Elektrizität und Magnetismus

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1 Grundlagen- und Orientierungsprüfung Elektrotechnik und Informationstechnik Termin Sommersemester 2010 Elektrizität und Magnetismus Donnerstag, , 8:30 10:30 Uhr Zur Beachtung: Zugelassene Hilfsmittel: Eine mathematische Formelsammlung. Bitte beantworten Sie die Kurzfragen auf diesen Klausurblättern und die Rechenaufgaben auf dem separat ausgeteilten Papier. Verwenden Sie für jede Rechenaufgabe jeweils einen eigenen Bogen. Wenn Ihnen der vorgesehene Platz zum Beantworten der Kurzfragen nicht ausreicht, verwenden Sie auch die Rückseite der Klausurblätter. Geben Sie auf jedem Bogen Name, Vorname und Matrikelnummer an. Ergebnisse ohne Herleitung oder Begründung werden nicht gewertet. Die mit einem Stern * gekennzeichneten Teilaufgaben können unabhängig gelöst werden. Es gibt 19 Kurzfragen und 3 Rechenaufgaben. Diese Angabe besteht aus 17 Blättern. Name Vorname Matrikelnummer Q1 - Q9 Q10 - Q17 Q18 - Q19 Σ 1

2 Kurzfragen Q1 (3 Punkte) Geben Sie die Einheiten der elektrischen Spannung U, der elektrischen Ladung Q und der elektrischen Kraft F el in SI-Einheiten an. Q2 (3 Punkte) Geben Sie drei äquivalente Formulierungen des Grundgesetzes der Elektrostatik an. Q3 (4 Punkte) Betrachten Sie einen sehr langen zylindrischen idealen Leiter (Querschnitt siehe untenstehende Skizze) in einem äußeren elektrischen Feld E. *a) Wie groß ist das elektrische Feld E im Leiterinneren? 2

3 *b) Vervollständigen Sie in untenstehender Skizze die elektrischen Feldlinien außerhalb des idealen zylindrischen Leiters. E Querschnitt des idealen Leiters c) Zeichnen Sie zudem die elektrische Ladungsverteilung innerhalb des Leiters in die obenstehende Skizze ein. Wie nennt man den Effekt, der diese Ladungsumverteilung verursacht? Q4 (2 Punkte) Berechnen Sie die Gesamtkapazität C ges der abgebildeten Kondensatorschaltung. C C C C C C C 3

4 Q5 (3 Punkt) Wie lautet das Gaußsche Gesetz in differentieller Form? Leiten Sie aus dem differentiellen das integrale Gaußsche Gesetz ab. Q6 (2 Punkte) Wie ist die elektrische Stromdichte j definiert? Geben Sie die Einheit der Stromdichte in SI-Einheiten an. Q7 (3 Punkte) Wie ist die Beweglichkeit µ von Ladungsträgern in einem Material definiert. Geben Sie die Einheit der Beweglichkeit in SI-Einheiten an. Was lässt sich über den Wertebereich der Beweglichkeit aussagen? 4

5 Q8 (3 Punkte) Leiten Sie aus dem Zusammenhang zwischen Driftgeschwindigkeit und elektrischem Feld das ohmsche Gesetz in differentieller (lokaler) Form her. Q9 (1 Punkt) Warum wird der spezifische ] elektrische Widerstand in technischen Anwendungen oft in der Einheit [Ω mm2 angegeben? m 5

6 Q10 (5 Punkte) Ein Elektron mit der Ladung q = e wird in das (als homogen angenommene) elektrische Feld eines Plattenkondensators bei x = 0 eingebracht (siehe Skizze). Das elektrische Feld wird durch eine angelegte Spannung U zwischen der Platte bei x = L und der Platte bei x = L erzeugt. Welche Geschwindigkeit hat das Elektron (Anfangsgeschwindigkeit v 0 = 0), wenn es bei x = L den Konsensator durch eine dünne Blende verlässt? Leiten Sie das Ergebnis über die Energieerhaltung her. Hinweis: Kinetische Energie E kin = mv 2 /2. Der Einfluss des Blendenlochs auf das elektrische Feld des Plattenkondensators kann vernachlässigt werden. 6

7 Q11 (3 Punkte) Leiten Sie einen Ausdruck für die Verlustleistung P el = U I her, die in einem zylindrischen ohmschen Widerstand mit der Länge L, der Querschnittsfläche A und dem spezifischen elektrischen Widerstand auftritt, wenn er von einem elektrischen Strom I durchflossen wird. Q12 (4 Punkte) Geben Sie an, ob die in den folgenden Teilaufgaben gegebene physikalische Größe jeweils statisch, stationär oder keines von beiden ist. *a) Das elektrische Feld E einer nicht bewegten Punktladung ist *b) Der Stromdichte j eines Gleichstromkreises ist *c) Das Magnetfeld H eines von Wechselstrom durchflossenen Leiters ist *d) Das Magnetfeld H eines von Gleichstrom durchflossenen Leiters ist 7

8 Q13 (2 Punkte) Geben Sie das Ampèresche Durchflutungsgesetz in der von Maxwell erweiterten Form sowohl in differentieller wie auch in integraler Formulierung an. Q14 (2 Punkte) In einem langen geraden Leiter (Festkörper) befinden sich Elektronen, die sich frei bewegen können und somit das Material leitfähig machen. Die positiven Ionenrümpfe des Wirtsgitters sind ortsfest im Material fixiert. Durch eine angelegte Spannung U bewegen sich die Elektronen mit der mittleren Driftgeschwindigkeit v, es fließt also ein Strom I. Eine Hallsonde (=Magnetfeldmessgerät) bewegt sich ebenfalls mit v parallel zum Leiter in konstantem Abstand. Misst die Sonde ein Magnetfeld? Begründen Sie Ihre Aussage. 8

9 Q15 (5 Punkte) Ein positiv geladenes Ion der Ladung e und der Masse m tritt im Vakuum mit der Anfangsgeschwindigkeit v 0 in ein ausgedehntes homogenes Magnetfeld B ein. *a) Skizzieren Sie die Flugbahn des Ions in Abhängigkeit von den angegebenen Größen. Hinweis: Machen Sie eine Fallunterscheidung ( v 0 B, v 0 B, allgemeiner Fall). *b) Welche Arbeit wird dabei jeweils verrichtet? Was ergibt sich somit für die kinetische Energie des Ions? 9

10 Q16 (3 Punkte) In einem langen zylindrischen Leiter fließt ein Strom I. Durch welche Maßnahme lässt sich das Magnetfeld H im Außenraum um den Leiter kompensieren? Begründen Sie Ihre Antwort. Q17 (1 Punkt) Welcher Tierart werden Sie am magnetischen Nordpol der Erde mit größerer Wahrscheinlichkeit begegnen: Eisbären, Pinguinen oder Schildkröten? 10

11 Q18 (3 Punkte) Welchen grundlegenden Unterschied weisen magnetische im Gegensatz zu elektrischen Feldlinien auf? Wie wird dieser Umstand in den Maxwellschen Gleichungen beschrieben? Q19 (8 Punkte) Gegeben sei folgende Parameterdarstellung des E 2 in kartesischen Koordinaten: r(u 1,u 2 ) = u 1 e x + (u 1 u 2 ) e y Die beiden Parameter (u 1,u 2 ) seien die kontravarianten Koordinaten in einem schiefwinkligen Koordinatensystem. *a) Berechnen Sie die kontravariante Basis ( b 1, b 2 ) zu den Koordinaten (u 1,u 2 ) des schiefwinkligen Koordinatensystems. 11

12 b) Berechnen Sie den inversen metrischen Tensor (g ij ) im schiefwinkligen Koordinatensystem. Gegeben sei nun das elektrostatische Potential: Φ(u 1,u 2 ) = C (u 1 u 2) c) Berechnen Sie das elektrische Feld E in dem schiefwinkligen Koordinatensystem bezüglich der kontravarianten Basis ( b 1, b 2 ). Hinweis: Für den Gradienten im E 2 gilt 2 gradφ = i,j=1 g ji Φ u j b i 12

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14 1. Rechenaufgabe (25 Punkte) Gegeben ist folgende kugelsymmetrische Raumladungsverteilung ρ(r), die sich im Vakuum (Permittivität ǫ = ǫ 0 ) befindet. Verwenden Sie für Ihre Berechnungen Kugelkoordinaten. ( r ) 2 ρ 0 für 0 r R ρ(r) = R 0 für r > R *a) Skizzieren Sie den Verlauf von ρ(r) über dem Radius r. *b) Berechnen Sie die Ladungsmenge Q(r), die von einer kugelförmigen Hüllfläche mit dem Radius r eingeschlossen wird. Unterscheiden Sie hierzu die Fälle 0 r R sowie r > R. *c) Berechnen Sie die dielektrische Verschiebung D(r) und das elektrische Feld E(r) im gesamten Raum nach Betrag und Richtung. d) Berechnen Sie das elektrische Potential φ(r), wenn als Bezugspunkt (Potentialnullpunkt) ein unendlich weit entfernt liegender Punkt angenommen wird. Skizzieren sie das Potential über dem Radius r. Achten Sie dabei auf eine vollständige Beschriftung der Achsen. Die Raumladungsverteilung werde nun durch eine ideal leitende Kugelschale K1 mit Radius R und Mittelpunkt im Ursprung ersetzt. Auf ihr befindet sich die Ladung Q K. Zudem wird eine weitere Kugelschale K2 mit Radius 2R konzentrisch angebracht. Auf ihr befindet sich die Ladung Q K. Die beiden Kugelschalen bilden einen Kondensator (siehe Abbildung). K2 K1 R +Q K 2R -Q K *e) Bestimmen Sie die Ladung Q K in Abhängigkeit der gegebenen Größen (d.h. ρ 0 und R), so dass sich das elektrische Feld im Bereich zwischen den Kugelschalen (R < r < 2R) nicht von dem in c) berechneten Feld unterscheidet? Begründen Sie ihre Antwort. *f) Wie groß ist das elektrische Feld E(r) innerhalb (0 r < R) und außerhalb (r > 2R) der Kondensatorplatten? Begründen Sie ihre Antwort. g) Berechnen Sie die Oberflächenladungsdichten σ 1 und σ 2 auf den beiden Kugelschalen K1 und K2 in Abhängigkeit von ρ 0 und R. h) Berechnen Sie die Spannung U zwischen den beiden Platten in Abhängigkeit von ρ 0 und R. i) Wie groß ist die Kapazität C des Kugelkondensators? 14

15 2. Rechenaufgabe (20 Punkte) Um die Geschwindigkeit v und die Masse m von unbekannten, einfach negativ geladenen Ionen (Ladung q = e) in einem Teilchenstrahl zu bestimmen, wird der unten skizzierte Versuchsaufbau verwendet. Die z-achse zeigt aus der Zeichenebene heraus. Der Ionenstrahl tritt bei x = z = 0 und y = L parallel zur x-achse mit der Geschwindigkeit v in das elektrische Feld eines Plattenkondensators (Länge L und Plattenabstand d) ein. Die obere Platte liegt auf dem Potential U > 0, während die untere Platte geerdet ist. Am Ende des Kondensators befindet sich eine Blende, so dass nur Teilchen, die innerhalb des Kondensators keine Ablenkung erfahren, den Kondensator verlassen können. Die Anordnung befindet sich im Vakuum. Vernachlässigen Sie Streufelder des Plattenkondensators. *a) Geben Sie Richtung und Betrag des elektrischen Feldes E innerhalb des Plattenkondensators an. In welche Richtung werden die Ionen abgelenkt? b) Ab einer Spannung U = U max werden die Ionen so stark abgelenkt, dass Sie auf einer Platte des Plattenkondensators auftreffen. Berechnen Sie U max in Abhängigkeit von der Masse m und von der Geschwindigkeit v der Teilchen. Hinweis: Aus der klassischen Mechanik folgt für eine linear in y-richtung beschleunigte Bewegung: F = m a und y = 1 2 a t2 mit der Kraft F, der Beschleunigung a in y-richtung, der Ablenkung y und der Zeit t. Hieraus lässt sich y(x) berechnen. c) Skizzieren Sie die Bahn y(x) der Ionen für U = U max. Nun wird im gesamten Halbraum x > 0 zusätzlich ein homogenes Magnetfeld B (mit dem Betrag B) angelegt. Dadurch soll die Ablenkung der Ionen durch das elektrische Feld so kompensiert werden, dass Teilchen mit einer bestimmten Geschwindigkeit v den Kondensator durch die Blende verlassen können. *d) In welche Richtung muss das Magnetfeld B dazu zeigen? *e) Berechnen Sie für gegebenes U und B die Geschwindigkeit v derjenigen Ionen, die den Kondensator durch die Blende verlassen können. 15

16 *f) Die Ionen werden im Bereich x > L, in dem kein elektrisches Feld existiert, vom Magnetfeld B abgelenkt. Ein auf der x-achse verschiebbarer Ionendetektor (siehe obenstehende Abbildung) misst ein Intensitätsmaximum, wenn er sich bei x = 2L befindet. Berechnen Sie die Masse m der Ionen. Hinweis: Aus der klassischen Mechanik folgt für die Zentripetalkraft einer Kreisbahn mit dem Radius r: F z = m v2 r g) Skizzieren Sie die gesamte Bahn der Ionen bei eingeschaltetem Magnetfeld B zwischen Strahleintritt und Detektor. *h) Warum registriert man in der Praxis auch dann noch Ionen im Detektor, wenn man den Detektor ein kleines Stück auf der x-achse verschiebt? Nennen Sie zwei Gründe. 16

17 3. Rechenaufgabe (15 Punkte) Im Halbraum z 0 herrscht ein homogenes magnetisches Feld mit B = B e y. Im übrigen Raum ist B = 0. Eine rechteckige, offene Leiterschleife (Breite W, Länge L, Masse m) wird zum Zeitpunkt t = t 0 am Rande des Magnetfeldes (Unterkante der Schleife bei z = 0, siehe untenstehende Skizze) losgelassen. Sie befindet sich dann für t t 0 im freien Fall unter dem Einfluss der Erdbeschleunigung g = g e z. Zum Zeitpunkt t 1 > t 0 tritt auch die obere Seite der Leiterschleife in das magnetische Feld ein. In der Leiterschleife wird für t > t 0 die Spannung U ind (t) induziert. *a) Um welche Art der Induktion handelt es sich? *b) Berechnen Sie die zeitabhängige Geschwindigkeit v(t) sowie die Position der Unterkante der Leiterschleife z(t). c) Berechnen Sie für t 0 < t < t 1 sowie für t > t 1 die in der Leiterschleife induzierte Spannung U ind (t) (t 1 braucht nicht explizit berechnet zu werden). d) Skizzieren Sie für t > 0 den zeitlichen Verlauf der Spannung U ind (t). Betrachten Sie jetzt eine geschlossene Leiterschleife (Länge L, Breite w, Masse m), deren ohmscher Widerstand R beträgt. Sie wird ebenfalls zum Zeitpunkt t 0 am Rande des Magnetfeldes (Unterkante der Schleife bei z = 0) losgelassen. e) Berechnen Sie den in der Leiterschleife induzierten Strom I(t). Geben Sie den Strom nur als eine Funktion der momentanen Geschwindigkeit v(t) an. In welche Richtung fließt I(t) (Uhrzeiger- oder Gegenuhrzeigersinn)? f) Welchen Einfluss hat der induzierte Strom I(t) auf die Bewegung der Leiterschleife? g) Wie groß ist die auf die Leiterschleife wirkende Lorentzkraft F L (t) für t > t 0? Viel Erfolg! 17