Vorlesung: Analysis II für Ingenieure. Wintersemester 07/08. Michael Karow. Thema: Transformationsformel für Gebietsintegrale

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1 Vorlesung: Analysis II für Ingenieure Wintersemester 7/8 Michael Karow Thema: Transformationsformel für Gebietsintegrale

2 Transformation von Gebietsintegralen im 2 (Satz 24 im Skript) Seien, 2 kompakte ereiche, und sei f : stetig. Sei x(u, v) x : 2, x(u, v) = y(u, v) eine stetig diff bare Abbildung, die umkehrbar auf abbildet (mit eventuellen Ausnahmen an den andpunkten von und ). Dann gilt f(x, y) dx dy = f(x(u, v), y(u, v)) (x, y) (u, v) du dv. Dabei ist (x, y) (u, v) = det( x (u, v)) = det x u y u x v y v die Funktionaldeterminante von x. emerkung: Man kann die Variablen u, v als neue Koordinaten für die Punkte in der Ebene 2 auffassen.

3 eispielaufgabe: Sei 2 der ereich, der von den Hyperbeln y = x, y = 4 x und den Geraden y = 4x, y = 9x begrenzt wird. erechne das Integral f(x, y) dx dy, wobei f(x, y) = x3 y. Lösung der Aufgabe durch Anwenden der Transformationsformel auf den nächsten Seiten.

4 Lösung der Aufgabe,. Schritt: Einführung angepasster Koordinaten u, v x(u, v) uv Definiere eine stetig diff bare Abbildung x(u, v) = =. y(u, v) v/u Diese Abbildung bildet den offenen positiven Quadranten + + umkehrbar auf sich selbst ab. Die Umkehrung ist u = x/y, v = xy. Eine Gerade mit v = const, u beliebig, wird dabei auf die Hyperbel y = v 2 /x abgebildet. Eine Gerade mit u = const, v beliebig, wird dabei auf die Gerade y = (/u 2 ) x abgebildet. Für den Integrationsbereich aus der Aufgabenstellung gilt: = x(), = {(u, v) 2 ; /3 u /2, v 2} Die Abbildung x bildet also umkehrbar auf ab. 2.2 uv Ebene 7 xy Ebene u=/3 v=2 v Achse.6.4 y Achse 4 3 u=/2.2 2 v= u Achse x Achse

5 2. Schritt: erechnung der Funktionaldeterminante x(u, v) uv Die Jacobi-Matrix der Abbildung x(u, v) = = y(u, v) v/u x (u, v) = [ x u y u Die Funktionaldeterminante ist daher: x v y v ] == [ v u v/u 2 /u (x, y) (u, v) = det( x (u, v)) = 2v/u 3. Schritt: Einsetzen in die Transformationsformel ist ]. x 3 y dx dy = = (uv) 3 (v/u)(2v/u) du dv = 2 /2 /3 /3 2 u v 5 du dv ( ) /2 ( 2 ) u v 5 du dv = 2 u du v 5 dv = 35/24.

6 Integration in Polarkoordinaten x(ρ, φ) ρ cos(φ) Die Jacobi-Matrix der Polarkoordinatenabbildung x(ρ, φ) = y(u, v) = ρ sin(φ) ist x (r, φ) = [ x ρ y ρ x φ y φ ] = cos(φ) ρ sin(φ). sin(φ) ρ cos(φ) Die Funktionaldeterminante ist daher: (x, y) (ρ, φ) = det( x (ρ, φ)) = ρ Sei = x(), und sei f eine in Polarkoordinaten angegebene Funktion. Dann ergibt die Transformationsformel: f(ρ, φ) dx dy = f(ρ, φ) ρ dρ dφ. eispiel: Sei = {(x, y) 2 ; x = ρ cos(φ), y = ρ sin(φ), ρ, φ π/2} der Viertelkreis vom adius. Sei f(ρ, φ) = ( ρ 2 )φ. Dann ( ρ 2 )φ dx dy = ρ 2 φ ρ dρ dφ = wobei = {(ρ, φ) 2 ; ρ, φ π/2}. π/2 ( ρ 2 )φ ρ dρ dφ,

7 2.2 uv Ebene 7 xy Ebene u=/3 v=2 v Achse.6.4 y Achse 4 3 u=/2.2 2 v= u Achse x Achse

8 eispiel: erechnung der Kardioidenfläche Wir berechnen den Flächeninhalt des ereichs K 2, der von der Kardioidenkurve c : [,2π] 2 cos(φ), c(φ) = ( + cos(φ)) sin(φ) begrenzt wird. Wir haben K = {( ρ cos(φ), ρ sin(φ) ) }{{}}{{} 2 ; φ [,2π], ρ + cos(φ) } = x(). x y Dabei ist x die Polarkoordinatenabbildung und = {(ρ, φ) 2 ; φ [,2π], ρ + cos(φ) } Somit ist der Flächeninhalt von K, vol 2 (K) = dx dy = K ρ dx dy = 2π +cos(φ) ρ dρ dφ = 3π 2. ρ,φ Ebene.5 x,y Ebene φ Achse 3 y Achse K ρ Achse x Achse

9 Der geometrische Schwerpunkt Der geometrische Schwerpunkt eines Gebiets 2 ist x S = Dabei ist xs y s = vol 2 () x dx dy = y vol 2 () [ x dx dy y dx dy ]. der Flächeninhalt von. vol 2 () = dx dy

10 eispiel: Geometrischer Schwerpunkt des Halbkreises Sei H = {( ρ cos(φ), ρ sin(φ) ) }{{}}{{} 2 ; φ [, π], ρ r } x y obere Halbkreis vom adius r. echnung in Polarkoordinaten ergibt für die y-koordinate des geometrischen Schwerpunkts von H: π r π r vol 2 (H) y }{{} s = y dx dy = y ρ dρ dφ = sin(φ) ρ 2 dρ dφ = 2 r 3 /3. H π r 2 /2 Also: y s = 4 r 3 π Analog folgt für die x-koordinate des Schwerpunkts: x s =. y Schwerpunkt x

11 Transformationsformel im Dreidimensionalen Die Transformationsformel gilt auch für 3-dimensionale ereiche. Die Funktionaldeterminanten sind für echnung in Zylinderkoordinaten: für echnung in Kugelkoordinaten: (x,y,z) (ρ,φ,z) = ρ, (x,y,z) (ρ,φ,θ) = ρ2 sin(θ), eispiel: erechnung des Volumens einer Kugel K vom adius r in Kugelkoordinaten: vol 3 (K) = K dx dy dz = 2π π r ρ2 sin(θ) dρ dθ dφ = [ρ 3 /3] r [ cos(θ)]π 2π = 4 3 π r3.

12 Noch einmal: das Volumen eines otationskörpers Sei ein kompakter ereich, der in der rechten Halbebene der (x, z)-ebene enthalten ist. Sei K, der Körper, der entsteht, wenn man um die z-achse rotiert. Dann ist K = {(ρ cos(φ), ρ sin(φ), z); (z, ρ), φ [,2p] } }{{} x }{{} y echnung in Zylinderkoordinaten ergibt: 2π vol 3 (K) = ρ dρ dz dφ = 2π Wenn ein Kreis ist, dann ist K ein Torus. z z Torus ρ dρ dz } {{} Schwerpunkt vol 2 () (Guldinscheegel) b x= ρ a Paul Guldin ( ) Die Guldinsche egel ergibt für den Torus: vol 3 (Torus) = 2 π 2 a b 2 (siehe VL und Skript)