3. Elektrischer Strom

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1 3. Eletrischer Strom in diesem Kapitel nur stationäre Ströme = Gleichströme a) Stromstäre 3.1. Stromstäre und Stromdichte eletrischer Strom ist Ladungstransport Betrachte Leiter mit Querschnitt und angelegter Spannung U U ist mit eletrischen Feld E vernüpft E wirt Kraft auf Ladungsträger Q aus Stromfluss Definition Stromstäre I: Ladungsmenge dq, die pro Zeit dt durch Querschnitt des stromführenden Leiters fließt (Stromrichtung Querschnitt): dq I [I] = s/s = = mpere dt Beachte: I entlang E, deshalb entspricht I Bewegung der positiven Ladungsträger! b) Stromdichte Die Stromdichte j ist Strom der pro Querschnittsfläche des Leiters fließt. Der Vetor der Stromdichte j gibt Bewegungsrichtung der positiven Ladungsträger an. j ist in Richtung der Normalen zum Fächenelement da : di j e bzw. a da I j da mit da e [j] = /m 2 a da 1

2 c) Driftgeschwindigeit Driftgeschwindigeit v D ist Geschwindigeit der Ladungsträger unter Wirung eines E -Feldes (Geschwindigeit des eletrischen Stromes) dx = v D dt dq I I qnv D j qnvd dt Driftgeschwindigeit v D : bzw. n Ladungsträgeronzentration Ladung dq die durch Querschnitt in Zeit dt fließt: dq = q n dv = q n v D dt j qnv D v ( - Raumladungsdichte) v D j j qn D Beachte: - vd veff ( v eff - effetive bzw. thermische Geschwindigeit der Ladungsträger, trägt nicht zum Strom bei) - Bei Existenz von Ladungen mit verschiedenen Vorzeichen (Halbleiter, Gasentladung) ist die Gesamtladungsdichte n q n q gesamt und die Gesamtstromdichte j n q v n q v mit D D v D v D 2

3 d) Kontinuitätsgleichung (in nalogie zum Massenstrom bei Fluiden, vgl. Mechani Kapitel ) Betrachten pro Zeiteinheit dt aus Volumen V durch Fläche ausströmende Ladung dq: dq dt I j da mit Q dv V (Ladung strömt aus V aus: Minus-Zeichen) geschlossene Integationsfläche Gausscher Integralsatz: V jda dv t V jda div jdv V div jdv t V dv allgemeine Kontinuitätsgleichung: div j 0 t (Ladungserhaltung!) für stationäre Ströme ( E, j const. ): 0 E da Q ums const. spezielle Kontinuitätsgleichung: div j 0 t 0 für stationäre Ströme (Was rein geht, muss auch wieder heraus! Es gibt eine Strom-Quellen und eine Strom-Senen ) 3

4 3.2. Widerstand und Leitfähigeit Ohmsches Gesetz a) Widerstand Eletrischer Leiter (Draht) mit Querschnitt und Länge l. Welcher Zusammenhang besteht zwischen I und U? Experiment: Strom-Spannungsennlinie eines Ohmschen Widerstandes (I U) Ergebnis: I U Strom-Spannungs-Kennlinie: Ohmsches Gesetz: I 1 U mit eletrischen Widerstand: R R [R] = V/ = = Ohm Ursache (U) und Wirung (I) Beachte: Ohmsches Gesetz ist ein Spezialfall und im allgemeinen nicht erfüllt (im allg.: R = R(I) ) Von was hängt R ab? Experiment: Ohmscher Widerstand ( I l -1, : I ) Ergebnis: R l -1 s l R mit spezifischen Widerstand s [ s ] = m 4

5 b) Leitfähigeit Leitfähigeit: 1 s l R [] = (m) -1 Bsp.: eletrischer Leiter (Draht) mit Länge l und Querschnitt Strom: I j da j Spannung: U l Er dr E l 0 Ohmsches Gesetz: U = R I l E l = R j j E mit Stromdichte entlang E - Feld R alternative Schreibweise für Ohmsches Gesetz: j E mit j qnv folgt E D qnvd und somit v D E qn bzw. E mit Ladungsträgerbeweglicheit v D [] = m 2 /Vs qn 5

6 Eletrische Leistung Strom fließt durch Widerstand R, Ladungsträger müssen rbeit verrichten, rbeit wird von Spannungsquelle geliefert - rbeit W, die geleistet wird, wenn Ladungsmenge Q Potentialdifferenz U (Spannung) durchläuft: 2 2 W Fdr Q Edr QU [W] = Vs = J = Joule Leistung (rbeit pro Zeit): W Q P U UI [P] = V = Js -1 = W = Watt t t mit U = R I (ohmsches Gesetz): P UI I 2 2 U R R Beachte: Die rbeit, die der Strom leistet, wird im Widerstand in Wärmeenergie ( Joulesche Wärme ) umgewandelt: W W th Beispiele: Tauchsieder, eletrischer Wasserocher, Rotlichtlampe 6

7 3.3. Gleichstromreise Kirchhoffsche Gesetze a) Knotenregel j 3 da3 0 geschlossene Integrationsfläche j 1 da1 0 Kontinuitätsgleichung für stationäre Ströme: div j 0 (Gausscher Integralsatz) div j dv j da 0 V 4 j da I 0 Knotenregel: I 0 Die Summe aller Ströme, die in den Knoten münden, ist Null. Experiment: - Demonstration Knotenregel 7

8 b) Maschenregel - Spannungen positiv in Uhrzeigersinn zählen (I > 0) - eingefügte (eingeprägte) gerichtete Spannung (Urspannung an Spannungsquelle) U 4 = U 0 zeigt vom höheren zum niedrigeren Potential ( U 0 > 0 für + -) - Spannungsabfälle U i = R i I an Widerständen zeigen ebenfalls vom höheren zum niedrigeren Potential ( U i > 0 für + -) entlang positiven I > 0 Spannungsabfall z. Bsp. über Widerstand R 1 : U da aber Coulomb-Kraft F dr q E dr 0 c Masche Masche 1 a E dr b b a E dr F c qe onservative Kraft ist, muss gelten: also auch E dr 0 Masche somit folgt E dr U U U U 0 Masche dr U Masche Maschenregel: U 0 1 E 0 2 Die Summe aller Spannungsabfälle in einer Masche ist Null. Experiment: - Demonstration Maschenregel 3 4 8

9 nwendungen - Gleichstromreise a) Spannungsteiler s l s x R Rx U R IR U x IRx U U x R Rx R x l Maschenregel: U R U 0 0 U R U 0 U U x U l x R 0 x l Experiment: - Spannungsteiler b) Widerstandsnetzwere Reihenschaltung Maschenregel: IR IR IR U Vgl. mit Ohm- Gesetz U U R 0 0 R I U0 0 R I R I gesamt gesamt R Experiment: - Widerstände in Reihenschaltung 9

10 Parallelschaltung Maschenregel: -R 1 I 1 + R 2 I 2 = 0 -U 1 + U 2 = 0 U 1 = U 2 = U = U 0 I = U 0 /R Knotenregel: I g I 1 I 2 I 3 = 0 1 I g I U0 R Vgl. mit Ohm- Gesetz (R= U/I) I U / R g 0 gesamt 1 1 R gesamt R Experiment: - Widerstände in Parallelschaltung 10

11 c) Innenwiderstand einer Spannungsquelle Ersatzschaltbild einer Spannungsquelle U o = Leerlaufspannung (Urspannung) R i = Innenwiderstand z. Bsp. bedingt durch Leitungen innerhalb der Spannungsquelle Spannungsquelle mit Lastwiderstand R 0 = U o R i I U U U R I 0 = U o R i I RI daraus folgt o i I Uo R R i und U U or ( mit U = RI) R R i Experiment: Innenwiderstand einer Spannungsquelle, Messe I(R), U(R), zeige U = U 0 R i I Kurzschluss, R = 0: U R i begrenzt Strom 0 I R i Leerlauf, R >> R i : U = U 0 Verbraucherspannung = Urspannung 11

12 Experiment: Leistungsanpassung, maximale Leistung am Verbraucherwiderstand wenn R = R i npassung: Leistung an R: P U RI R RI Leistungsanpassung: dp aus 0 folgt: bei R = R i maximale Leistung dr 2 U 0 Pmax am Lastwiderstand 4 R i 2 R 2 U0 i R R 2 12

13 d) Wheatstone-Brüce Widerstandsmessung von unbeannten Widerstand R d durch Vergleich mit beannten Widerständen R a, R b, R c Gesucht ist R d Bei Stromlosigeit, I G = 0, muss gelten: lins rechts I a = I b (Knoten oben) I c = I d (Knoten unten) I a R a + I c R c = 0 I b R b + I d R d = 0 I a R a = - I c R c (II) I b R b = - I d R d (I) I b R a = - I d R c (II)/(I) Rb Rd R brc Rd Ra Rc Ra Experiment: - Wheatstone-Brüce 13

14 3.4. Leitungsmechanismen 14

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