Übungen zur Klassischen Theoretischen Physik III (Theorie C Elektrodynamik) WS 12-13

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1 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Übungen zur Klassischen Theoretischen Physik III Theorie C Elektrodynamik WS 2-3 Prof. Dr. Alexander Mirlin Blatt 4: Lösungen Dr. Igor Gornyi Besprechung Aufgabe : Kugel =4 Punkte a Da die leitende Kugel geerdet ist, gilt für das Potential im Innenraum K R, φr = 0. Wir berechnen nun das Potential im Außenraum K R C = {r R3 : r > R} mit der Methode der Spiegelladung. Wir fügen eine fiktive Spiegelladung im Innenraum der Kugel hinzu, deren Potential im Außenraum die Laplace-Gleichung erfüllt, also eine homogene Lösung darstellt. Diese Lösung wird so gewählt, dass das Gesamtpotential das Randwertproblem löst. Die Spiegelladung beschreibt dabei das Potential der auf dem Rand des Gebietes K R C induzierten Oberflächenladung. Da das Problem symmetrisch bezüglich Rotationen um die z-achse ist kann die Spiegelladung ebenfalls nur auf der z-achse liegen. Wir bezeichnen die Position der Spiegelladung mit a = a e z, wobei a < R gilt und e z den Einheitsvektor in z-richtung bezeichnet. Das Potential im Außenraum ist nun gegeben durch die Überlagerung beider Potentiale, φr = re z + r e z. Die Konstanten a und sind aus der Randbedingung φ r = R = 0 zu berechnen. Dazu betrachten wir die zwei Punkte r = ±Re z in Gl.. Wir erhalten die beiden Gleichungen a R = R, 2 a+r = a +R. 3 Manerkenntunmittelbar,dasssign = sign gilt.teiltmannungl.2und3 durcheinander so erhält man a = R2 < R. 4 a Einsetzen in Gl 2 gibt die Spiegelladung = R a. 5

2 Wir setzen die Konstanten aus Gl. 4 und 5 in das Potential ein und erhalten φr = re z R/a r R2e a z = a + r2 2 r cosθ R 2 + r2 2 r cosθ 6 a 2 a a 2 R 2 a = a + r2 2 rcosθ. R2 + r2 2 rcosθ R 2 Hierbei haben wir das Potential in Kugelkoordinaten r, ϕ, θ geschrieben, wobei wir r e z = rcosθ benutzen. In der letzten Zeile haben wir die dimensionslosen Variablen r = r/a, R = R/a eingeführt und schreiben = /. b Das elektrische Feld ist gegeben durch Er = φr, wobei wir den -Operator in Kugelkoordinaten verwenden = e r r +e θ r θ +e φ rsinθ φ. 7 Wir wollen das elektrische Feld auf der Kugeloberfläche, also für r ց R berechnen. Das Potential 6 hängt nicht vom Azimutalwinkel ϕ ab, daher verschiwndet die Komponente des elektrisches Feldes in Richtung e φ. Die Ableitung des Potentials nach dem Polarwinkel θ verschwindet ebenfalls auf der Kugeloberfläche, [ ] r sinθ θ φr r R = + r 2 2 rcosθ rsinθ = 0. 3/2 R 2 + r 2 / R 2 2 rcosθ 3/2 r= R 8 Damit ist das elektrische Feld auf der Kugeloberfläche parallel zu e r und gegeben durch φ E r r=r = e r a r = e R 2 r r=r a R[+ R Rcosθ] 3/2 Oder ausgedrueckt durch, R, a, und r, a 2 R 2 Er r=r = e r. 0 R[a 2 +R 2 2aRcosθ] 3/2 c Aus dem Potential 6 ergibt sich die Kraft, welche auf die Punktladung wirkt. Dabei muss die unendliche Selbstwechselwirkung der erste Term in Gl. 6 ignoriert werden. Die Ladung erfährt daher nur die Kraft hervorgerufen durch die Oberflächenladung, welche äuivalent zur Bildladung ist, F = E Bildl. ae z = e r a r = r R+ ar 2 2 rcosθ r=a a R 2 /a 2. R 2 Die Ableitung θ φ verschwindet im Punkt r = a, θ = 0.

3 d Nach dem Gaußschen Gesetz ist die Oberflächenladung σ auf der Kugeloberfläche gegeben durch die Unstetigkeit des elektrischen Feldes an der Grenzschicht mit Normalen ±e r, σ = ǫ 0 e r [Er ց R Er ր R]. 2 Da das elektrische Feld im Innenraum verschwindet erhalten wir mit der Gl. 0 σ Oberfl. = 4π a 2 R 2. 3 R[a 2 +R 2 2aRcosθ] 3/2 Und für die gesamte Oberflächenladung erhalten wir durch Integration von Gl. 3, Q Oberfl. = 4π = 2 a 2 R 2 2a 2π dcosθ 0 2aR 2aR dz dφr 2 a 2 R 2 R[a 2 +R 2 2aRcosθ] 3/2 [a 2 +R 2 z] 3/2 = R a. 4 Wie erwartet ist die gesamte Oberflächenladung gleich der Spiegelladung aus Gl.5. e Wenn die Kugel nicht geerdet ist, sondern auf dem Potential Φ 0 liegt, müssen wir zu dem Potential 6 im Außenraum eine Lösung φ r der Laplacegleichung addieren, welche im Unendlichen Erde verschwindet und auf der Kugeloberfläche den Wert φ 0 annimmt. Diese Lösung ist natürlich gegeben durch die Fundamentallösung φ r = φ 0R r. 5 Das gesamte Potential ist dann gegeben durch φr = a + r2 2 rcosθ + r R+ φ R rcosθ r R 2 f Die Greensche Funktion Gr,r für das Dirichlet sche Randwertproblem auf K R C ist gegeben durch das Potential am Ort r K R C hervorgerufen durch eine Punktladung am Ort r K R C mit Einheitsladung =, welches zusätzlich die Randbedingung Gr,r = 0 für r KR C erfüllt. Wenn wir in Gl. 6, = und a = y setzen ist das Potential die Greensche Funktion für den Spezialfall, dass y auf der z-achse liegt. Die allgemeine Greensche Funktion erhalten wir ganz einfach, indem wir Gl. 6 in rotationsinvarianter Form schreiben Gr,r = = [ r2 +r 2 2r r ] R/r /2 [ r2 + R4 2 R2 r r ] /2 r 2 r 2 [ r2 +r 2 2r r ] /2 [ r 2 r 2 R 2 +R 2 2r r ] /2 Wie auch immer wir unser Koordinatensystem rotieren, die Greensche Funktion hängt nur von dem relativen Winkel zwischen r und r ab und 7 ist bereits die. 7

4 y a b b a x b Abbildung : gesuchte Lösung für allgemeine r, r. Wir erhalten für die Ableitung in normalen Richtung n = e r auf der Oberfläche r = R, n r Gr,r = e r =R r e r r Gr,r r =R = r 2 R 2 8 R[r 2 +R 2 2rRcosθ]. 3/2 Aufgabe 2: Leiterecke =2 Punkte a Die Platten sind leitend, daher darf keine elektrische Feldkomponente in den Platten vorhanden sein. Das Potential ist konstant und wir wählen insbesondere Φ = 0. Wir legen die Punktladung in die xy-ebene und bezeichnen ihre Position mit r 0 = a,b T. DieSpiegelladungenmitLadung± liegendanngemäßderabb.beir = a, b T, r 2 =, b T und r 3 =,b T. Ihre Ladungen sind: =, 2 =, 3 =. b Das Gesamtpotential ist gegeben durch φr = + i r r i = x2 +y b 2 +z 2 x+a2 +y b 2 +z 2 x+a2 +y +b 2 +z. 2 x2 +y +b 2 +z 2 9 And den Rändern des Gebietes ergibt sich φ0,y,z = a2 +y b 2 +z 2 a2 +y b 2 +z 2 + a2 +y +b 2 +z = 0, 2 a2 +y +b 2 +z 2 20

5 φx,0,z = x2 +b 2 +z 2 x+a2 +b 2 +z 2 + x+a2 +b 2 +z 2 x2 +b 2 +z 2 = 0. 2 c Es gilt φ y = φ x=0 z = 0, 22 x=0 φ x = 2a x=0 [a 2 +y b 2 +z 2 ]. 23 3/2 [a 2 +y +b 2 +z 2 ] 3/2 Das elektrische Feld steht also senkrecht auf den Platten und ist für x = 0 gegeben durch 2a E0,y,z = e x [a 2 +y b 2 +z 2 ]. 24 3/2 [a 2 +y +b 2 +z 2 ] 3/2 Und ebenso erhalten wir für die Platte in der xz-ebene, φ x = φ y=0 z = 0, 25 y=0 φ y = b y=0 2πǫ 0 [x 2 +b 2 +z 2 ], 26 3/2 [x+a 2 +b 2 +z 2 ] 3/2 b Ex,0,z = e y 2πǫ 0 [x 2 +b 2 +z 2 ]. 27 3/2 [x+a 2 +b 2 +z 2 ] 3/2 d Die Oberflächnladungsdichte ergibt sich wieder aus dem Sprung des elektrischen Feldes siehe Aufgabe d. Das Feld in den Platten verschwindet und wir erhalten σ0,y,z = a 2π [a 2 +y b 2 +z 2 ], 28 3/2 [a 2 +y +b 2 +z 2 ] 3/2 σx,0,z = b 2π [x 2 +b 2 +z 2 ]. 29 3/2 [x+a 2 +b 2 +z 2 ] 3/2 e Die gesamte Oberflächenladung in der xz-ebene ist gegeben durch Q xz = b + dz dx 2π [x 2 +b 2 +z 2 ] 3/2 [x+a 2 +b 2 +z 2 ] 3/2 = b 2π = b 2π = b 2π a a +a dx dx dz [x 2 +b 2 +z 2 ] 3/2 dz d z dz b 2 +x 2 [x 2 +b 2 +z 2 ] /2 2dx b 2 +x 2 = π +a/b /b dx +x 2 = 2 π arctana/b. 30

6 a b c d Abbildung 2: Die Ladungsdichte in der yz-ebene a und in der xz-ebene b. Abb. c zeigt die Ladungsdichte in den beiden Ebenen für z = 0 in Abh. von x/a und y/b. Die Ladungsdichte in der zx-ebene ist rot dargestellt diejenige in der yz-ebene blau. Abb. d zeigt die Ladungsdichte in Abh. von z für x/a = y/b =. Die Kurven sind berechnet für a/b = 2. Entsprechend erhalten wir in der yz-ebene Q yz = a + dy dz 2π [a 2 +y b 2 +z 2 ] 3/2 [a 2 +y +b 2 +z 2 ] 3/2 = a 2π 0 + b dz b dy = 2 [a 2 +y 2 +z 2 ] 3/2 π arctanb/a. 3 Für a b erhalten wir Q xz und Q yz 0. f Die Punktladung erfährt die Kraft gegeben durch die Spiegelladungen, F = i r r i r r i 3, 32 F x = e x φr = 2 a 4 F y = e y φr = 2 b 4 cosϕ, 33 ρ 3 a 3 sinϕ. 34 ρ 3 b 3 Hierbei bezeichen ϕ,ρ die ebenen Polarkoordinaten der Punktladung in der xy- Ebene: ρ = a 2 +b 2, tanϕ = b/a.

7 g Wir entwickeln die Terme in Gl. 9 für r r i, wobei wir mit r i wieder die Position der i-ten Ladung bezeichnen s. Skizze. r r i = r2 +ri 2 2r r r i r i 2r + 3[r i r i 2r] 2 i r 2r 2 8r 4 = r i r i 2r + 3 r i 4 + 3r2 ir i r + 3r 35 i r 2. r 2r 2 8r 4 2r 4 2r 4 Nur der letzte Term trägt nach der Summe über i bei, da i = i r i = 0, 36 und r 2 i = const gilt. Das Potential für r r i ist damit gegeben durch φr = = 8πǫ 0 3 r 5 = 8πǫ 0 3 r 5 = 3ab 2πǫ 0 r 5 i r r i = r T r T r T i r i r T i r i 3r i r 2 r ab 0 4ab 0 0 r r = 3ab xy πǫ r Aufgabe 3: Keil +3=4 Punkte a Es müssen sieben Spiegelladungen mit Ladung ± gemäß der Abb. 3 verwendet werden. Hierbei sei die Position der Punktladung gegeben durch a,b, wobei b < a gilt. b Das Potential ist gegeben durch die Überlagerung der Potentiale der Punktladung und ihrer Bildladungen, φr = { x2 +y b 2 x2 +y +b 2 x b2 +y + 2 x b2 +y +a 2 x+b2 +y +a + 2 x+a2 +y +b 2 } x+a2 +y b +. 2 x+b2 +y 2 Für x = 0 und für x = y überzeugt man sich leicht, dass das Potential verschwindet. 38

8 a b b b a b Abbildung 3: