Polarisierung und Magnetisierung

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1 Übung 2 Abgabe: bzw Elektromagnetische Felder & Wellen Frühjahrssemester 2017 Photonics Laboratory, ETH Zürich Polarisierung und Magnetisierung 1 Mathematische Grundlagen (45 Pkt.) (a) (4 Pkt.) Zeigen Sie die Identität A (B C) = B(A C) C(A B). (1) (b) (4 Pkt.) Zeigen Sie, dass gilt A [B C] + B [C A] + C [A B] = const. (2) und bestimmen Sie die Konstante. (c) (4 Pkt.) Zeigen Sie, dass gilt A = A 2 A. (3) (d) (4 Pkt.) Zeigen Sie, dass gilt A (B C) = (A B) C. (e) (4 Pkt.) Zeigen Sie, dass gilt (1/r) = n r /r 2. (f) (10 Pkt.) Zeigen Sie, dass f(r) = dv g(r ) 4π r r die Poissongleichung 2 f(r) = g(r) (4) löst. Hinweis: Zeigen Sie zunächst die Identität R = 4πδ(R) indem Sie den Ausdruck über ein R 3 geeignetes Volumen integrieren und Gebrauch von der Definition der δ-funktion dv δ(r) = 1 machen. (g) (15 Pkt.) Zeigen Sie, dass sich jedes Vektorfeld G(r) in eine divergenzfreie, sogenannte transversale, Komponente G t = U, sowie eine rotationsfreie, sogenannte longitudinale, Komponente G l = K separieren lässt, so dass also gilt G(r) = G t (r) + G l (r), (5) G t (r) = G l (r) = 0, (6) 1

2 wobei die Funktionen G t und G l gegeben sind durch G t = 1 G 4π V r r dv, (7) G l = 1 G 4π r r dv. (8) V Hinweis: Betrachtung der Fouriertransformierten Ĝ(k) der Funktion G(r) sollte hilfreich sein. Bedenken Sie, dass mit der Fouriertransformation FT gilt FT [ G] = k Ĝ, sowie FT [ G] = k Ĝ. 2 Vektorpotential (optional) (a) ( Pkt.) Argumentieren Sie, warum ein Vektorpotential A existieren muss, aus dem sich das Magnetfeld B errechnen lässt laut B = A. (9) (b) ( Pkt.) Zeigen Sie, dass unter der Annahme der Divergenzfreiheit von A das Vektorpotential die Poissongleichung erfüllt 2 A = µµ 0 j. (10) Die Quellen des Vektorpotentials, und damit der magnetischen Felder, sind somit die Ströme. (c) ( Pkt.) Begründen Sie, warum die Annahme A = 0 stets zulässig ist. 2

3 3 Magnetfeld einer rotierenden Kugel mit Oberflächenladung (30 Pkt.) Die mikroskopischen Maxwell-Gleichungen beschreiben die Phänomene des Elektromagnetismus bei Kenntnis aller Ladungen und Ströme. Eine Schwierigkeit besteht in der Bestimmung jener Ladungen und Ströme, die aus der Reaktion der Materie entstehen. In dieser Aufgabe betrachten wir eine Kugel mit einem ringförmig umlaufenden Oberflächenstrom und machen uns klar, dass die Felder einer homogen magnetisierten Kugel gerade durch einen solchen Oberflächenstrom beschrieben werden können. Wir betrachten eine Kugelschale mit Radius R, die eine homogene Oberflächenladungsdichte σ trägt und mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotiert. Eine Oberflächenstromdichte K = σv, wobei v die Geschwindigkeit der Ladungsträger bezeichnet, generiert das Vektorpotential A(r) = µ 0 4π V K(r ) r r da, (11) Der gesamte Raum und die Kugel seien von Vakuum gefüllt. In dieser Aufgabe zeigen wir, dass das durch die rotierende Kugel generierte Vektorpotential lautet { µ0 Rσ 3 (ω r), for r < R, A(r) = (12) µ 0 R 4 σ (ω r), for r > R. 3r 3 Wählen Sie hierzu zunächst das Koordinatensystem so, dass der Mittelpunkt der rotierenden Kugel am Ursprung liegt, der Beobachtungspunkt r auf der z-achse und die Rotationsachse in der xz-ebene. Der vom Rotationsvektor ω mit der z-achse eingeschlossene Winkel laute ψ. (a) (3 Pkt.) Zeigen Sie, dass gilt r r = R 2 + r 2 2Rr cos θ (13) wobei die gestrichenen Koordinaten R, θ, φ den Punkt r auf der Kugeloberfläche beschreiben. (b) (3 Pkt.) Formulieren Sie die Geschwindigkeit v unter Verwendung kartesischer Einheitsvektoren und sphärischer Koordinaten R, ψ, θ, φ. (c) (4 Pkt.) Zeigen Sie, dass für das Vektorpotential gilt A(r) = n y µµ 0 R 3 σω sin ψ 2 π 0 cos θ sin θ R 2 + r 2 2Rr cos θ dθ. (14) (d) (2 Pkt.) Bestimmen Sie nun das Vektorpotential A innerhalb und ausserhalb der Kugel. Hinweis: Folgendes Integral sollte hilfreich sein 1 u du R 2 + r 2 2Rru = + r 2 + Rru 1 R2 R 3R 2 r r 2 2Rru. (15) 1 (e) (5 Pkt.) Gehen Sie ab sofort davon aus, dass der Rotationsvektor entlang der n z -Achse liegt. Bestimmen Sie das magnetische Feld B innerhalb und ausserhalb der Kugel in sphärischen Koordinaten und unter Verwendung sphärischer Einheitsvektoren. Zeigen Sie weiterhin, dass das Feld innerhalb der Kugel homogen ist und entlang einer der kartesischen Koordinatenachsen zeigt. 1 3

4 (f) (5 Pkt.) Sie kennen aus Übung 1 bereits den elektrischen Punktdipol. Sein magnetisches Gegenstück ist der magnetische Punktdipol, den wir als infinitesimalen Ringstrom I um die Fläche A im Grenzwert I, A 0 mit m = IA = const. beschreiben können. Das Vektorpotential eines statischen magnetischen Punktdipols lautet A dip (r) = µ 0 m n r 4π r 2. (16) Zeigen Sie, dass die Kugel aus Aufgabenteil ausserhalb ihres Volumens exakt das Feld eines Dipols, gelegen am Ursprung, generiert. Bestimmen Sie das Dipolmoment m der Kugel. (g) (8 Pkt.) Eine geschlossene Leiterschleife, die die Fläche A mit Normalenvektor n A einschliesst, und in der ein Strom I fliesst, erzeugt ein Feld, das dem eines magnetischen Dipols mit Dipolmoment m = IAn A entspricht. Bestimmen Sie mit dieser Information nochmals das Dipolmoment der Kugel, indem Sie die Kugel als Konstrukt aus unendlich vielen, infinitesimalen Leiterschleifen beschreiben. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis für m mit jenem aus Teilaufgabe (f). 4 Plattenkondensator (25 Pkt.) Elektrische Felder polarisieren Materie. Diese Polarisation generiert wiederum Felder, mit denen wir uns in dieser Aufgabe beschäftigen. Wir betrachten zunächst einen Plattenkondensator mit Fläche A und Plattenabstand d, wobei d viel kleiner sei als jegliche Ausdehnung der Platten (s. Abb.). Auf den Platten befinden sich die Ladungen bzw. Q. Das Medium zwischen den Platten sei beschrieben durch die dielektrische Konstante ε. d d A ε d A 1 A 2 ε 1 ε 2 a b c ε a A ε b ε c x ε 2 ε 1 l F grav (a) (3 Pkt.) Bestimmen Sie mit Hilfe des Gauss schen Gesetzes D da = Q das elektrische Feld E(r) = D(r)/εε 0 im Plattenkondensator. (b) (4 Pkt.) Berechnen Sie die Energiedichte w des mit ±Q geladenen Kondensators, indem Sie die Arbeit W berechnen, die zum Erreichen dieser Ladung notwendig ist. Zeigen Sie, dass w = 1 2 D E gilt. (c) (4 Pkt.) Bestimmen Sie unter Verwendung des Gauss schen Gesetzes die Kapazität eines Plattenkondensators, bei dem eine Teilfläche A 1 mit einem Dielektrikum mit dielektrischer Konstante ε 1 und die verbleibende Teilfläche A 2 mit einem Medium mit ε 2 gefüllt ist (s. Abb.). (d) (4 Pkt.) Bestimmen Sie unter Verwendung des Gauss schen Gesetzes und der Definition der Spannung die Kapazität eines Plattenkondensators, in dem eine Schichtstruktur aus drei Medien mit Dielektrizitätskonstanten ε a, ε b und ε c mit zugehörigen Dicken a, b und c eingebracht ist (s. Abb.). 4

5 (e) (8 Pkt.) Wir betrachten nun einen Plattenkondensator mit Plattenabstand d, Länge L und Breite w in einem Gas mit dielektrischer Konstante ε 2 mit einer frei beweglichen Platte eines Dielektrikums mit Dielektrizitätskonstante ε 1 > ε 2 und Dichte ρ, die genau in den Kondensatorspalt passt. Es befinde sich die Ladung Q auf dem Kondensator. Bestimmen Sie die Höhe x, auf der die Platte gegen die Schwerkraft vom Kondensatorfeld gehalten wird. (f) (2 Pkt.) Berechnen Sie, wie die Gleichgewichtsposition einer Glasplatte mit der Dichte von Wasser und Dielektrizitätszahl ε glas = 5 in einem luftgefüllten Plattenkondensator mit Dimensionen l = w = 10 cm und Spaltdicke d = 1 cm, wenn sich auf dem Kondensator Elementarladungen befinden. 5