Unterlagen Fernstudium - 3. Konsultation

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1 Untelagen Fenstudium - 3. Konsultation Inhaltsveeichnis Infomationen u Püfung 2 2 Aufgabe 7. Umstömte Keisylinde mit Auftieb 3 3 Aufgabe 8. Komplexes Potential und Konfome Abbildung 0

2 Infomationen u Püfung Fü Fenstudenten: ˆ mündliche Püfung ˆ Umfang: Aeodynamik I im Volesungsskipt bis einschließlich Kapitel 3 Konfome Abbildungen Fagen u den Konsultationen und den hie vogestellten und weiteen Übungen aus dem Übungsskipt bis 8. können an den Übungsleite Thomas Albecht thomas.albecht... tu-desden.de ode an kisten.seidel... tu-desden.de, eva.bussies... tu-desden.de gestellt weden. Fü Püfungstemine wenden Sie sich bitte mit einem Teminvoschlag pe an Hen Gundmann oge.gundmann... tu-desden.de und als CC an Fau Hoffmann egina.hoffmann... tu-desden.de in diesem Semeste günstig: Di, Mi, Do nachmittag, F gan bei Lehveanstaltungen, Di-F gan Semestefeien ab

3 2 Aufgabe 7. Umstömte Keisylinde mit Auftieb Die Übelageung eine Paallelstömung von 20 m s und eines Dipols egibt die Umstömung eines Zylindes mit einem Radius von 0,5 m. Diese Zylindeumstömung wid eine Zikulation Γ von 60 m2 s übelaget. Die Fluiddichte betägt kg m 3. Bestimmen Sie a den eeugten Auftieb. b die Geschwindigkeitsveteilung an de Zylindeobefläche. c das Vehältnis d die Staupunkte. q q des dynamischen Ducks auf de Zylindeobefläche. e die gaphische Dastellung de Egebnisse von a bis d. Lösungen aauftieb A: De Auftieb A eines umstömten Keisylindes mit Zikulation Γ po Einheitsspannweitenichtung b = m ist laut Kutta-Joukowski-Theoem Gleichung 2.9 im Volesungsskipt; fü die Heleitung des Theoems wid auf das Skipt vewiesen.: Einseten de gegebenen Wete liefet: A = ρ U Γ A = kg m 3 20 m s 60 m2 s = 200 N m wobei A = A b A = 200 N. b Geschwindigkeitsveteilung an de Obefläche: Zylinde Geschwindigkeiten in Polakoodinaten u, u ϑ a ϑ. Komplexes Potential w Das komplexe Potential kann duch Supeposition de einelenen Elementastömungen bestimmt weden: Paallelstömung mit Geschwindigkeit U und Anstellwinkel α P : w P e iα P Dipol de Stäke µ im Punkt 0P und Anstellwinkel α D : w D = µ e iα D 2π 0P Zikulation de Stäke Γ im Punkt 0Z : w Z = iγ 2π ln 0Z 3

4 Laut Aufgabenstellung sind die Anstellwinkel de Paallelstömung und des Dipols α P = α D = 0 und Dipol und Zikulation liegen im Koodinatenuspung 0P = 0Z = 0. Damit ist das komplexe Potential w des umstömten Zylindes mit Auftieb: Die Gleichung wid weite veeinfacht, wenn w = w P + w D + w Z + µ 2π + iγ 2π ln µ 2πU =: a 2 esett wid. Es lässt sich eigen Vegleich Volesungsskipt Abschnitt Dipol in eine Paallelstömung, dass um einen gegebenen Zylindeadius a u ehalten, die Dipolstäke µ nach diese Fomel umgestellt: µ = a 2 2πU gewählt weden muss. w + µ 2πU + a2 + iγ 2π ln + iγ ln 2π 2. Stomfunktion ψ und Geschwindigkeitspotential φ. Möglichkeit Allgemein egeben sich die Stomfunktion ψ und das Geschwindigkeitspotential φ aus dem komlexen Potential w: w = φ + iψ Ziel ist Gleichung so umustellen, das Real- und Imaginäteil getennt weden. Dau sind folgende Dastellungen de komplexen Zahlen und Beiehungen nütlich: katesische Fom: = x + iy 2 Polafom: = e iϑ 3 Eulesche Fomel: e ±iϑ = cos ϑ ± i sin ϑ 4 Da mit Polakoodinaten geabeitet wid, wid in Fom von Gleichung 3 in eingesett und fü weitee Umfomungen Beiehung 4 vewendet: w!,3 e iϑ + a2 e iϑ + iγ e iϑ + a2 e iϑ!4 + a2 2π lneiϑ + iγ 2π cos ϑ + i sin ϑ + a2 cos ϑ Γ 2π ϑ } {{ } = φ ln + iϑ cos ϑ i sin ϑ + i Γ 2π ln Γ 2π ϑ sin ϑ + Γ 2π ln } {{ } = ψ +i U a2 Damit lautet das Geschwindigkeitspotential φ und die Stomfunktion ψ in Polakoodinaten: φ + a2 cos ϑ Γ 2π ϑ 5 ψ a2 4 sin ϑ + Γ ln 6 2π

5 2. Möglichkeit Eine andee Möglichkeit das Geschwindigkeitspotential φ und die Stomfunktion ψ fü den umstömten Zylinde mit Auftieb u bestimmen, ist analog um komplexen Potential w die Supeposition de bekannten Geschwindigkeitspotentiale und Stomfunktionen de daugehöigen Elementastömungen. φ = φ P + φ D + φ Z ψ = ψ P + ψ D + ψ Z 3. Geschwindigketiskomponenten u und u ϑ. Möglichkeit Die allgemeinen Beiehungen wischen den Geschwindigkeitskomponenten u und u ϑ und dem Geschwindigkeitspotential φ und de Stomfunktion ψ in Polakoodinaten lauten: u u ϑ = φ = φ ϑ = ψ ϑ = ψ Das bedeutet insbesondee, dass nu eine de beiden Funktionen φ und ψ u Bestimmung de Geschwindigkeiten nötig ist. De Vollständigkeit halbe weden hie beide Funktionen vewendet. Mit dem Geschwindigkeitspotential: u = φ φ ϑ!5 = u ϑ = Mit de Stomfunktion: u = ψ ϑ u ϑ = ψ!6 = U + a2 sin ϑ Γ 2π U a2 cos ϑ = U!5 = U a2 2 cos ϑ = U + a2 sin ϑ Γ 2 2π a2 cos ϑ 2!6 = U + a2 sin ϑ Γ 2 2π 2. Möglichkeit Die Geschwindigkeitskomponenten u und u ϑ lassen sich mit de Beiehung iϑ dw e d = u iu ϑ diekt aus dem komplexen Potential w heleiten Gleichungen 2.29 im Volesungsskipt; Gleichung 2.26 dw d = u iv fü katesische Koodinaten. iϑ dw! e = e iϑ U a2 d 2 + iγ 2π!3 = e iϑ U a2 + iγ 3. Möglichkeit 2 e i2ϑ e iϑ a2 2 e iϑ!4 + iγ 2π 2πe iϑ cos ϑ + i sin ϑ a2 cos ϑ i sin ϑ 2 + iγ 2π a2 2 cos ϑ i U + a2 } {{ } 2 sin ϑ Γ } {{ 2π } = u = u ϑ 5

6 Auch die Geschwindigkeitskomponenten u und u ϑ lassen sich duch Supeposition aus den Geschwindigkeiten de daugehöigen Elementastömungen wenn bekannt bestimmen. u = u P + u D + u Z u ϑ = u ϑp + u ϑd + u ϑz 4. Geschwindigkeitsveteilung auf de Zylindeobefläche Gesucht ist nun, nachdem die Gleichungen fü u und u ϑ bestimmt sind, die Geschwindigkeitsveteilung auf de Zylindeobefläche, d.h. fü die Polakoodinaten = a, ϑ [0, 2π]: u u ϑ!=a a2 a 2!=a = U + a2 a 2 cos ϑ = 0 7 sin ϑ Γ 2πa = 2U sin ϑ Γ 2πa 8 c Duckvehältnis: De dynamische Duck im Fenfeld lautet: und analog fü die Geschwindigkeit U = u u ϑ T q = 2 ρ U 2 9 q, ϑ = q = a, ϑ! inkomp., u =0 = Damit ist das Duckvehältnis auf de Zylindeobefläche q = a, ϑ q = 2 ρu 2 2 ρ u 2 2 ϑ uϑ 2 ρ = U 2 U 2 ρ u 2 ϑ 0 Fü die gafische Dastellung ist die Duckdiffeen p = a, ϑ p auf de Zylindeobefläche inteessant, die sich mit Hilfe de Benoulli-Gleichung bestimmen lässt: Benoulli: p + q = p = a, ϑ + q = a, ϑ!9,0 = p = a, ϑ p = 2 ρ U 2 u 2 ϑ d Staupunkte: Staupunkte sind daduch chaakteisiet, dass in ihnen die Stömung uht, d.h. fü die Geschwindigkeitskomponenten u St. = u ϑst. = 0. Aus Gleichung 7 ist bekannt, dass fü = a die Geschwindigkeit u = 0 ist. Damit ist St. = a = 0, 5 m. Aus de weiten Bedingung u ϑst. = 0 ehält man mit 8 und St. = a: u ϑst. = 2U sin ϑ St. Γ 2πa sin ϑ St. = Γ 4πU a 60 m2 s = 4π 20 m s 0, 5 m = 0, 477! = 0 6

7 ϑ [0, 2π] : ϑ St. = 208, 52 ϑ St.2 = 33, 48 Somit egeben sich wei Staupunkte mit den Polakoodinaten St.0, 5m; 208, 52 und St.20, 5m; 33, ,52 St. 33,48 St.2 e Gafische Dastellung: Folien aus de Übung Auf Folie ist die schittweise Übelageung de Elementastömungen dagestellt. Auf Folie 2 sind die Staupunkte, die Geschwindigkeitsveteilung u ϑ = a, ϑ 8 und die Duckdiffeen p = a, ϑ p obe- und untehalb de Staupunkte dagestellt. 7

8 Stomlinienbilde mit potential.py Thomas Albecht:.5 "paallel.dat" "dipol.dat" "wibel.dat"

9 niedige Duck V θ V A Γ, ω hohe Duck V θ Geschwindigkeitsveteilung obehalb... untehalb de Staupunkte v ϑ 200 Duckdiffeen p p p p ϑ obehalb untehalb de Staupunkte

10 3 Aufgabe 8. Komplexes Potential und Konfome Abbildung Ein Keisylinde Radius a, Mittelpunkt im Koodinatenuspung wid paallel u x-achse mit de Geschwindigkeit V angestömt. Das komplexe Potential lautet w = V + a2. a Bestimmen Sie aus w das Geschwindigkeitspotential und die Stomfunktion. b Duch die konfome Abbildung ζ = f = + a2 wid de Keisylinde auf einen andeen Köpe abgebildet. Um was fü einen Köpe handelt es sich analytisch lösba!? c Bestimmen Sie fü die ζ-ebene komplexes Potential und Geschwindigkeit sowie die eellen Geschwindigkeitskomponenten. d Welche Umstömung egibt sich bei gleiche Tansfomation in de ζ-ebene, wenn statt de waageechten eine senkechte Keisylindeumstömung in de -Ebene angenommen wid? Lösungen a Geschwindigkeitspotential und Stomfunktion: iy Zylinde Polakoodinaten, ϑ, = e iϑ V a ϑ x Das komplexe Potential w ist in diese Aufgabe gegeben und kann nach Real- und Imaginäteil sotiet weden. Mit de Beiehung w = φ + iψ können Geschwindigkeitspotential und Stomfunktion bestimmt weden. w = V + a2 Polakoodinaten = e iϑ = V e iϑ + a2 e iϑ Eulesche Fomel e ±iϑ = cos ϑ ± i sin ϑ = V cos ϑ + i sin ϑ + a2 cos ϑ i sin ϑ nach i sotieen = V cos ϑ + a2 + iv sin ϑ a2 Koeffiientenvegleich w = φ + iψ φ = V cos ϑ + a2 ψ = V sin ϑ a2 Geschwindigkeitspotential Stomfunktion b Tansfomation, entstehende Köpe: Bei de gegebenden Tansfomation ζ = f = + a2 handelt es sich um die Joukowski- Tansfomation Vegleich Volesungsskipt Abschnitt Dabei ist u bemeken, dass de 0

11 Radius des umstömten Zylindes in diese Aufgabe so gewählt wude, dass de Radius gleich de Tansfomationskonstanten a ist. Allgemein gilt fü die Zylindeumstömung ein Radius b a mit dem komplexen Potential w = V + b2. Bei b = a handelt es sich um einen Speialfall Vegleich Volesungsskipt S. 6 ff.. Keisgleichung in de -Ebene Allgemeine Keisgleichung in Polakoodinaten Keisgleichung des Zylindes b = a = be iϑ = ae iϑ 2. in Tansfomationsvoschift einseten ζ = + a2! = ae iϑ + a2 ae iϑ = a e iϑ + e iϑ Eulesche Fomel e ±iϑ = cos ϑ ± i sin ϑ = a cos ϑ + i sin ϑ + cos ϑ i sin ϑ = 2a cos ϑ ξ = 2a cos ϑ η = 0 3. maximale Wete bestimmen Koeffiientenvegleich ζ = ξ + iη π ϑ π 2a ξ 2a η = 0 iη Gafisch egibt sich damit eine paallel u ξ-achse umstömte unendlich dünne ebene Platte auf de ξ-achse mit de Ausdehnung 2a ξ 2a. V 2a 2a ξ c Komplexes Potential und Geschwindigkeit, eelle Geschwindigkeitskomponenten in de ζ-ebene:. komplexes Potential wζ w = V + a2 schafes Hinsehen: Vgl. mit Joukowski-Pofil ζ = + a2 wζ = V ζ 2

12 2. komplexe Geschwindigkeit dw. Möglichkeit dwζ Die. Möglichkeit bietet sich hie an, da das komplexe Potential in de ζ-ebene wζ bekannt ist. 2. Möglichkeit dw dwζ!2 = V 3 Die 2. Möglichkeit eignet sich fü Fälle, in denen das komplexe Potential in de ζ-ebene nicht gefodet ist. Die komplexe Geschwindigkeit in de ζ-ebene kann ohne expliit bekanntes wζ bestimmt weden. Diese Vaiante egibt sich aus de Anwendung de Kettenegel fü ineinandegeschachelte Funktionen. dw! Kettenegel = dw d d = dw d Die weite Umfomung ist sinnvoll, da die Tansfomation duch ζ als Funktion von gegeben ist und damit die Ableitung bestimmt weden kann. dw d d = dw 2. eelle Geschwindigkeitskomponenten = dv + a2 d = d + a 2 = a2 d 2!4 = V a2 2 d = V a2 2 a2 2 = V Die eellen Geschwindigkeiten egeben sich aus de komplexen Geschwindigkeit duch den Zusammenhang dw = u ξ iu η Mit Koeffiientenvegleich mit 3 egeben sich die Geschwindigkeiten in katesischen Koodinaten 4 fü die paallel umstömte Platte. u ξ = V, u η = 0 c senkecht angestömte Zylinde: De senkecht angestömte Zylinde in de x-ebene egibt nach Tansfomation in die ζ-ebene eine senkecht angestömte ebene Platte. Das egibt sich aus den Voübelegungen u paallel angestömten Platte Vgl. Abbildung, meh ist in diesem Aufgabenteil nicht gefodet. Die ugehöigen Fomeln und Heleitungen sind de Vollständigkeit halbe aufgefüht. 2

13 iy a ϑ x ζ = + a2 V. Komplexes Potential w in -Ebene Allgemein schäg mit Winkel α angestömte Zylinde mit Radius a und Mittelpunkt im Uspung Volesungsskipt: w = V e iα + a2 e iα = V e iα + a2 eiα 2. Komplexes Potential wζ in ζ-ebene Mit a2 e ±iα = cos α ± i sin α, α = π 2 : e±i π 2 = i = V i + a2 i = iv a2 = ± ζ 2 4a 2 Vegleich Hinweis Aufgabe 8.2 b ist 3. komplexe Geschwindigkeit dw nach. Möglichkeit dwζ nach 2. Möglichkeit dw Mit 2 +a 2 2 a = ± 2 ζ ζ 2 4a 2 dwζ dw d wζ = iv ζ 2 4a 2 = iv 2 ζ 2 4a 2ζ = iv ζ 2 ζ2 4a 2 d = dw = iv + a2 2 + a 2 2 = iv 2 = a2 2 = 2 a 2 2!4 = iv 2 + a a 2 2 Vegleich Hinweis Aufgabe 8.2 b ist dw 4. eelle Geschwindigkeitskomponenten = iv ζ ζ2 4a 2 = iv 2 + a2 2 a 2 dw = u ζ ξ iu η u ξ = 0, u η = ±V ζ2 4a 2 3