da F = 0 Bei beliebiger Lage des Dipols in einem homogenen elektrischen Feld bewirken die Kräfte F 1 und F 2 ein Drehmoment: D = p E (26) Technische Universität München 8 Fakultät für Physik

9 Somit ergibt sich für die potentielle Energie des Dipols im homogenen äußeren elektrischen Feld: E pot = F d s = D dϑ = p E sin ϑ dϑ = p E cos ϑ = p E (27) Das Drehmoment dreht den Dipol, bis die potentielle Energie minimiert ist. Die potentielle Energie ist minimal, wenn p und E parallel sind. (Die potentielle Energie wird maximal, wenn p und E antiparallel sind.) Dipol im inhomogenen elektrischen Feld: Im inhomogenen Feld wirkt auf den Dipol die Kraft: F = Q [ E( r + d) E( r) ] = Q d d E d r = ( p ) E (28) Diese richtet ihn in Feldrichtung aus und zieht in in Richtung wachsender Feldstärke. 1.5 Leiter im elektrischen Feld Leiter in einem elektrischen Feld. uf die frei beweglichen Ladungsträger wirkt die Kraft F = q E. Die Kraft verschiebt die Ladungen bis sich aufgrund der veränderten Ladungsverteilung ein Gegenfeld aufgebaut hat. Das Gegenfeld kompensiert kompensiert gerade das äußere Feld. Diese Ladungsverschiebung: Influenz. Desshalb ist das innere vom Leiter ist feldfrei. Die Ladungen sitzen auf der Oberfläche. Kondensatoren: Ein Kondensator ist eine nordnung aus zwei entgegengesetzt geladenen Leiterflächen. Das elektrische Feld im Raum zwischen den Leiterflächen ist zur Ladung Q... zur Spannung U = Ed s Dehalb gilt die Beziehung: Q = C U (29) Die Proportionalitätskonstante C heißt Kapazität ( [C] = 1 C V 1 = 1 F ). Technische Universität München 9 Fakultät für Physik

10 a) Plattenkondensator: Q + Q + + & E = σ 2ɛ 0 Für den Plattenkondensator gilt: - - E = σ 2ɛ 0 E = σ ɛ 0 U = E d = σ ɛ 0 d σ=q/ = d ɛ 0 Q (30) Mit C = Q/U folgt dann: b) Kugelkondensator: Für einen Kugelkondensator gilt: C = ɛ 0 d (31) U = φ 1 φ 2 = Q 4πɛ 0 R 1 Q 4πɛ 0 R 2 = Q 4πɛ 0 R 1 R 2 R 2 R 1 (32) Mit C = Q/U folgt: C = 4πɛ 0 R 1 R 2 R 2 R 1 (33) c) Parallel- und Reihenschaltung von Kondensatoren: Schaltet man mehrere Kondensatoren parallel, so herrscht an allen Kondensatoren dieselbe Spannung 2. Die Ladungen addieren sich und da Q C gilt: C = C i für die Parallelschaltung (34) i Bei der Reihenschaltung von Kondensatoren werden die Ladungen getrennt, sodass auf zwei benachbarten, durch einen Leiter verbundenen Platten entgegengesetzt gleiche Ladungen sitzen. Die Spannungen verhalten sich additiv. Daher folgt für die Gesamtkapazität: 1 C = i 1 C i für die Reihenschaltung (35) Die Energie des geladenen Kondensators: Die rbeit, die aufgebracht werden muss, um eine Ladung dq zu verschieben ist: dw = U dq = Q C dq (36) 2 Sonst würde Ladung fließen, bis die Spannung ausgeglichen ist. Technische Universität München 10 Fakultät für Physik

11 Somit gilt für die Gesamtarbeit: W = Q 0 Q Q2 dq = C 2C Mit Q = C U ergibt sich dann die Energie des elektrostatischen Feldes: (37) W el = 1 2 C U2 (38) Die Energiedichte des elektrischen Feldes ist wie folgt definiert: w el = W el V (39) 1.6 Dielektrika im elektrischen Feld Dielektrika = isolierender Stoff. Dielektrikum zwischen die Platten eines Kondensators: Spannung sinkt um den Faktor ɛ Da Q = const C um Faktor ɛ größer Die Kapazität des Plattenkondensators ist dann: C Di = ɛ C Vac = ɛɛ 0 d (40) ɛ: Dielektrizitätszahl Dielektrische Polarisation: Q Q Im elektrischen Feld verschieben sich die Ladungen im Dielektrikum Da die Ladungsträger nicht frei sind: Nur Verschiebung innerhalb des toms bzw. Moleküls Die tome bzw. Moleküle werden zu elektrischen Dipolen (Induzierte Dipole) Technische Universität München 11 Fakultät für Physik

12 Vorgang: Polarisierung Induziertes Dipolmoment jedes toms: p = q d Polarisation: Vektorsumme der Dipolmomente aller tome pro Volumeneinheit: P = 1 p i (41) V i Polarisationsladungen: Ladungsverschiebung im elektrischen Feld Ladungen Q pol an den Stirnflächen des Dielektrikums: Polarisationsladungen Die Flächendichte ist: σ pol = Q N pol = V q d = N p = P (42) V Im Dielektrikum überlagern sich das äußere Feld E = σ f rei /ɛ 0 und das durch Polarisation entstandene entgegengerichtete Feld E = σ pol /ɛ 0 : E Di = σ f rei σ pol ɛ 0 = E vak P ɛ 0 (43) ußerdem gilt: E Di = 1 ɛ E vak (44) Somit folgt dann mit (43) und (44): χ wird als Suszeptibilität bezeichnet. Weiterhin wir die Dielektrische Verschiebung definiert: P = (ɛ 1) ɛ } {{ } 0 E Di (45) =χ D = ɛɛ 0 E Di = ɛ o E vak (46) Gespeicherte Energie und Dielektrikum: Für die Energiedichte gilt: w D el = W D el V die Energiedichte sinkt mit Dielektrikum = C U2 2 d = ɛ ɛ 0 2 E2 = 1 2 E D (47) Technische Universität München 12 Fakultät für Physik

13 Die Gleichungen des elektrostatischen Feldes in Materie: Ohne Dielektrikum: E = ϱ ɛ 0 (48) In Materie kommen zu den freien Ladungen noch die entgegengesetzten Polarisationsladungen ϱ pol dazu: E Di = 1 ɛ 0 (ϱ f rei + ϱ pol ) ( E P vak ) = 1 (ϱ f rei + ϱ pol ) ɛ 0 ɛ 0 mit (48) und: Q pol = σ pol d = Pd = und (46) folgt dann: V P dv = σ pol dv P = ϱ pol D = ϱ f rei (49) Technische Universität München 13 Fakultät für Physik