Gleichstromtechnik. Vorlesung 8: Knoten- und Maschenregel. Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann

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1 Gleichstromtechnik Vorlesung 8: Knoten- und Maschenregel Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann

2 Maschen- und Knotenregel Begriff des Zweipols In technischen Aufgabenstellungen werden Zweipole zu beliebigen Netzwerken zusammengeschaltet I 3 U 3 Grundlage für die Beschreibung der Beziehungen zwischen Strom und Spannung sind die Kirchhoffschen Regeln A I R 2 R R2 B I R 5 5 C Sie wurden 1845 als Knotenpunktsatz und Maschensatz von Gustav Robert Kirchhoff hergeleitet UA U 1 I 1 U B I R 4 R 4 I R6 R 6 I 7 UC Kirchhoffschen Sätze werden auch Knoten- und Maschenregel genannt und im Folgenden behandelt Grundlage dazu sind die Begriffe Knoten, Zweige und Maschen Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 2

3 Knotenregel Knoten in elektrischen Netzwerken Punkte, an die mehrere Bauelemente angeschlossen sind, werden als Knoten bezeichnet I 4 I 3 Alle Anschlüsse, die leitend mit einem Knoten verbunden sind, gehören zu diesem Knoten und liegen auf demselben Potential I 5 I 1 I 2 Ströme durch Zweipole verzweigen sich ausschließlich an Knoten In jedem der angeschlossenen Zweige fließt ein Strom I n Zur einheitlichen Formulierung der Knotenregel werden zunächst alle Ströme I 1... I N, die aus dem Knoten heraus gerichtet sind, positiv gezählt I 3 I I 1 4 I 2 I 5 Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 3

4 Knotenregel Beispiel: Knoten in elektrischen Netzwerken Netzwerkknoten müssen im Schaltbild nicht notwendigerweise durch einen einzigen Sammelpunkt gekennzeichnet sein U 2 Knoten A Einzelne Verzweigungspunkte können zu einem Knoten zusammengefasst werden, wenn zwischen ihnen keine Zweipole, sondern nur widerstandsfreie Verbindungslinien liegen Knoten D wird in der Literatur nicht zwangsläufig als Knoten gezählt, da sich der Strom bei weniger als drei angeschlossenen Bauelementen nicht verzweigen kann Knoten B R2 R3 Knoten C R1 U1 R4 R5 R6 Knoten E Knoten D Programme wie Spice betrachten diesen Punkt jedoch als Knoten, wird er auch in diesem Buch als Knoten aufgeführt Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 4

5 Knotenregel Herleitung der Knotenregel Zur Herleitung der Knotenregel wird ein Koten als Volumen betrachtet und die Kontinuitätsgleichung angewendet, sie führt die zeitliche Änderung der Ladungsdichte auf die Stromdichte zurück dq dt A J d A 0 Die in einem Volumen V enthaltene Ladung Q ändert sich nach der Kontinuitätsgleichung nicht, wenn das Integral der Stromdichte J aus der Oberfläche A des Volumens null ist Ladung im Volumen des Knoten ändert sich nicht, wenn keine unausgeglichenen Ströme durch die Hüllfläche des Knotenvolumens fließen Auswertung des Innenproduktes über das Produkt der beiden Beträge mit dem Kosinus des Zwischenwinkels, bei bekanntem Winkel zwischen dem Vektor der Stromdichte und der Hüllfläche lässt sich dieses Produkt berechnen. J d A cos J da Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 5

6 Knotenregel Herleitung der Knotenregel Produkt von Stromdichte J und Fläche A entspricht einem Strom, bei Netzwerken fließen Ströme über einzelne Leitungen, vereinbarungsgemäß sind die Ströme wie der Normalenvektor des Flächenelementes nach außen gerichtet, sodass der Kosinus des Zwischenwinkels cos() = 1 ist Überlegungen führen zur Knotenregel: Summe aller in den Knoten hineinfließenden Ströme ist gleich null I 3 I I 1 4 I 2 I1 I2 I3 I4 I5 0 I 5 A J d A I I... I I N N n n1 Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 6

7 Knotenregel Herleitung der Knotenregel Häufig sind in einem Netzwerk bereits die Strompfeile eingetragen, bevor eine Knotengleichung aufgestellt wird Zweipole liegen zwischen zwei Knoten, Zweipolstrom fließt in einen Knoten hinein, aus dem anderen Knoten fließt er heraus Ströme werden teilweise aus dem Knoten heraus und teilweise in den Knoten hinein positiv gezählt Fließt der Strom in den Knoten hinein, fließt er entgegengesetzt zum Normalenvektor des Flächenelementes, der Kosinus des Zwischenwinkels ist cos() = - 1, sodass die in den Knoten hinein fließenden Ströme negativ und die aus dem Knoten heraus fließenden Ströme positiv gezählt werden I 3 I I 1 4 I 2 I1 I2 I3 I4 I5 0 I 5 Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 7

8 Knotenregel Herleitung der Knotenregel Alle in den Knoten fließenden Ströme können auf eine Seite und alle aus dem Knoten herausfließenden Ströme auf die andere Seite der Gleichung gebracht werden I 3 I I 1 4 I1 I3 I5 I2 I4 I 2 I 5 Damit ergibt sich die übliche Formulierung der Knotenregel: Summe der in einen Knoten hineinfließenden Ströme ist genauso groß wie die Summe der aus dem Knoten herausfließenden Ströme I1 I2 I3 I4 I5 0 Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 8

9 Knotenregel Erweiterte Knotenregel Grundlage für die Knotenregel ist die Kontinuitätsgleichung I 1 I 2 Sie gilt nicht nur für Knoten, sondern für beliebige geschlossene Volumina R1 U Damit lässt sich auch für einen größeren Schaltungsteil, der von einer geschlossenen Hüllfläche umgeben ist und keine Ladungen sammelt, eine Knotengleichung aufstellen I 3 R 2 I 4 Erweiterte Knotenregel I1 I3 I2 I4 Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 9

10 Maschenregel Maschen in elektrischen Netzwerken Verbindungen zweier Knoten mit einem Zweipol werden als Zweige bezeichnet, zwei Knoten dürfen auch über mehrere Zweipole miteinander verbunden sein Ein geschlossener Weg in einem Netzwerk über mehrere Zweige wird als Masche bezeichnet Anfangs- und Endknoten sind identisch jeder Knoten und jeder Zweig darf nur einmal durchlaufen werden U 2 R2 R3 R1 U1 R4 R5 6 Masche R Um Spannungen vorzeichenrichtig bewerten zu können, wird der Masche ein Umlaufsinn gegeben, es wird der Uhrzeigersinn gewählt Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 10

11 Maschenregel Herleitung der Maschenregel Nach dem Induktionsgesetz berechnet sich die elektrische Zirkulation über die Randkurve einer Fläche A aus der negativen zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses durch die Fläche s B E ds d A t A Gleichstromtechnik: zeitliche Änderung des magnetischen Flusses und induzierte Spannung sind null s E ds 0 In Netzwerken wird mit diskreten Bauelementen gearbeitet, Umlaufintegral wird zu einer Summe, bei der jeder Summand einem Bauelement entspricht s M E ds E L cos 0 m1 m m Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 11

12 Maschenregel Herleitung der Maschenregel Produkt von elektrischen Feld E und Länge L entspricht beim homogenen Leiter eine Spannung, Stimmen die Richtung des elektrischen Feldes E und der Umlaufsinn ds überein, ist der Kosinus des Zwischenwinkels cos() = 1 U 3 U2 U4 M M M E L cos E L U 0 U1 m m m m m m1 m1 m1 U 5 Masche wird ein Umlaufsinn im Uhrzeigersinn zugeordnet, alle Spannungen an den Zweigen im Umlaufsinn der Masche werden damit positiv gezählt, Summe aller Spannungen dieser Masche null U U m m1 U U... U U 0 Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 12

13 Maschenregel Herleitung der Maschenregel Häufig sind in einem Netzwerk aber bereits die Spannungspfeile eingetragen, bevor eine Maschenumlaufrichtung festgelegt wird Auch für diesen Fall gilt grundsätzlich die Maschenregel, allerdings muss die Zählrichtung der Spannungspfeile berücksichtigt werden U 3 U2 U4 Alle im Umlaufsinn liegenden Spannungen werden positiv gezählt, die entgegengesetzt zum Umlaufsinn liegenden Spannungen werden wegen cos() = - 1 negativ gezählt U 1 U U 7 6 U 5 U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 0 Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 13

14 Maschenregel Erweiterte Maschenregel Spannungsabfall U m ist nicht zwangsläufig an ein physikalisch vorhandenes Zweigelement gebunden Verallgemeinert kann formuliert werden, dass auch solche Zweige in einen Maschenumlauf einbezogen werden können, die nicht an physikalische Elemente gebunden sind Zweige werden als fiktive Zweige, die Maschenregel in diesem Fall als erweiterte Maschenregel bezeichnet U2 U4 U 1 U 3 U A U U 7 6 U 5 U U U U U A 7 0 Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 14

15 Potenziale von Schaltungspunkten Energie und Spannung Liegt an einem Zweipol eine elektrische Spannung an, entsteht ein elektrisches Feld und dadurch eine Kraftwirkung auf Ladungen, die zu deren Bewegung führt, Energie wird zugeführt oder freigesetzt W12 W1 W2 Q U12 Elektrische Spannung ist die Differenz der an den Knoten herrschenden Potenziale U Potential kennzeichnet die potenzielle Energie einer positive Ladungen im Punkt 1 beziehungsweise 2 gegenüber einem beliebig gewählten Bezugspunkt Nicht die absolute Höhe des Potenzials ist wichtig, sondern der Potenzialunterschied an den einzelnen Schaltungselementen Bei der Netzwerkberechnung wird einem willkürlichen Schaltungsknoten das Potential = 0 V mit dem Energieniveau null zugeordnet, dieser Knoten hat dann definitionsgemäß die Spannung U = 0 V, er wird als Bezugsknoten oder als Masse bezeichnet Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 15

16 Potenziale von Schaltungspunkten Bezugsknoten oder Masse Kennzeichnung des Knotens mit dem Potential = 0 V erfolgt über ein Massesymbol Durch die Festlegung eines beliebigen Knoten als Masseknoten können in einer Schaltung Spannungen zwischen den Netzwerkknoten und diesem Masseknoten auftreten, die sowohl positiv als auch negativ sein können Spannungen von einem beliebigen Knoten zu diesem Bezugsknoten werden üblicherweise vom Knoten zum Bezugsknoten gerichtet U 1 U 3 U2 U4 U A U U 7 6 U 5 Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 16

17 Maschen- und Knotenregel Zusammenfassung Knotenregel, alle Strompfeile gehen aus dem Knoten heraus I I... I I N N n n1 Maschenregel, alle Spannungspfeile zeigen in Richtung des Maschenumlaufs 1 2 M m1 U U... U U 0 M m Bezugsknoten Ein beliebiger Punkt einer Schaltung kann als Bezugsknoten definiert werden. Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 17

18 Maschen- und Knotenregel Beispiel: Schaltungsberechnung mit Maschen- und Knotenregel Rechnen mit Maschen- und Knotenregeln wird an einem Beispiel verdeutlicht Für die Schaltung soll die Spannung am Widerstand R 3 berechnet werden R 1 R I 2 1 I 2 Vorgehen: Aufstellen der Knotengleichung Zweipolbeziehung nutzen Maschengleichung verwenden Auflösen I 3 UR1 U R 2 U U 1 R3 R 3 U2 Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 18