Musterlösung Klausur Mathematik (Wintersemester 2012/13) 1

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1 Mustelösung Klausu Mathematik Wintesemeste / Aufgabe : 8 Punkte Fü die Nahfage Dp nah einem Podukt als Funktion seines Peises p sollen folgende Szenaien modelliet weden:. Wenn de Peis um einen Euo steigt, sinkt die Nahfage um. Stük.. Wenn de Peis um ein Pozent steigt, sinkt die Nahfage um Pozent.. Wenn de Peis um Pozent steigt, sinkt die Nahfage um Pozent. 4. Wenn de Peis um einen Euo steigt, sinkt die Nahfage um Pozent. 5. Wenn de Peis um einen Cent steigt, sinkt die Nahfage um Pozent. 6. Wenn de Peis um ein Pozent steigt, sinkt die Nahfage um. Stük. In de folgenden Tabelle sind möglihe Nahfagefunktionen gelistet, wobei de Peis p in Euo, die Nahfage Dp in Stük des betahteten Poduktes gemessen wid. a, b,, d sind Konstanten. a Dp. p + a b Dp. lnp + b Dp e. p d Dp d p. e Dp. p + a f Dp. lnp + b g Dp e p h Dp d p i Dp p + a j Dp lnp + b k Dp e p l Dp d p Welhe de Nahfagefunktionen aus de Tabelle besheibt jeweils das Szenaio näheungsweise? Notieen Sie ohne Begündung hinte dem Szenaio den Buhstaben de Funktion. Szenaio Nahfagefunktion a, Dp. p + a Pkt lin-lin Modell: absolute Zuwahs p, absolute Zuwahs D., Änd.ate D p. Szenaio Nahfagefunktion h, Dp d p Pkt log-log-modell: elative Zuwahs p: %, elative Zuwahs D %, Elastizität ε % % Szenaio Nahfagefunktion d, Dp d p. Pkt log-log-modell: elative Zuwahs p: %, elative Zuwahs D %, Elastizität ε % %. Szenaio 4 Nahfagefunktion, Dp e. p Pkt lin-log-modell: absolute Zuwahs p, elative Zuwahs D %, Ändeungsate %. Szenaio 5 Nahfagefunktion g, Dp e p Pkt lin-log-modell: absolute Zuwahs p:., elative Zuwahs D %, Ändeungsate %. Szenaio 6 Nahfagefunktion f Dp. lnp + b Pkt log-lin-modell: elative Zuwahs p: %, absolute Zuwahs D., Ändeungsate. % Die Konstanten a, b,, d haben jeweils eine Bedeutung de At Nahfage beim Peis von y Euo. Geben Sie ihe jeweilige Bedeutung an: a Nahfage beim Peis von Euo.5 Pkt da D β p + a! a p ; a Sätigungsmenge b Nahfage beim Peis von Euo.5 Pkt da D β lnp + b! b lnp p Nahfage beim Peis von Euo.5 Pkt da D e β p! e βp p d Nahfage beim Peis von Euo.5 Pkt da D dp β! d p β p

2 Mustelösung Klausu Mathematik Wintesemeste / Aufgabe : 9 Punkte He Meye nimmt einen Kedit in Höhe von S Euo auf, den e mit jählihen Zahlungen in Höhe von 9 6 Euo zahlba jeweils am Jahesende tilgt. De Keditgebe velangt einen Zins von 4.8% p.a. auf die jeweils noh vebleibende Restshuld. a Es bezeihne S n die nah n Jahen vebleibende Restshuld. Begünden Sie, dass S n + n S + n. Hinweis: S n egibt sih aus de aufgezinsten Initial-Shuld abzüglih dem Endwet de Tilgungen. b Wie goß ist die Restshuld nah Jahen? Wie lange dauet es, bis de Kedit vollständig getilgt ist? d Wie hoh müsste die jählihe Zahlung sein, damit de Kedit nah Jahen vollständig getilgt ist? Bei welhe jählihen Zahlung bleibt die Restshuld dauend auf dem initialen Keditbetag? [Hinweise:.48.6, ln.69, ln ] Lösung: a Fomel begünden Pkt Aufgezinste Keditbetag: K n + n S, Endwet de Tilgungszahlungen: V n + n. Die Restshuld nah n Jahen ist die Diffeenz S n K n V n + n S + n b Restshuld nah Jahen Pkt Einsetzen von.48, n Jahe, 9 6 Euo po Jah, S Euo liefet: S mit TR: Euo Die Restshuld nah Jahen betägt also 4 Euo obwohl shon 96 Euo eingezahlt wuden. Daue bis zu vollständigen Tilgung Pkt Vollständige Tilgung bedeutet: Restshuld S n ist. Löse also die Gleihung + n S + n nah n auf: + n S + n + n Einsetzen von 9 6,.48: n ln ln.48 S / S + n S S ln S n log + S ln + ln.69 ln mit TR Jahe Bei Zahlung von 96 Euo po Jah ist de Kedit also nah 5 Jahen vollständig getilgt insgesamt sind dann Euo bezahlt woden. d Jählihe Abtag, damit de Kedit nah Jahen vollständig getilgt ist Pkt Setze wiede S n und löse nah auf: + n S + n + n + n S + n + n S Einsetzen von 9 6,.48 egibt: mit TR Euo po Jah Vollständige Tilgung in Jahen efodet also jähl. Zahlungen von 8 statt 9 6 Euo. Pkt Damit die Restshuld auf dem initialen Keditbetag bleibt, muss S S n sein. Auflösung nah egibt S + n S + n + n S + n S S also Euo. Fomel S ist auh so kla: Tilgung muss gleih Zinsen sein

3 Mustelösung Klausu Mathematik Wintesemeste / Aufgabe : 8 Punkte Wenn die Kosten eines Untenehmens zu Poduktion von Einheiten eines Gutes duh die Kostenfunktion K beshieben sind, dann sind duh K : K/ die Stükkosten ode Duhshnittskosten zu Poduktion von Einheiten gegeben. Zeigen Sie unte de Annahme, dass K zweimal stetig diffeenzieba ist: a K K K, K K K b Damit bei eine Poduktionsmenge > ein lokales Minimum de Stükkosten voliegt, müssen dot die Stükkosten gleih den Genzkosten sein, d.h. K K. Wenn das Untenehmen wahsende Genzkosten de Poduktion hat, dann liegt bei eine Menge, wo Genzkosten und Stükkosten übeeinstimmen, ein lokales Minimum de Stükkosten vo. d Wenn die Kostenfunktion die Fom K a + b + hat mit positiven Konstanten a, b,, dann weden die Stükkosten bei de Poduktionsmenge a/ global minimal. Lösung: a Emittlung de esten beiden Ableitungen von K K/: K K K Quot.Reg. Quot.Reg. küzen esetze K K K K K K/ K K K K K K K K K K / K K K K K. Abl: Pkt,. Abl: Pkte, ges: Pkt b Notwendige Bedingung fü lokales Min. von K ist K, d.h. wg. a K K. Fomal: K hat lok. Min. in K a K K K K Notwendig fü ein lokales Minimum in ist also, dass dot die Genzkosten K mit den Stükkosten K zusammenfallen. Notw. Bed. Pkt Wahsende Genzkosten als hineihende Bedingung fü lokales Minimum in Hin. Bed. Pkt Mit de Fomel fü K aus a gilt in jedem stationäen Punkt von K wo also K : K K K K K Geneell hat dahe K das gleihe Vozeihen wie K da nu > ökonomishen Sinn maht. Hat man wahsende Genzkosten K >, so ist dahe K > und in jedem stationäen Punkt von K liegt ein lokales Minimum von K vo. Die stationäen Pkte von K sind abe geade die Punkte, wo Genzkosten und Stükkosten gleih weden siehe b. d Rehnung fü K a + b + Pkt Fü ein solhes K ist eineseits K b +, andeeseits K a + b +. Die notwendige Bed. fü ein lokales Minimum wa nah b K K, also b + a + b + a a/ a/ a/ >, hat man hie wahsende Genzkosten, so dass nah die stationäe Stelle Da K a/ lokales Minimum von K ist. Anmek: Dieses Min. ist soga ein globales, da sowohl lim + lim lim K lim K lim z a +b+ K/z und offensihtlih K > fü alle >. K + als auh lim K, denn a +b + ++ lim limz limz z a z+b+ z a+bz + z

4 Mustelösung Klausu Mathematik Wintesemeste / 4 Aufgabe 4: 9 Punkte Fü ein Podukt sind die angebotene Menge Sp und die nahgefagte Menge Dp als Funktionen des Peises p duh Sp e p, Dp 6 e p gegeben. a Bestimmen Sie den Gleihgewihtspeis p sowie die Gleihgewihtsmenge. [Hinweis: Substituieen sie z e p zu Lösung de Gl. Dp Sp. Zu Kontolle: p ln,.] b Bestimmen Sie die Konsumenten- und Poduzentenente des Maktes. [Zu Kontolle: p S ln +, p D ln 6 + Lösung a: Gleihgewihtspeis u. -menge p,. Setze z e p. Dann ist e p /z und Sp Dp z 6 z z z 6 z ln 6 +.] z/ z + z 6 { z ± ± 5 4 ± 5 Da z e p niht negativ sein kann, kommt nu z in Fage. De Gleihgewihtspeis egibt sih dann als p lnz ln. Die zugehöige Poduktionsmenge ist Sp e ln Pobe: Auh Dp 6e ln 6 ist. Gleihgew. p, : Pkt Lösung b: Konsumenten- und Poduzentenente Bestimme zunähst die Umkehfunktionen p S von Sp sowie p D von Dp: p S : e p + e p Damit: P S e p + p ln + : p S p D : 6 e p + 6 e p 6 + e p p ln 6 + p ln 6 + : pd p S, p D : je Pkt, ges: Pkt p p S d ln ln + d ln + d ln + d Stammfunktion von fu lnu ist F u u lnu u Gundintegal ; Stammfunktion von fa + b ist a F a + b lineae Tansfomation im Agument Dahe ist ln + [ d + ln + + ] + ln + + [ P S + ln + ] { + ln + + { ln + ln + + ln Da ln und ln/ ln, egibt sih shließlih P S ln.7. Genauso ehält man CS pd p d [ + ln + + ] [ { + ln + { ln + ln + + ln PS, CS: je.5 Pkte, ges: 5 Pkt ln 6 + ln d ln + d + ln + ln + ].89 Anmekung: Es ist hie einfahe, P S, CS mit den altenativen Fomeln Skipt, S. 54 zu beehnen: p ln P S Sp dp e p [ ] ln dp e p p + ln ln CS p S pd p Dp dp ln ln 6e p dp [ ] ln 6 e p p ln 6 ln ln ln

5 Mustelösung Klausu Mathematik Wintesemeste / 5 Aufgabe 5: 9 Punkte Gegeben sind die Matizen A, X y z z, b a Lösen Sie das lineae Gleihungssystem A b duh Gauß-Elimination inkl. Rang-Diskussion. b Die Invese de Mati A hat die Stuktu de Mati X. Bestimmen Sie, y, z. Wie lauten deta, deta, det A A, det A + A? d Ist die Mati A positiv definit? Lösung a: Lösung LGS pe Gauß-Elimination beispielhaft: A, b II I : III + II: IV III:. Deieksfom: Pkt III I: anga anga, b 4 LGS eindeutig lösba Ränge:.5 Pkt Rüksubstitution: Rüksubstitution: Pkt Lösung b Vevollständigung de Invesen von A: Dazu gibt es viele Möglihkeiten, am einfahsten: Es muss A A I gelten. Es ist hie günstig, mit de. Zeile von A u. de. Spalte von A zu beginnen, weil man dann diekt z bekommt:.te Zeile A.te SpalteA! + z δ, z +.te Zeile A.te SpalteA + z! δ, z.te Zeile A.te SpalteA! y + 4 δ, y 4 + Dass y ist, folgt auh daaus, dass A und damit auh A symmetish ist..5 Pkt Anmekung: Es ist zwa niht gundsätzlih falsh, abe viel aufwändige, die Invese von A mittels Gauß-Elimination von A, I zu emitteln und dann, y, z abzulesen. Wenn mit systematishe Mati- Invesion, dann ist es akzeptable vom Aufwand he,, y, z übe die adjungiete Mati zu emitteln. Lösung : Die Deteminante von A liest man hie am besten aus de Gauß-Elimination ab. Die andeen Deteminanten egeben sih als Folgeungen des Det.-Multiplikationssatzes deta deta, deta deta, detλa λ n deta. Die Det. von A + A lässt sih hie nu deswegen so einfah beehnen, weil A symmetish ist, so dass A A. je Det:.5 Pkte, ges: Pkt deta aus Gauß-El. Zeilentaush {}}{ deta deta / deta / det A A det I deta 4 deta deta deta + 6 det A + A A symmet. det A + A deta 4 deta 6 6 Lösung d: Wäe die Mati A positiv definit, so wäen die vie Hauptminoen d,..., d 4 von A alle positiv. Da d niht >, ist A niht positiv definit bestenfalls ist A positiv semi-definit Pkt Niht velangt: Die andeen dei Hauptminoen lauten d <, d + + < und d 4 < letztees aus de Gauß-Elimination. Shon d < zeigt, dass A indefinit ist.

6 Mustelösung Klausu Mathematik Wintesemeste / 6 Aufgabe 6: 7 Punkte, + Punkte, wenn das zu lösende Gl.System unabhängig von Aufg. 5 gelöst wid Behandeln Sie das folgende Poblem mit de Lagange-Methode: ma / min f, y, z : + y + z + y + y z y u.d. Nbd. g, y, z : + y Hinweis: Sie können fü diese Aufgabe das Egebnis von Aufgabe 5 vewenden. Lösung: Aufstellen de Lagange-Funktion:.5 Pkt Lλ,, y, z f, y, z + λ g, y, z + y + z + y + y z y + λ + y Patielle Ableitungen de Lagange-Funktion: po Abl..5 Pkte, ges: Pkt L λ + y! λ + + y + z L + y + λ! λ + + y + z L y y + + z + λ! λ + + y + z L z z + y! λ + + y + z Fü die Hesse-Mati von Lλ,, y, z ehält man H L λ,, y, z.5 Pkt Dies ist genau die Mati A aus Aufgabe 5. Die notwendige Bedingung, gadl, ist äquivalent zu A b mit dem A und b aus Aufgabe 5. Die Lösung egab sih dot als stat, 4, 6, d.h. 4, y 6, z, λ. Pkt Falls Aufgabe 5 niht behandelt wude, ist es am einfahsten, die Invese von A wie im dotigen Teil b zu emitteln. Mit de ehten Seite b,,, egibt sih die Lösung des LGS dann als λ y A b z + + Fazit: Die einzige stationäe Stelle de Lagange-Funktion ist 4, y 6, z, λ. Hineihende Bedingung: Es sind die beiden Deteminanten d und d von H L zu übepüfen. d + + < d deth L s. Aufgabe 5 < Pkt Falls Aufg. 5 niht behandelt wude, kann man d deth L mit z.b. eine Laplae-Entwiklung nah de 4. Zeile beehnen: d d Es liegt die Situation alle Vozeihen negativ vo. Dahe ist die stat. Stelle ein lokales Minimum des estingieten Poblems.