Formelsammlung Baugruppen

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1 Formelsammlung Baugruppen RCL-Schaltungen. Kondensator Das Ersatzschaltbild eines Kondensators C besteht aus einem Widerstand R p parallel zu C, einem Serienwiderstand R s und einer Induktivität L s in Reihe zu R p und C. Allgemeines C = ɛ 0 ɛ r A d X C = ωc () (2) Verlustwinkel δ des Kondensators (Serieninduktivität L s = 0) Für f khz gilt: Für f khz gilt: tanδ = P w (3) P b tanδ = ω R p C + ω R s C (4) tanδ ω R p C (5) tanδ ω R s C (6) P w P b Wirkleistung Blindleistung.2 Induktivität Die Spule wird durch ein Ersatzschaltbild beschrieben, das aus einer idealen Induktivität L und einem Verlustwiderstand R v zu ihr in reihe beschrieben wird. R v setzt sich folgendermaßen zusammen: Kupferverluste ( ω), Wirbelstromverluste ( ω 2 ), Hystereseverluste ( ω). Allgemeines A L = µ Am l m (7) A R = ωa L Q R cu = N 2 A R (9) L = N 2 µ 0 µ r Am l m = N 2 A L (0) X L = ωl () (8)

2 Verlustwinkel δ der Induktivität tanδ = P w P b = R v ω L (2) Spulengüte Q Q = tanδ (3) Q max = ω AL A R (4) Resonanzfrequenz f r = 2π L C (5) 2 Allgemeines zu Leitern n A = N L γ A r (6) ρ = n A e (7) S = ρ Q µ E (8) σ = S E = ρ Q µ (9) ϱ = σ (20) 3 Halbleiter 3. Allgemeines n A Atomdichte S Stromdichte ρ Ladungsträgerdichte e Elementarladung e = As N L Avogadro-Konstante N L = 6 0 γ Spezifische Dichte [γ] = g cm 3 A r Relative Atommasse [A r ] = g mol σ Spezifischer Leitwert ϱ Spezifischer Widerstand Herstellung von pn-übergängen. Legierungsverfahren 2. Diffusionsverfahren 3. Epitaxialverfahren 4. Ionen-Implantationsverfahren 23 Atome mol 2

3 Grundsätzliche Zusammenhänge n i = N 0 e W B 2KT (2) n p = (22) µ p,n Löcher- bzw. Elektronen-beweglichkeit n i Eigenleitungsdichte n Elektronendichte p Löcherdichte N 0 Zustandsdichte, stoff- und schwach temperaturabhängig W B Energiebetrag zum Aufbrechen einer Valenzbrücke = Bandabstand k Boltzmann-Konstante = Ws/k T absolute Temperatur kt mittlere thermische Energie eines Elektrons Der Bandabstand W B bei Zimmertemperatur beträgt ca. k T 0 = 0.026eV 3.2 Leitfähigkeit reiner Halbleiter σ = e n i (µ n + µ p ) (23) µ p,n Löcher- bzw. Elektronen-beweglichkeit n i Eigenleitungsdichte 3.3 Leitfähigkeit dotierter Halbleiter N-Dotiert Aus der N-Dotierung resultiert, daß n n p n, n n n i und n n = N D. P-Dotiert (24) n n p n = (25) p n = n2 i n n (26) σ n = e N D µ n + e N D µ p (27) Aus der P-Dotierung resultiert, daß p p n p, p p n i und p p =. p p n p = (28) n p = n2 i p p (29) σ n = e µ p + e n2 i µ n (30) µ p,n Löcher- bzw. Elektronen-beweglichkeit n i Eigenleitungsdichte n n Elektronendichte p p Löcherdichte σ Spezifischer Leitwert N D Donatordichte (Anzahl der Fremdatome pro Volumen) Akzeptordichte (Anzahl der Fremdatome pro Volumen) 3

4 3.4 P-N Übergang Raumladungsdichten p-seite: e n-seite: e N D Diffusionsspannung NA N D U D = U T ln (3) Flußspannung IF U F = m U T ln I S (32) Diffusionsströme N D e U U T I diff,p = A k T µ p (33) L p e U U T I diff,n = A k T µ n (34) L n U externe Spannung über dem p-n-übergang U T Temperaturspannung (25.9mV bei 300K) U T = k T e A Querschnitt k Boltzmannkonstante µ p,n Elektronen- bzw. Löcherbeweglichkeit L n,p Diffusionslänge der Elektronen bzw. Löcher Akzeptor- bzw. Donatordichte der p- bzw n-seite,d Majoritäts- und Minoritätsladungsträgerstrom I maj = A e N {A,D} E µ {p,n} (35) I min = A e Diodenstrom (Shockleygleichung) N {A,D} E µ {n,p} (36) ) I D = I S (e U U T ) I F = I S (e U m U T (37) (38) U I S U T m externe Spannung über dem p-n-übergang Sättigungsstrom Temperaturspannung (25.9mV bei 300K) U T = k T e siehe Text 4

5 Der Faktor m berücksichtigt, ob Ladungsträger nur außerhalb der Sperrschicht (m = ) oder, bei sehr kleinen und sehr großen Flußströmen, auch innerhalb der Sperrschicht (m = 2) rekombinieren. Differentieller Widerstand r D = U T I D (39) Bei der idealen Diode würde der diffentielle Widerstand bei steigendem Diodenstrom immer weiter abnehmen. Bei realen Dioden strebt er einem Grenzwert, dem Bahnwiderstand, zu. Diffusionskapazität C D = T p + T N 2 U T (40) T p,n Lebensdauer der Minoritätsladungsträger auf der p- bzw. n-seite, bis sie rekombinieren. Typ.: 0.ns... ms 3.5 Verhalten des P-N Übergangs im Sperrbereich Sperrschichtweite W S = ( 2 ɛ e U R + ) N D (4) W S U R ɛ ɛ 0 ɛ r Sperrschichtweite Sperrspannung ɛ = ɛ 0 ɛ r Dielektrizitätskonstante: 8.85 pf/m Si:2; Ge:6 Sperrschichtkapazität C S = ɛ A W S (42) C S = ɛ A ( 2 U R ɛ e + N D ) (43) C S U R A Sperrschichtkapazität Sperrspannung Querschnitt 5

6 4 Zweiweg Gleichrichter Verlustleistung der Dioden (idealisiert mit Knickkennlinie) P vges U F 0 r F I F I F eff P vges = 2 U F 0 I F + 2 r F I 2 F eff (44) Gesamte Verlustleistung der Dioden Durchbruchspannung der idealisierten Diode Bahnwiderstand der Diode Mittelwert des Diodenstroms Effektivwert des Diodenstroms 2 Anzahl der Dioden im Strompfad (hier Grätzschaltung) Welligkeit W π 2 3 R L C 2πf (45) 5 Transistor 5. Bipolortransistor Wenn nicht anders vermerkt, beziehen sich alle Angaben auf den NPN - Bipolartransistor. Kleinsignalersatzgrößen (Bild: Skript 4-8) r BE = B U T I C0 (46) S = I C0 U T (47) r CE = U A I C0 (48) Arbeitspunktberechnung (Bild: Skript 4-25 untenrechts) I C = B U B R 2 U BE (R + R 2 ) R E (B + )(R + R 2 ) + R R2 (49) Kenngrößen der Emitterschaltung Spannungsverstärkung ohne Emitterkondensator: V u R C R E (50) Spannungsverstärkung mit Emitterkondensator (Emitter wechselspannungsmäßig an Masse): V u S(r CE R C ) (5) 6

7 Eingangswiderstand: Z e = R R 2 r BE (52) (53) Ausgangswiderstand: Temperaturabhänigkeit des Arbeitspunktes Z a = r CE R C (54) (55) 5.2 Feldeffekttransistor (FET) U BE 2mV/K T (56) Der FET verhält sich bis zu einer gewissen Drain-Source-Spannung fast wie ein ohmscher Widerstand, dessen Wert sich mit der Gate-Source-Spannung einstellen läßt. D. h. mit steigender DS Spannung steigt auch der Strom (I D ) durch den Transistor. Ab einer gewissen DS Grenzspannung (Abschnürgrenze U GS = U DS ) bleibt der Strom konstant. Oberhalb der Abschnürgrenze läßt sich der Strom des Transistors mit der GS Spannung einstellen. U GT ist die Gate-Schwellen-Spannung. Verlauf der Abschnürgrenze I Dp = K/2 U 2 DS (57) Ohmscher Bereich I D = K ((U GS U GT ) U DS /2 U 2 DS) (58) Oberhalb der Abschnürgrenze (U DS U GS U GT, U GS U GT ) I D = K/2 (U GS U GT ) 2 (59) Steilheit der Übertragungskennlinie (I D = f (U GS )) Gilt nur für den Abschnürbereich, also: (U DS U GS U GT, U GS U GT ) S = K (U GS U GT ) (60) 7