Potential und Spannung

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1 Potential und Spannung Arbeit bei Ladungsverschiebung: Beim Verschieben einer Ladung q im elektrischen Feld E( r) entlang dem Weg C wird Arbeit geleistet: W el = F C d s = q E d s Vorzeichen: W el > 0 wenn die Arbeit vom Feld E geleistet wird. E-Feld ist konservativ W el hängt nur von den Endpukten des Weges C ab, aber aber nicht vom Verlauf. C R 1 C C (0,0,0) R 2 Elektrostatisches Potential: Arbeit, um eine Probeladung q vom Punkt r in unendliche Entfernung von der Feldquelle zu bringen: q r E d s = q Φ( r ) = q (elektrostatisches Potential) Einheit: [Φ] = J/C = kgm2 = Volt = V. As3 Φ hängt nur von r ab; Konvention: Φ( ) = 0. Spannung: E d s = Φ( R 1 ) Φ( R 2 ) = Spannung U C [U] = Volt

2 Potential einer Punktquelle Berechnung: Elektrisches Feld einer Punktladung Q im Ursprung zeigt radial nach außen. E d s = E dr und damit Φ( r ) = Φ(r) = Q 4πǫ 0 = Q [ 1 ] 4πǫ 0 r r r dr r 2 = Q 4πǫ 0 r z ds Φ (r) r y U Q>0 Q x R R 1 2 r Q<0

3 Beschleunigung im elektrischen Feld Potential und Energie: Beim Durchlaufen der Spannung U ändert sich die potentielle Energie eines Teilchens mit Ladung q um Wegen Energieerhaltung: E pot = q U E kin = E pot = q U Geladene Teilchen nehmen aus einem elektrischen Feld kinetische Energie auf, wenn sie es in der richtigen Richtung durchlaufen. Beispiele: Elektronenstrahl im Fernseher Teilchenbeschleuniger Elektronenvolt: Spezielle Energieeinheit für mikroskopische Objekte (Atome, Kerne, Teilchen): 1eV = 1Elektronenvolt = e 1V = J Oft verwendete Vielfache: 1keV = 10 3 ev 1MeV = 10 6 ev 1GeV = 10 9 ev (Kiloelektronenvolt) (Megelektronenvolt) (Gigaelektronenvolt) Typische Energieskalen: Bindungsenergien in Atomen und Molekülen: ev; Röntgenstrahlen: kev; Atomkerne: MeV; Elementarteilchen: GeV.

4 Feld und Potential; Elektrische Leistung Feld und Potential: Das elektrische Feld kann mit Hilfe der Definitionsgleichung des elektrostatischen Potentials aus Φ( r) berechnet werden: ( Φ E( r) = gradφ( r ) = x, Φ y, Φ ) z Das Feld E( r) zeigt entgegen der Richtung der stärksten Zunahme von Φ( r ). Das Feld E( r) steht sekrecht auf Flächen mit Φ( r ) = const. (Äquipotentialflächen). Elektrische Leistung: Elektrische Arbeit beim Transport der Ladung Q über Spannung U: W el = Q U Wenn dies in einer Zeit t geschieht (U = const.) P el = lim t 0 W el t = lim t 0 Q t U = U Beispiel: Batterie mit U = 1.5V und Gesamtladung 1Ah liefert Gesamtenergie W el = t U = 3600s 1A 1.5V = 5.4kJ

5 Das Ohmsche Gesetz Strom und Spannung: Legt man eine Spannung U an ein Material an, so fließt im allgemeinen ein Strom. Veranschaulichung im Schaltbild: Material (el. Widerstand) Spannungsquelle + U 0 Für viele Materialien (Metalle, homogene Halbleiter) gilt bei konstanter Temperatur: U R = U = el. Widerstand = const. (Ohm sches Gesetz) [R] = V/A = Ω = Ohm Strom-Spannungs-Kennlinien: U linear (Ohmsch) U nicht linear Beispiele nichtlinearer Fälle: Gasentladung Diode Glühlampe

6 Spezifischer Widerstand Definition: Der Widerstand eines Drahtes mit Länge L und Querschnittsfläche A ist R = ρ s L A = 1 σ L A ρ s = spezifischer el. Widerstand [ρ s ] = Ωm σ = spezifische el. Leitfähigkeit [σ] = Ω 1 m 1 A L Typische Werte (bei 20 C): Material spezifischer Widerstand [10 6 Ωm] Kupfer Cu Eisen Fe 0.1 Graphit 8 Teflon Hartgummi Der spezifische Widerstand hängt vom Material (Leitungsmechanismus, mikroskopische Struktur) und von der Temperatur ab. Variiert über fast 30 Größenordnungen! Der Wert von ρ s in 10 6 Ωm entspricht dem Widerstand in Ω eines Drahtes mit Länge L = 1m und Querschnitt A = 1mm 2. Für Metalle (Leitung durch Elektronentransport) sind elektrische und Wärmeleitfähigkeit proportional.

7 T-Abhängigkeit des Widerstandes Metalle: ρ s Widerstand durch Stöße der Elektronen mit Gitteratomen. Steigt mit zunehmender Bewegung der Atome. Metall Widerstand nimmt mit steigender Temperatur zu. T Halbleiter: Leitung durch Elektronen, die durch thermische Energie aus lokaler Bindung gelöst werden. Mit steigendem T nimmt Zahl der Ladungsträger zu und Widerstand ab. Bei hohen T Widerstandszunahme wie in Metall. ρ s T Raum Halbleiter T Supraleiter: Bei einigen Materialien wird ρ s = 0 bei T < T c (T c : kritische Temperatur, Sprungtemperatur). Quantenmechanischer Effekt. Typisch: T c (Hg) = 4.183K; Hochtemperatur- Supraleiter: T c 100K. ρ s Supraleiter T c T c =einige K (bei einigen Stoffen bis mehrere 10K) T

8 Kirchhoffsche Regeln Knotenregel: Knoten = Kontaktstelle mehrerer Drähte ohne aktives Element Gesamtladung im Knoten ist erhalten n i = 0 i=1 Vorzeichen geben Richtung der Ströme! Knotenregel bzw. 1. Kirchhoffsche Regel Knoten Maschenregel: U 1 Masche = Leitungskreis mit Spannungsquelle(n) und Widerstände(n). R 1 Wegintegral von Ed s entlang Masche verschwindet n U i = n R i U 0 = 0 U 0 + i=0 i=1 Spannungen von Quelle und an Widerständen haben entgegengesetzte Vorzeichen. Maschenregel bzw. 2. Kirchhoffsche Regel R 2 U 2