Hamburg Kernfach Mathematik Zentralabitur 2013 Erhöhtes Anforderungsniveau Analysis 2

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1 Hmburg Kernfch Mhemik Zenrlbiur 2013 Erhöhes Anforderungsniveu Anlysis 2 Smrphones Die Mrkeinführung eines neuen Smrphones vom Elekronikherseller PEAR wird ses ufgereg erwre. Zur Modellierung der Enwicklung der äglichen Verkufszhlen eines neu eingeführen Smrphones schläg die Plnungsbeilung von PEAR die Modellfunkion v vor mi v() = e 0,02 mi 0 wobei die Zei in Tgen sei Beginn der Mrkeinführung und v() die m Tg verkufe Anzhl von Smrphones drsell. Die folgende Tbelle zeig, wie viele Smrphones des Modells S2013 nch seiner Mrkeinführung pro Tg verkuf wurden. in Tgen Verkufszhlen in Sück Punke ) Besäigen Sie, dss die Funkion v die äglichen Verkufszhlen des Smrphones S2013 ngenäher wiedergib. 10 In der Anlge is der Grph von v drgesell. b) Beschreiben Sie kurz den Verluf des Grphen quliiv. Inerpreieren Sie druf Bezug nehmend die Enwicklung der Verkufszhlen im Anwendungskonex. Vergleichen Sie ds Modell hinsichlich des Lngzeiverhlens mi einer relisischen Enwicklung der Verkufszhlen. 15 c) Besäigen Sie, dss gil: v'() = e 0,02 (1 0,02) Berechnen Sie, n welchem Tg die meisen Smrphones S2013 verkuf werden, und berechnen Sie die ensprechende Verkufszhl. 15 Hinweis: D us der Abbildung deulich wird, dss der einzige Exrempunk ein Hochpunk is, reich die Unersuchung der nowendigen Bedingung. Eine Smmfunkion V von v h die Gleichung V() = ( 50 e 0, e 0,02 ). 100 d) Ermieln Sie den Wer des Inegrls 0 v() d. Inerpreieren Sie ds Inegrl im gegebenen Anwendungskonex by Srk Verlgsgesellschf mbh & Co. KG

2 Hmburg Mhemik Zenrlbiur 2013: Erhöhes Anforderungsniveu Anlysis 2 Für die Firm PEAR is es us verschiedenen Gründen sinnvoll, den Produkzyklus (d. h. die Zei vom ersen bis zum lezen verkufen Smrphone) zu begrenzen. Zur Vereinfchung der Prognose der insgesm in den Verkuf gehenden Smrphones S2013 sez die Plnungsbeilung b dem Wendepunk der Verkufszhlenenwicklung eine linere Abnhme der äglichen Verkufszhlen n, d. h. mn ersez b dem Wendepunk der Funkion v den weieren Verluf des Funkionsgrphen durch die Wendengene. Die Koordinen des Wendepunks sind gerunde W( ). e) Besimmen Sie die Gleichung der Wendengene. Zeichnen Sie die Wendengene in ds Koordinensysem in der Anlge. Ermieln Sie den Zeipunk, b dem nch diesem Modell keine Smrphones mehr verkuf werden. Besimmen Sie die Anzhl der Smrphones, die nch diesem Modell b dem Zeipunk w = 100 insgesm noch verkuf werden. 20 Aus Erfhrung weiß die Plnungsbeilung, dss sie die Verkufszhlenfunkion v in regelmäßigen Absänden vriieren muss, um sie n ds sich verändernde Verbrucherverhlen nzupssen. Bereis für ds Nchfolgemodell von dem hier bercheen Smrphone S2013 is dmi zu rechnen, dss schon m 40. Tg ds Verkufszhlenmximum von Smrphones erreich wird. Die Plnungsbeilung verwende den llgemeinen Ansz 1 v () = e( + b ) mi > 0, b 0., b f) Besimmen Sie und b so, dss die neue Verkufszhlenfunkion die Prognose für den Zeipunk und den Wer des Verkufszhlenmximums für ds Nchfolgemodell erfüll. 15 g) Ermieln Sie, welchen Einfluss der Prmeer uf die Lge der Mximlselle von v, b h. Ermieln Sie, welchen Einfluss der Prmeer b (für einen fesen Wer des Prmeers ) uf den Wer des Mximums von v, b h by Srk Verlgsgesellschf mbh & Co. KG

3 Hmburg Mhemik Zenrlbiur 2013: Erhöhes Anforderungsniveu Anlysis 2 Anlge zur Aufgbe Smrphones Hinweise und Tipps Teilufgbe r Mihilfe einer Punkprobe knn eine Besäigung erfolgen. r Vergleichen Sie die so berechneen Verkufszhlen mi denen in der Tbelle erfssen. Teilufgbe b r Suchen Sie chrkerisische Punke des Grphen wie Nullselle, Hoch- und Tiefpunk (Mximum, Minimum), Wendepunk. r Berchen ds Monoonieverhlen (seigend, fllend) jeweils zwischen zwei Zeibschnien. r Inerpreieren Sie die Verlufseigenschfen im Zusmmenhng mi den Verkufszhlen. r Vergleichen Sie ds Modell bezüglich des Lngzeiverhlens mi einer Enwicklung der Verkufszhlen in der Reliä. Teilufgbe c Besäigung r Besimmen Sie die Ableiungsfunkion v'() mihilfe der Produk- und Keenregel. Zeipunk der mximlen Verkufsmenge und ensprechende Verkufszhl r Zeipunk der mximlen Verkufsmenge und die ensprechende Verkufszhl liegen beim Hochpunk der Funkion v() by Srk Verlgsgesellschf mbh & Co. KG

4 Hmburg Mhemik Zenrlbiur 2013: Erhöhes Anforderungsniveu Anlysis 2 r Nowendige Bedingung für die Exisenz des Hochpunkes is, dss v'() = 0 is. r Nch Aufgbensellung is die 2. Ableiung für ds Prüfen der hinreichenden Bedingung v''() < 0 nich erforderlich. r Lösen Sie die Gleichung v'() = 0, Sie erhlen den Zeipunk für die mximle Verkufsmenge r Durch Einsezen des für gefundenen Weres in die Gleichung v() erhlen Sie die mximle Verkufsmenge. Teilufgbe d r Die Smmfunkion is vorgegeben, somi können Sie ds Inegrl berechnen. r Deuen Sie ds Inegrl. Ws sell die Fläche uner der Kurve im Inervll [0; 100] dr? Teilufgbe e Wendengene r Sellen Sie die llgemeine Wendengene in Form einer Gerdengleichung dr. r Die erse Ableiung n einer Selle der Funkion is gleich dem Ansieg m der Tngene in diesem Punk. r Sezen Sie nun m und die Koordinen von W in die Gerdengleichung der Tngene ein. r Geben Sie die Gleichung der Wendengene n und zeichnen diese in ds Koordinensysem ein. Zeipunk, b dem nch diesem Modell keine Smrphones mehr verkuf werden r Wegen der lineren Abnhme der Verkufszhlen liefer die Nullselle der Wendengene w() den gesuchen Zeipunk. r Sezen Sie w() = 0 und besimmen diesen Zeipunk. Anzhl der verkufen Smrphones b dem 100. Tg r Berechnen Sie ds Inegrl über w() in den Grenzen von 100 bis 200. r Alerniv können Sie die Fläche uner der Kurve von w() und der -Achse uch elemenrgeomerisch berechnen ls Flächeninhl des rechwinkligen Dreiecks mi den Eckpunken (100 0); (200 0) und ( ). Teilufgbe f r Bilden Sie die 1. Ableiung von v, b () mihilfe der Produk- und Keenregel. r Besimmen Sie den Prmeer durch Einsezen. r Die hinreichende Bedingung für ein Mximum knn über einen Vorzeichenwechsel von v () geprüf werden. ' 40, b r Besimmen Sie den Prmeer b mihilfe der Angben und geben Sie die Funkionsgleichung v() n by Srk Verlgsgesellschf mbh & Co. KG

5 Hmburg Mhemik Zenrlbiur 2013: Erhöhes Anforderungsniveu Anlysis 2 Teilufgbe g r In Teilufgbe f hben Sie die 1. Ableiung von v, b (), die us einem Produk beseh, gebilde. r Welcher der beiden Terme führen zur nowendigen Bedingung v ', b () = 0? r Dmi können Sie eine Aussge drüber mchen, welchen Einfluss der Prmeer uf die Mximlselle h. r Mi v, b () können Sie den Einfluss des Prmeers b bei konsnem Wer für uf die Mximlselle mchen. ) v() = e 0,02 Einsezen der -Were: v(0) = e 0,02 0 = 0 Lösung v(10) = e 0,02 10 = v(30) = e 0,02 30 = v(60) = e 0,02 60 = Die in der Tbelle ngegebenen Were können nnähernd mihilfe der Funkion v() besimm werden. b) Zunächs seig der Grph bis zum Hochpunk n, nschließend fäll er und h einen Wendepunk, der ew bei 100 Tgen lieg. Nch dem Wendepunk wird der Grph immer flcher, d. h. sein Gefälle wird immer kleiner und er näher sich der -Achse sympoisch. Ds uf dem Mrk neu eingeführe Smrphone h sehr schnell die mximle Nchfrge erreich (nch ew 50 Tgen). Anschließend nehmen die Verkufszhlen b, bis lezendlich keines mehr verkuf wird. Nchdem eine Säigung des Mrkes eingereen is (bei ew 50 Tgen), nehmen die Verkufszhlen wieder b, ws uch relisisch is. Bei diesem Modell gehen über einen längeren Zeirum die Verkufszhlen der Hndys gegen null, so is z. B. v(800) 1. Ds is unrelisisch. c) Ableien mihilfe der Produkregel und Keenregel: u = , u' = v = e 0,02, v' = 0,02 e 0, v'() = e 0, ( 0,02 e 0,02 ) v'() = e 0,02 (1 0,02) (w. z. z. w) 2013 by Srk Verlgsgesellschf mbh & Co. KG

6 Hmburg Mhemik Zenrlbiur 2013: Erhöhes Anforderungsniveu Anlysis 2 Zeipunk, zu dem die meisen Smrphones verkuf werden, is der Hochpunk des Grphen der Funkion. Nowendige Bedingung für Exremselle: v'() = e 0,02 (1 0,02) = 0 : D e 0, ,02 = 0 + 0,02 1 = 0,02 : 0,02 = 50 Hinreichende Bedingung muss lu Aufgbensellung nich geprüf werden. Verkufsmenge: v(50) = e 0,02 50 = e v(50) = = ,72 e Am 50. Tg nch der Einführung des Smrphones S2013 werden die meisen verkuf, und zwr c Sück. d) 100 v() d [V()] 100 0,02 0, [ ( 50 e e = = )] 0 0 = [ e 0,02 ( + 50)] = e ( e0 50) 7,5 107 = + 2,5 107 e2 7 7,5 = 10 2, , e2 1, Mi dem Inegrl wird näherungsweise die Anzhl der Smrphones S2013 ermiel, die mi dem mhemischen Modell in den ersen 100 Tgen nch der Mrkeinführung verkuf wurden, hier lso 14,8 Mio. Sück. e) Wendengene w() = m + n Gegebener Wendepunk: W( ) Mi v'() = e 0,02 (1 0,02) is m = v'(100) = 10 e (1 0,02 100) = 1353 e by Srk Verlgsgesellschf mbh & Co. KG

7 Hmburg Mhemik Zenrlbiur 2013: Erhöhes Anforderungsniveu Anlysis 2 Koordinen von W und m in w() einsezen: = n = + n + e e e 106 n = e Dmi lue die Gleichung für die Wendengene w() = e2 e2 Wendengene einzeichnen: Zeipunk, b dem nch diesem Modell keine Smrphones mehr verkuf werden: Nullselle der Wendengene ergib den gesuchen Zeipunk. w() = = = : = 1353 = 200, Der Verkuf des Smrphones S2013 ende nch ew 200 Tgen by Srk Verlgsgesellschf mbh & Co. KG

8 Hmburg Mhemik Zenrlbiur 2013: Erhöhes Anforderungsniveu Anlysis 2 Anzhl der Smrphones, die nch diesem Modell b dem Zeipunk W = 100 noch verkuf werden: w() d = ( ) d = = = = ,8 106 Ab dem 100. Tg werden ew 6,8 Millionen Smrphones bis zum 200. Tg verkuf. Alernive Lösung (elemenrgeomerisch): Die Punke (100 0), (200 0) und ( ) bilden ein rechwinkliges Dreieck, für die Fläche dieses Dreiecks gil: A = = , f) ( ) b v, b() e + = mi > 0, b 0 v ', b(40) = 0 v, b(40) = Ableiung v, b () mihilfe der Produk- und Keenregel: u = u' = ( + b ) ' 1 ( + b v ) 1= e v1= e 1 1 ' ( + b) 1 ( + b v ), b () = e e 1 ' ( + b ) v, b () = e ( 1 ) Mi v ', b (40) 0 = ( 40 ) ( ) + b ( + b ) 40 ( ) e 1 = 0 : e 1 = by Srk Verlgsgesellschf mbh & Co. KG

9 Hmburg Mhemik Zenrlbiur 2013: Erhöhes Anforderungsniveu Anlysis 2 40 D ( ) + b e 0 Prüfen, ob Mximum vorlieg = = = 40 Die hinreichende Bedingung knn mihilfe Vorzeichenwechsel von geprüf werden: 1 v ' 40 40, b () = < > 40 v ' 40, b () An der Selle = 40 lieg ein Vorzeichenwechsel von Plus nch Minus vor. Somi h v 40, b () n der Selle = 40 ein Mximum. Es gil: v 40, b (40) = ( 1 ) e b = (*) eb 1= : eb 1= 1 :eb 1 1 = 2 eb 1 e1 b= 2 ln (1 b) ln e = ln 2 ln(e) = 1 1 b = ln 2 + b ln 2 b = 1 ln 2 Somi lue die Funkionsgleichung: ( 1 ln 2 v() = e 40 ) Diese knn noch vereinfch werden: 4 ( 1 40 ) ( ln 2) 1 4 ( 1 v() = 10 e e = 10 e 40 ) 2 Bemerkung: 1 Alerniv könne mn die Gleichung (*) ( ) 40 + b e = uch so umformen: e(b 1) = : e(b 1) = 0,5 ln (b 1) ln e = ln 0, by Srk Verlgsgesellschf mbh & Co. KG

10 Hmburg Mhemik Zenrlbiur 2013: Erhöhes Anforderungsniveu Anlysis 2 Wegen ln (e) = 1 b 1 = ln 0,5 b = 1+ ln 0,5 Die Funkionsgleichung lue dnn: 4 ( ) 40 1 ln 0,5 v() = 10 e + + Wegen 1 + ln (0,5) = 1 ln (2) sind beide Funkionsgleichungen idenisch. g) Nowendige Bedingung für ein Mximum is, dss v ', b () = 0. = = folg wegen ( ) + b Aus ' 4 ( ) ( ) + b v, b() 10 e 1 0 e 0. 1 = 0 + = 1 is jedoch nur dnn erfüll, wenn = is. Ds bedeue, dss die Mximl selle bei = lieg. Prüfen, ob bei = ein Mximum lieg, is bei Teilufgbe f erledig, d > 0. Bedeuung Prmeer b in 4 (b ) v, b() = 10 e bei = cons. Es gil: 4 (b ) v, b() = 10 e v 4 b 1, b() = 10 e v 4 1 b, b() = 10 e e Wenn b größer wird, dnn wird uch ds Mximum bei konsnem größer by Srk Verlgsgesellschf mbh & Co. KG