Maxwell-Gleichungen (1873) Boltzmann: Es war ein Gott der diese Zeichen schrieb?

Transkript

1 Literatur Feynman: Vorlesungen über Physik, Band II, Oldenbourg H. Vogel: Gerthsen Physik, Springer H.J. Paus: Physik in Experimenten und Beispielen, Hanser P.A. Tipler/R.A. Llewellyn: Moderne Physik, Oldenbourg Bergmann/Schaefer: Lehrbuch der Experimentalphysik II

2 Maxwell-Gleichungen (1873) Boltzmann: Es war ein Gott der diese Zeichen schrieb?

3 1. Elektrostatik Gegenstand: Zeitlich konstante Ladungen und elektrische Felder Elektrisch ~ Elektron ~ Bernstein

4 1.1 Das Coulomb sche Gesetz Erfahrungstatsachen: Körper haben neben ihrer Masse auch eine Ladung Q. Q kann positiv, negativ oder null sein. Q ist gequantelt. Q tritt in ganzzahligen Vielfachen der Elementarladung auf: e = 1, C (Coulomb) (Ladung des Elektrons bzw. Protons) Zwischen 2 Ladungen Q 1 und Q 2 wirkt eine Kraft entlang ihrer Verbindungslinie, die mit dem Quadrat des Abstandes abnimmt.

5 Coulomb-Kraft z Q 1 n 12 y r 1 Q 2 r2 x Einheitsvektor Internationales Maßsystem: 0 = 8, C 2 J -1 m -1, Influenzkonstante Maßeinheit von F 12 : 1 J m -1 = 1 N = 1 kg m s -2 Beachte: F 12 ist Kraft, die Q 2 auf Q 1 ausübt. actio=reactio: F 21 =-F 12 Gleichartige Ladungen stoßen sich ab, unterschiedliche ziehen sich an.

6 1.2 Das elektrische Feld Q 1 =Q sei eine Probeladung, die das von der Ladung Q 2 =Q erzeugte Kraftfeld F(r) tested. Das elektrische Feld, das auf Q im Punkt r wirkt, ist definiert durch E ist also die Kraft pro Einheitsladung Q = 1 C [E]=N C -1 = V m -1, 1 V = 1 Volt = 1 N m C -1 = 1 J C -1 Das elektrische Feld ist ein Vektorfeld, d.h. an jedem Ort r hat es einen bestimmten Betrag und eine bestimmte Richtung. (Es ist auch ohne die Probeladung vorhanden.)

7 Das Überlagerungsprinzip Die Felder mehrerer Ladungen addieren sich zu einem Gesamtfeld Im kleinen Volumenelement dv am Ort r j sei die Ladung dq j vorhanden. dv dqj r j Mit der kontinuierlich verteilten Ladungsdichte folgt

8 Volumenintegral: Berechnung des von einer beliebigen Ladungsverteilung generierten Feldes. 3 Gleichungen für 3 Komponenten E=(E x,e y,e z ) am Ort r=(x,y,z) E(r) r (r ) r analog E y und E z.

9 1.3 Der elektrische Fluss konstantes (homogenes) elektrisches Feld Fläche A senkrecht zum Feld. gekippte Fläche A Oberflächennormale Verallgemeinerung: da sei ein infinitesimal kleines Flächenelement, so dass hier E = const. gerichtetes Element: da = n da, n: Einheitsvektor Flächennormale Fluss durch da: d = E da jede beliebige endliche Fläche A ist aus einzelnen da aufgebaut Fluss durch A ist Summe aller d, also das Flächenintegral

10 Es ist wichtig, ob A einen Rand hat oder geschlossen ist. Beispiel: homogenes Feld (immer auswärts gerichtet) geschlossene Fläche: anschaulich: misst die Differenz zwischen dem Feld, welches in das von A umschlossene Volumen V(A) ein- und hinausdringt. Später: 0 erfordert Quellen und Senken in V. (1. MW-Gleichung)

11 Beispiel: Punktladung Q Der Fluss durch jede Kugelfläche mit Q im Zentrum hat den Wert E Beweis: r Q>0 in jedem Punkt von A: E auf A mit Radius R: E n =r/r 1/R 2 = const. Flächeninhalt von A ~ R 2 = const. Rechnerisch:

12 Verallgemeinerung für beliebige geschlossene Fläche in 4 Schritten 1. Radiales Volumenstück, das Q nicht enthält. auf den radialen Flächen: Fläche A also gesamt = Stirnflächen Fächennormalvektor Punktladung Q weil n a =-n b wegen 1/r 2 -Abhängigkeit von E

13 2. Gekippte Stirnflächen statt E muß nun Normalkomponente E n eingesetzt werden Fläche A a b weil der Inhalt der Flächen genauso zunimmt, wie E n abnimmt Punktladung Q

14 3. Mit solchen Volumenelementen kann, wenn die Stirnflächen nur genügend klein gemacht werden, jedes beliebige Volumen konstruiert werden. Beispiel eines Zylinders Fläche A Folgerung: Der Fluss durch eine beliebige geschlossene Fläche, welche die Ladung nicht enthält, verschwindet.

15 4. Volumenelement, das die Ladung enthält nun gilt Q weil n a E a und n b E b i.a. 0 durch bel. geschl. Fläche, die Q enthält Wert des Integrals: A A Hilfskugel A mit Q im Zentrum ~ Hilfsschnitt: 2 Volumen mit Oberflächen A ~ und A, die beide Q nicht enthalten A ~ ~ A wegen n~ A = - n~ A auf Schnittfläche

16 Der Fluß durch eine beliebige geschlossene Fläche, welche eine Punktladung enthält, ist immer. Wie die Felder so addieren sich nach dem Überlagerungsprinzip auch die Flüsse verschiedener Punktladungen. Die Verallgemeinerung für eine kontinuierliche Ladungsverteilung ist daher: Für den el. Fluß durch eine beliebige geschlossene Fläche A gilt wenn A Ladungen einschließt wenn A keine Ladungen einschließt Dabei ist Q nun die Gesamtladung im von A eingeschlossenen Volumen V.

17 Mit dem Flusssatz lassen sich Felder in einfachen Symmetrien schnell berechnen.