Newtons Problem des minimalen Widerstands

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1 Newtons Poblem des minimalen Widestands Newton-Poblem (685: Wie muss ein sich in eine Flüssigkeit mit konstante Geschwindigkeit bewegende Köe aussehen, damit e, bei vogegebenem maximalen Queschnitt einen minimalen Widestand hat? Ist θ de Inklinationswinkel bezüglich de Stömungsichtung und venachlässigt man die Tangentialeibung, so besagt das Newtonsche Duck-Gesetz, dass de Duck sich aus de Dichte ρ de Flüssigkeit und de Nomalgeschwindigkeit v beechnet und somit ootional zu sin θ ist. In Fomeln: P = ρv sin θ. De Widestand hängt also nu von de Geometie des Köes ab. Sei Ω R de Queschnitt des Köes und u : Ω R + eine Funktion, so dass de 3- dimensionale Köe beschieben ist duch E = {(x, y, z (x, y Ω, z u(x, y}. Allgemein kann man zeigen, dass fü einen Köe mit Gundfläche Ω R und Obefläche u(x de Reibungswidestand ootional zu F (u = + Du dx Ω ist. Lässt man nun bei de Minimieung von F (u beliebige Funktionen zu, so gibt es keine Lösung, da de Integand fü jede Funktion ositiv ist, abe die Folge u h (x := h dist(x, Ω efüllt lim h F (u h =. Man muss die zulässigen Funktionen also beschänken. Wi wählen u(x M, wobei auch andee Wahlen wie z.b. Ω udx c möglich wäen. Dies eicht abe noch nicht aus, denn auch fü die Folge u h (x := M sin (h x gilt lim h F (u h =. Eine Möglichkeit besteht nun dain nu konvexe Köe zuzulassen, und somit zu foden, dass u konkav ist. Physikalisch: Jede Patikel des Stomes soll nu einmal mit dem Köe stoßen. Dies gilt insbesondee fü konvexe Köe, abe auch noch fü allgemeinee. De adialsymmetische Fall Da de Gesamtduck ootional zu sin θ ist, folgt fü die Nomalkomonente, dass diese ootional zu sin θ sin θ ist. Ist c die Geschwindigkeit des Köes, so gilt R u = ρc sin 3 θds. S Im otationssymmetischen Fall hat man nun eine Funktion u( die nu vom Radius [, R] abhängt und fü die u( M gelten soll. Ebenso können wi die Obefläche auch

2 duch eine Funktion v(t beschieben die von de Höhe t [, M] abhängt und dot den Radius liefet. Vewendet man diese so kann man einen Zusammenhang zwischen sin θ und de Funktion v(t hestellen: sin θ = tan θ + tan θ = v (t + v (t Hiemit lässt sich das Obeflächenintegal in ein Standadintegal übefühen: R u = M ρc πv(t M + v (t sin 3 θdt = ρc π v(tv (t 3 + v (t dt. Lemma Es gilt M v(tv (t 3 + v (t dt = + u ( d. Beweis. Setzt man v(t := U (M t so folgt u(v(t = M t und somit u (v(t v (t = u (v(t = v (t. Mit = v(t und v ( =, v (R = M egibt sich nun wie behautet v (R + u ( d = v ( v(t M + ( /v (t v (tdt = v(tv (t 3 + v (t dt Lemma Fü eine Köe mit minimalem Widestand muss u( = M und u(r = gelten. Beweis. Wi betachten fü ε > die Funktion w ε ( := ( + ε(u( u(r. Fü diese gilt w ε( = ( + ε u ( > u ( und w ε (R =. Ist nun u( < M ode u(r >, so gibt es ein ε > mit w ε ( M fü alle [, R]. Damit hätte man abe im Widesuch zu Voaussetzung einen Köe mit geingeem Widestand. Im adialsymmetischen Fall kann man sich also auf ein eindimensionales Poblem auf dem Intevall [, R] beschänken. Die Konkavität de Funktion u imliziet die Monotonie von u auf dem zu betachtenden Intevall [, R]. Damit hat man folgendes Vaiationsoblem min + u ( d u.d.n. u( = M, u(r =, u (. Dieses Poblem ist äquivalent zu dem folgenden min + w d u.d.n. w = u, w, u( = M, u(r =. (

3 Als Lagangefunktion hat man hie Lösung des adialsymmetischen Falls L(u, u, w, λ, := + w + λ(w + u und somit kann man einen Seaationsansatz fü die beiden Komonenten G(u, u, λ, := λu und H(w, λ, := + λw duchfühen. Es egeben sich die Otimalitätsbedingungen, +w duch Anwendung de Eule-Lagange-Gleichungen auf G d d G u = G u λ ( = λ = konstant, und sodann duch Otimieen von H: min H(w, λ, = min w w + w + w. Dies ist ein duch aametisietes estingietes Otimieungsoblem. Die Lösung liegt also entwede am Rand, also bei w( = mit dem Funktionswet H(w,, =, ode im Inneen in einem stationäen Punkt. Hiebei gilt = w H(w,, = w ( + w + = w = w ( + w. Als Funktionswet in dem Punkt w ehält man H(w,, = + w + w = + w + 3w = + w + = w falls w. + w ( + w ( + w ( w + w + w Seziell fü w = folgt = + und somit (+ =. Fü w folgt aus de Stationaitätsbedingung = und somit lässt sich mittels w (+w = ( + w w = w + w + w3 =: Ψ(w ein Zusammenhang zwischen und w hestellen. Wegen Ψ (w = + w + 3w w ist Ψ fü w steng monoton wachsend, also umkehba, und fene gilt fü alle =, dass de innee, stationäe Punkt otimal ist (w(. Fü < folgt aus de Stationaitätsbedingung w ( + w = > w > + w + w w <. 3

4 Damit ist fü < = imme de Rand otimal und es folgt: {, < w ( = Ψ,. Wegen w = u und u( = M folgt nun { s M, s < u(s = M w (d = M s Ψ, s. Setzt man t := Ψ s so ehält man Ψ(t = u(s = M = M = M s Ψ Ψ ( Ψ ( Ψ ( und Ψ (tdt = d. Hiemit folgt fü alle t Ψ (tdt ( t + t + 3t3 dt = M ( ln(t + t + 3 Ψ ( t Mit α := Ψ, also s = Ψ(α ehält man u(s = M ( ln(α + α + 3 α 7 Vewendet man nun noch die vebleibende Anfangsbedingung u(r = so bekommt man ein ˆα mit R = Ψ(ˆα und damit = R Ψ(ˆα und = u(r = M ( ln(α + α + 3 α 7 = M R ( ln(α + α + 3 Ψ(ˆα α 7 Dies ist äquivalent zu de nichtlineae Gleichung ( MΨ(ˆα = M + ˆα + ˆα3 = R ln(α + α + 3 ˆα α 7. in eine Vaiablen ˆα. Das Newton-Poblem besteht also im adialsymmetischen Fall dain, diese Gleichung zu lösen. Hat man die Lösung ˆα bestimmt, so bestimmt man ˆ mittels ˆ = R Ψ(ˆα und hat dann zusammen mit α = Ψ ˆ die gesuchte Lösung { M, < ˆ u(s = M ˆ ( ln(α + α + 3 α 7., s ˆ..

5 Weitee Egebnisse Fü einen Köe definiet man dessen elativen Widestand (im Vehältnis zu einem Zylinde mittels C := R + u ( d. Beisiel 3 Fü eine Kugel gilt u( = R. Dahe ehält man u ( = beechnet sodann + u ( d = Damit ist de elative Widestand eine Kugel C =. = + ( 3 R R d d = R R R = R R und Allgemein lassen sich folgende Wete fü die otimalen Köe im adialsymmetischen Fall bestimmen: M=R M=R M=3R M=R ˆ/R C Im adialsymmetischen Fall kann man fene folgendes zeigen: Das Newton-Poblem hat stets eine Lösung. Die Lösung des Poblems ist eindeutig. Die Lösung ist konkav. De otimale Köe hat einen flachen Deckel, d.h. u( = M [, ˆ]. u(r =. u ist Lischitz-stetig Im allgemeinen nichtsymmetischen Fall wude bishe nu gezeigt, dass es imme mindestens eine Lösung gibt und dass es eine konkave Lösung gibt. Dahe ist u also bis auf den Rand von Ω auch Lischitz-stetig. Die andeen Aussagen sind hingegen offene Pobleme. 5