Lösung der Aufgabe 4.2.2

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1 Elektomagnetische Felde und Wellen: Lösung de Aufgabe Lösung de Aufgabe 422 Übeabeitet von: JüM Aufgabe wie in de Klausu Eine Kugel vom adius ist gleichfömig in x-ichtung polaisiet mit P = P 0 e x Die Kugel befinde sich im Uspung des Koodinatensystems Das elektische Potenzial im gesamten aum soll beechnet weden Zusatzfagen fü die Übung Zu Lösung wid zunächst de Zusammenhang zwischen elektischem Potenzial und Polaisation mit dem Zusammenhang zwischen elektischem Feld und Ladungsdichte veglichen Aus de Analogie folgt, dass es eigentlich genügt, das elektische Feld de homogen geladenen Kugel zu beechnen Elektisches Feld eine homogenen geladenen Kugel a) Wie lautet das elektische Feld eine aumladungsdichte allgemein und fü eine homogen geladene Kugel vom adius in integale Scheibweise? b) Wie lautet das elektische Feld eine aumladungsdichte in diffeentielle Scheibweise (Gaußsches Gesetz)? Was esultiet aus de Kugelsymmetie fü das Feld? Geben Sie die Integalfom des Gaußschen Gesetzes sowie die Lösung mit obigen Egebnissen im gesamten aum an Potenzial de homogen polaisieten Kugel c) Wie lautet de integale Zusammenhang zwischen dem elektostatischen Potenzial und de Polaisation P? Wie veeinfacht sich de Zusammenhang fü den hie voliegenden Fall? d) Welche Lösung egibt sich fü das Potenzial de polaisieten Kugel aus dem Vegleich zwischen den Integalausdücken fü elektisches Feld und Potenzial im gesamten aum? e) Welche Göße hat das elektische Feld de polaisieten Kugel? f) Wie goß ist die dielektische Veschiebung? g) Beechnen Sie die aumladungsdichte ϱ V, die Dichte feie Ladungstäge ϱ fei und die Polaisationsladungsdichte ϱ P als Divegenz de zugehöigen Felde h) Welche Göße hat die Obeflächenladung de Kugel?

2 2 Elektomagnetische Felde und Wellen: Lösung de Aufgabe 422 Lösung a) Das elektische Feld lautet allgemein in integale Dastellung E } = 1 ϱv }( ) d 4π Fü den Fall de homogen geladenen Kugel esultiet mit ϱ V = ϱ 0 fü 0 fü > E } = ϱ 0 4π d Kugel, b) Das elektische Feld eine aumladung lautet in diffeentielle Fom E = ϱ V Auf Gund de Kugelsymmetie des Poblems eduziet sich das Gaußsche Gesetz auf 1 2 (2 E } e ) = ϱ V } Es wid also nu eine adiale Komponente in E angeegt Mit Volumenintegation folgt das Gaußsche Gesetz in Integalfom E } d 2 S = ϱ V d Kugel, Kugel, Das Volumenelement fü eine Kugel vom adius ist d = 2 d sinθ } dθ dϕ Die Integation esteckt sich im Gebiet 0; }, θ 0; π}, ϕ 0; 2π} Das dazugehöige Obeflächenelement ist d 2 S = 2 sinθ } dθ dϕ Daaus esultiet fü das Feld E = E e im Abstand vom Kugelmittelpunkt E } d 2 S = 4π 2 E } Kugel,

3 Elektomagnetische Felde und Wellen: Lösung de Aufgabe 422 Die Volumenintegation teilt sich danach auf, ob innehalb ode außehalb de Kugel liegt: Kugel, ϱ V d = ϱ 0 4π Das elektische Feld esultiet also zu fü fü > fü E = ϱ 0 e ( ε 0 fü > c) V } = 1 P } ( ) d 4π d) Gemäß Aufgabenstellung ist P nu innehalb de Kugel mit adius von 0 veschieden Es bietet sich also an, hie auf Kugelkoodinaten übezugehen mit = e, = e Die Dastellung fü P lautet dann: P = Damit esultiet fü das Potenzial P 0 e x fü 0 fü > V } = P 0 4π e x Kugel, d Ein Vegleich mit dem Integalausduck weite oben egibt Kugel, d = 4π e fü ( fü > Fü den Einheitsvekto in x-ichtung wid e x = sinθ} cosϕ} e + cosθ} cosϕ} e θ sinϕ} e ϕ

4 4 Elektomagnetische Felde und Wellen: Lösung de Aufgabe 422 (Siehe Skipt, Anhang C) vewendet Esetzen des Integalausduck im Potenzial de homogen polaisieten Kugel egibt fü V } = P 0 sinθ} cosϕ} ( ε 0 fü > e) Das elektische Feld de homogen polaisieten Kugel folgt aus E = V Hie muss de Nabla-Opeato in Kugelkoodinaten genommen weden Es esultiet fü die einzelnen Komponenten von E: E e = V = P 0 sinθ} cosϕ} E e θ = 1 θ V = P 0 cosθ} cosϕ} E e ϕ = 1 sinθ} ϕ V = P 0 sinϕ} f) Die dielektische Veschiebung esultiet aus D = E + P 1 fü 2 ( fü > 1 fü ( fü > 1 fü ( fü > Fü die Komponenten folgt: D e = P 0 D e θ = P 0 sinθ} cosϕ} cosθ} cosϕ} D e ϕ = P 0 sinϕ} 2 fü 2 ( fü > 2 fü ( fü > 2 fü ( fü > g) Die äquivalente aumladungsdichte, die dasselbe Feld ezeugt hätte, folgt aus und egibt sich mit E = 1 2 (2 E e ) + ϱ V = ( E) 1 sinθ} θ (sinθ} E 1 e θ ) + sinθ} ϕ ( E e ϕ )

5 Elektomagnetische Felde und Wellen: Lösung de Aufgabe zu ϱ V = 0 Die Dichte feie Ladungstäge esultiet aus zu ϱ fei = D Die Dichte de Polaisationsladungen ist als ϱ fei = 0 ϱ P = P definiet Es folgt wegen de Otsunabhängigkeit von P innehalb und außehalb de Kugel ϱ P = 0 h) Auf de Genzfläche muss die Stetigkeit des nomalen D- Feldes hinzugezogen weden Es gilt ( D 2 D 1 ) n = ϱ S Mit D = E + P kann de Ausduck in Analogie zu den üblichen Bezeichnungen in ϱ S = ϱ S,D = ( E 2 E 1 ) n + ( P 2 P 1 ) n = ϱ S,E ϱ S,P ϱ S,E = ϱ S,P + ϱ S umgefomt weden Die Obeflächenladung ϱ S,E, die das Feld E hevouft, kann man sich also aus ϱ S und ϱ S,P zusammengesetzt denken Es egeben sich aus obigen Betachtungen ϱ S,E = ( E 2 E 1 ) n = P 0 sinθ} cosφ} ϱ S,P = ( P 2 P 1 ) n = P 0 sinθ} cosφ} ϱ S,D = ϱ S = 0