Exkurs: Portfolio Selection Theory

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1 : Litetu: Reinhd Schmidt und Ev Tebege (1997): Gundzüge de Investitions- und Finnzieungstheoie, 4. Auflge, Wiesbden: Gble Velg BA-Mikoökonomie II Pofesso D. Mnfed Königstein 1

2 Aktien und Aktienenditen Kuf eine Aktie bedeutet Kuf eines Untenehmensnteils Besitze de Aktie ist m Untenehmensisiko (negtiv wie positiv beteiligt) Aktie ist klssische Fom eine isikobehfteten Geldnlge (uch Kuf eine Mschine ode Mietshuses sind isikobehftete Anlgen) Aktienendite ist eine Zufllsvible: ~ ~ D 1 ~ K 1 ~ ~ ~ D K K 1 + = K = Rendite Aktie in eine Peiode (zufllsbhängig) 1 0 = Dividendenzhlung zum Zeitpunkt 1 (zufllsbhängig) = Kuswet de Aktie zum Zeitpunkt 1 (zufllsbhängig) 0 K 0 = Kuswet de Aktie zum Zeitpunkt 0 (beknnt) BA-Mikoökonomie II Pofesso D. Mnfed Königstein 2

3 Potefeuilles und Potefeuilleenditen Mße fü Etg und Risiko eine Aktie sind Ewtungswet, Vinz und Stnddbweichung de Rendite E ~ ) = ( ~ ) = ( ~ ) = ( A Wenn ein Investo seinen Anlgebetg uf zwei Aktien und b ufteilt, ist e Besitze eine Aktienmischung ( Potefeuille ) Je nch Mischungsvehältnis egeben sich ndee Potefeuilles Ewtungswet, Vinz (Std.-Abw.) de Potefeuilleendite hängen von E(.) und V(.) beide Aktien und den Gewichtungen im Potefeuille b Fü E(.) gilt: E( ~ ) = = x + x x = Anteil Aktie, z.b. 1/3 x = Anteil Aktie b, z.b. 2/3 b p p Ewtungswet de Potefeuilleendite ist gewichtete Duchschnitt de Aktienenditen BA-Mikoökonomie II Pofesso D. Mnfed Königstein 3 b b

4 Potefeuilles und Potefeuilleenditen (2) Fü V(.) gilt: ρ b 2 ( ~ p 2 p = Koeltionskoeffizient de Aktienenditen b 2 b ) = = x + x + 2x x b b ρ b Vinz de Potefeuilleendite ist llgemein kein gewichtete Duchschnitt de Vinzen de Aktienenditen (nu wenn Koeltion gleich +1; ist us Fomel nicht diekt ekennb) Als Risikomß ist Std.-Abw. de Rendite gebäuchliche, weil in gleiche Dimension gemessen wie Ewtungswet p = 2 p Ewtungswet und Std.-Abw. de Rendite von Aktien ode Potefeuilles können in einem zwei-dimensionlen Rum geometisch dgestellt weden BA-Mikoökonomie II Pofesso D. Mnfed Königstein 4

5 Fll 1: Vollständig Positive Koeltion de Renditen Im untenstehenden Digmm epäsentieen die Punkte A und B die Kombintionen von Ewtungswet und Std.-Abw., die duch Aktie bzw. b ezielt wid Wegen ρ b =1 folgt, dss die duch Mischung de Aktien unb b ezielben Ewtungswete und Std.-Abw. de Potefeuilleenditen uf eine Geden zwischen den Punkten A und B liegen B A BA-Mikoökonomie II Pofesso D. Mnfed Königstein 5

6 Fll 2: Vollständig Negtive Koeltion de Renditen ρ b Wegen = 1 folgt, dss es ein Mischpotefeuille mit Nullisiko (sichee Anlge) gibt (Punkt C) Alle duch Mischung ezielben Komb. von E(.) und V(.) liegen uf AC und CB B C A BA-Mikoökonomie II Pofesso D. Mnfed Königstein 6

7 Fll 3: Unvollständige Koeltion de Renditen Wegen 1 < ρb < +1 folgt, dss Mischpotefeuilles duch Punkte uf gekümmte Linie epäsentiet weden (teilweise Risikoeduktion) B C A Es existiet ein isiko-minimieendes Potefeuille (Punkt C) BA-Mikoökonomie II Pofesso D. Mnfed Königstein 7

8 Efficient Fontie Mischpotefeuilles untehlb von Punkt C sind dominiet (Risikovesion) Mischpotefeuilles uf Vebindung CB sind effizient ( efficient fontie ) B C A BA-Mikoökonomie II Pofesso D. Mnfed Königstein 8

9 Efficient Fontie bei 3 Aktien Mischpotefeuilles us und d veänden die efficient fontie Auch Mischungen us, b und d sind möglich D B C A BA-Mikoökonomie II Pofesso D. Mnfed Königstein 9

10 Efficient Fontie des Mktes (m Aktien) efficient fontie mket BA-Mikoökonomie II Pofesso D. Mnfed Königstein 10

11 Potfolio Selection ohne isikolose Anlgemöglichkeit Risikopäfeenzen deteminieen optimle Mischung des Potefeuilles (siehe Indiffeenzkuven des Investos) U i 99 Optimle Mix des Investos i BA-Mikoökonomie II Pofesso D. Mnfed Königstein 11

12 Potfolio Selection mit isikolose Anlgemöglichkeit Sofen eine isikolose Anlgemöglichkeit existiet, knn ein optimles Potefeuille T unbhängig von den Risikopäfeenzen des Investos emittelt weden ( Septionstheoem von Jmes Tobin ) U 2 U 1 T 99 F Alle Investoen mischen zwischen F und T, be mit unteschiedlichen Gewichtungen (F = isikofeie Anlge, T = effizientes Tobin - Mktpotfolio) BA-Mikoökonomie II Pofesso D. Mnfed Königstein 12

13 Potfolio Selection mit isikolose Anlgemöglichkeit (2) U 2 Kpitlmktline U 1 T 99 F Die Gede duch F und T wid duch die folgende Gleichung beschieben: p = f + α p ( T f ) Sie wid gemäß Willim Shpe ls Kpitlmktlinie (cpitl mket line) bezeichnet Risikomß des Potefeuilles ist de in Aktien investiete Anteil α p BA-Mikoökonomie II Pofesso D. Mnfed Königstein 13

14 Potfolio Selection mit isikolose Anlgemöglichkeit (3) U 2 Kpitlmktline U 1 T 99 F Investo 1 hält c. 50% seines Vemögens in Aktien und 50% in isikolose Anlge Investo 2 nimmt Schulden zum isikolosen Zinstz uf und investiet meh ls 100% seines Vemögens in Aktien BA-Mikoökonomie II Pofesso D. Mnfed Königstein 14

15 Potfolio Selection mit isikolose Anlgemöglichkeit (4) Septionstheoem: Die Bestimmung des effizienten Potefeuilles isknte Anlgen und die Bestimmung des Anteils des individuellen Vemögens, welche in isknte Anlgen investiet wid, sind unbhängige, sept zu teffende Entscheidungen Die Gewichtung de Aktien im Tobin-Mtkpotefeuille entspicht dem Vehältnis de Mktwete de Untenehmen Die Kpitlmktlinie bescheibt die vom Kpitlmkt emöglichten effizienten Kombintionen von Ewtungsendite und Risiko BA-Mikoökonomie II Pofesso D. Mnfed Königstein 15

16 CAPM: Cpitl Asset Picing Model Unte idelisieten Bedingungen (Rtionle Entscheide, Vollkommene Mäkte, etc.) egibt sich ein Gleichgewicht des Kpitlmktes, bei welchem sich die ewtete Rendite (und folglich de Peis) de individuellen Aktie i wie folgt egibt: = + β ) i f i ( M f i f M β i = ewtete Rendite Aktie i = Rendite de isikolosen Anlge = ewtete Rendite des Mktes (Mktpotefeuille) = linee Gewichtungsfkto mit cov( ~ i, ~ ) β v( ~ M i = ) M Die ewtete Rendite de Aktie i egibt sich ls linee Risikoufschlg uf die Rendite de isikolosen Anlge De linee Gewichtungsfkto beücksichtigt die Kovinz (Koeltion) des individuellen Risikos de Aktie i mit dem Mktisiko BA-Mikoökonomie II Pofesso D. Mnfed Königstein 16

17 CAPM: Cpitl Asset Picing Model (2) De Bet-Koeffizient de Aktie i knn ls linee Regessionskoeffizient geschätzt weden und spielt in de Pxis eine wichtige Rolle Hiebei weden ls empiische Dten die jählichen Aktienenditen vewendet Die Gleichung i = f + βi ( M f ) wid gemäß Willim Shpe ls Wetppiemktlinie (secuity mket line) bezeichnet Sie gilt fü individuelle Aktien und Potefeuilles und ih Risikomß bsiet uf de Kovinz de Aktie/des Potefeuilles mit dem Mktpotefeuille Ds Mktpotefeuille knn ls Tobin-Mktpotefeuille bzw. ls optiml divesifizietes Potefeuille ufgefsst weden (d.h. keine weitee Risikoeduktion duch Divesifiktion möglich) In de Pxis knn ds Mktpotefeuilles ls ein goßes Potefeuille us eine Vielzhl von Aktien ode ls Potefeuille de wichtigsten Aktien emittelt weden Wenn Bet-Koeffizienten emittelt wuden und ls (eltiv) konstnt untestellt weden, knn dies zu Optimieung individuelle Anlgeentscheidungen genutzt weden BA-Mikoökonomie II Pofesso D. Mnfed Königstein 17