Moderne Physik: Elemente der Festkörperphysik Wintersemester 2010/11 Übungsblatt 5 für den

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1 Moderne Physik: Elemente der Festkörperphysik Wintersemester 21/11 Übungsblatt 5 für den Fermi-Energie von Elektronen in Metallen Bei T = K besitzt ein freies Elektronengas der Ladungsträgerdichte n die Fermi-Wellenzahl k F = ( 3 2 n ) 1/3. Berechnen Sie für Na (Dichte Na = 1,2 g/cm 3, m mol = 22,99 g/mol) und Cu ( Cu = 8,93 g/cm 3, m mol = 63,54 g/mol) die Elektronendichte n, k F, E F, v F und T F. Skizzieren Sie E F und k F für beide Metalle in einer E(k)-Darstellung. 15. Mittlere kinetische Energie des Elektronengases Zeigen Sie, dass die mittlere kinetische Energie der Elektronen eines dreidimensionalen Metalls bei T = K den Wert 3/5 E F hat. 16. Elektrische Leitfähigkeit Der spezifische Widerstand von Kupfer beträgt 1, m. Berechnen Sie a) die Relaxationszeit und b) die mittlere Elektronengeschwindigkeit v D (Driftgeschwindigkeit) bei einem elektrischen Feld von =1V/m. Kupfer ist kubisch flächenzentriert mit einer Würfelkantenlänge von 3,61 Å. Jedes Atom liefert ein Elektron ins quasifreie Elektronenband, wobei j = = -e n v D die Stromdichte ist. Benutzen Sie für die effektive Masse m* die freie Elektronenmasse. 17. Thermische Leitfähigkeit von Diamant Hinsichtlich der Wärmeleitfähigkeit übertrifft hochreiner Diamant mit (25 C)=23,2 W/K cm sogar den besten metallischen Leiter Silber deutlich. Andererseits ist reiner Diamant mit einem spezifischen Widerstand von (25 C) 1 16 cm ein elektrischer Isolator. Lassen sich diese gegensätzlichen Eigenschaften mit der Aussage des Wiedemann-Franz-Gesetzes vereinbaren?

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3 Philipp Reichert Serie 5 Aufgabe 14: Fermi-Energie von Elektronen in Metallen Bei T = K besitzt ein freies Elektronengas der Ladungsträgerdichte n die Fermi-Wellenzahl k F k F = (3π 2 n) 1/3. (1) Gegeben: ϱ Na = 1, 2 g/cm 3 µ Na = 22, 99 g/mol ϱ Cu = 8, 93 g/cm 3 µ Cu = 63, 54 g/mol Gesucht: n k F E F v F T F Berechnung von n: n = r ϱ N A µ (2) n Na = 2, /m /m 3 n Cu = 8, 43 1 = 2, /cm 3 = 8, /cm 3 Berechnung von k F : Mit Gleichung 1 folgt: k FNa =, /m k FCu = 1, /m Berechnung von E F : E F = Damit folgt: 2 2m e k 2 F (3) E FNa = 3, 22 ev E FCu = 7, 5 ev Übung - Elemente der Festkörperphysik 1

4 Serie 5 Philipp Reichert Berechnung von v F : v F = m e k F (4) Damit folgt: v FNa = 1, cm/s v FCu = 1, cm/s Berechnung von T F : T F = E F k B (5) Damit folgt: T FNa = 3, K T FCu = 8, K Abbildung 1: schematischer Verlauf von E F in Abhängigkeit von k F 2 Übung - Elemente der Festkörperphysik

5 Philipp Reichert Serie 5 Aufgabe 15: Mittlere kinetische Energie des Elektronengases Es gilt für die mittlere kinetische Energie Ē eines metallischen Leiters: Ē = U N (6) Die innere Energie des Leiters ergibt sich zu: U = D(E)f(E, T )E de (7) Für E E F wird f(e, T ) zu f(e) und ergibt eine Stufenfunktion mit dem Wert 1. Abbildung 2: Stufenfunktion von f(e) bei T = O Übung - Elemente der Festkörperphysik 3

6 Serie 5 Philipp Reichert Mit Damit ergibt sich U zu: U = = 2π 2 3 2π 2 3 D(E)E de (2m) 3 2 2π 2 3 E E de E 3 de [ 2 EF E 5] 5 2π E 3 2 F E F E F = 2 2m (3π2 n) 2 3 (8) ergibt sich weiter: U 2π ( ) m (3π2 n) EF Für N folgt: N = = 3 5 n E F = 2π 2 3 2π 2 3 D(E) de (2m) 3 2 2π 2 3 E de E de [ 2 EF E 3] 3 2π E 3 2 F 2π = n ( 2 2m (3π2 n) 2 3 Somit folgt nach Gl. (6) für die mittlere kinetische Energie der Elektronen eines dreidimensionalen Metalls bei T = K: 3 5 Ē = n E F = 3 n 5 E F die Behauptung. 4 Übung - Elemente der Festkörperphysik ) 3 2

7 Philipp Reichert Serie 5 Aufgabe 16: Elektrische Leitfähigkeit a) Bestimmung der Relaxationszeit τ Für die elektrische Leitfähigkeit σ el gilt: σ el = 1 ϱ = n e2 τ m (9) Damit folgt für die Relaxationszeit τ: τ = m n e 2 ϱ (1) Weiterhin gilt auf Grund der Gitterstruktur N = sich für n mit V = (3, 61 Å)3 ergibt: n = N/V = 4/(3, 61 Å)3. Einsetzen liefert schließlich: τ = 2, s b) Bestimmung der Driftgeschwindigkeit v D : = 4, woraus j = σ el ɛ = e n v D (11) ɛ v D = e n ϱ (12) Mit dem n aus Aufgabenteil a) ergibt sich nach Einsetzen: v D =, 42 m/s Aufgabe 17: Thermische Wärmeleitfähigkeit von Diamant Das Wiedemann-Franzsche Gesetz ist ein empirisches Gesetz, das das Verhältnis zwischen thermischer Leitfähigkeit λ und elektrischer Leitfähigkeit σ in einem Metall als nahezu proportional zur Temperatur T beschreibt, unabhängig von dem betrachteten Metall. Dabei werden nur die elektronischen Anteile betrachtet. λ σ = L T (13) Es gilt jedoch nur für den Fall, dass τ therm = τ elektr. Da im Beispiel des Diamants diese Analogie nicht gilt, lässt sich die exzellente Wärmeleitfähigkeit und Isolatoreigenschaft nicht mit dem Wiedemann-Franz schen Gesetz begründen. Übung - Elemente der Festkörperphysik 5

8 Serie 5 Philipp Reichert Die hohe Isolation lässt sich durch die Bindung des Diamanten begründen. Hier liegt eine kovalente Bindung vor und die Atome sind in zwei ineinander geschobenen kubisch- flächenzentrierten Gittern angeordnet. Dadurch gibt es keine freien Elektronen, die Strom leiten könnten. Erst ab einer Temperatur von ca. T = 4 C können einige Elektronen herausgelöt werden (Halbleiter). Die hohe Wärmeleitfähigkeit resultiert aus den Gitterschwingungen, die durch die starken Bindungen ermöglicht werden. Da jedoch keine freien Elektronen vorhanden sind, wie bei den meisten Metallen, resultiert die Wärmeleitung nicht aus der Bewegung eines Elektronengases. Bei dem Diamanten überwiegt der Anteil der Wärmeleitung, die duch die Bewegung von Phononen verursacht wird. Abbildung 3: Gitterstruktur eines Diamanten 6 Übung - Elemente der Festkörperphysik