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1 Lineare Algebra / Analyische Geomerie Grundkurs Zenrale schrifliche Abiurprüfungen im Fach Mahemaik Aufgabe 4 Fruchsäfe in Berieb der Geränkeindusrie produzier in zwei Werken an verschiedenen Sandoren Fruchsäfe. Im Werk A werden aus vier Rohsoffen R 1, R, R 3 und R 4 drei Zwischenproduke Z 1, Z und Z 3 hergesell. Im Werk B werden aus den Zwischenproduken dann die drei ndproduke 1, und 3 geferig. Der Maerialfluss in Mengeneinheien (M) is durch die beiden folgenden Tabellen gegeben: Werk A: Rohsoffeinsaz Werk B: Zwischenprodukeinsaz R Z Z 1 Z Z 3 Z 1 3 R Z R 0 6 Z R 3 a 31 0 a 33 Z 3 6 R a) Berechnen Sie die lemene a 31 und a 33 in der Rohsoffeinsazmarix A so, dass die Rohsoff/ndprodukmarix C wie folg laue: C = rmieln Sie, wie groß der Vorra an den einzelnen Rohsoffen sein muss, dami von den ndproduken 150 M von 1, 00 M von und 50 M von 3 hergesell werden können. b) Durch echnische Sörungen im Produkionsablauf in Werk A gab es einen Ausfall bei der Hersellung des Zwischenprodukes Z. rschwerend komm hinzu, dass sich wegen Renovierungsarbeien in den Lagerräumen des Werkes B nur geringe Besände an Zwischenproduken befinden. Zurzei sind am Lager in Werk B nur noch die Zwischenproduke Z 1 mi 75 M und Z 3 mi 100 M. in Kunde besell kurzfrisig 1 M von ndproduk 3. Dem Kundenwunsch ensprechend werden nun genau die 1 M von 3 produzier, wobei aber produkionsbeding auch die beiden anderen ndproduke 1 und (nach obiger Tabelle) hergesell werden. Zeigen Sie durch eine Berechnung, dass sich die oben genannen Zwischenprodukbesände vollsändig durch diese Produkion verarbeien lassen, und besimmen Sie, wie viele M der ndproduke 1 und dabei hergesell werden können und wie viele M des Zwischenproduks Z das Werk A dann liefern muss. c) Um auf Dauer einen reibungslosen Produkionsablauf in Werk B zu gewährleisen, soll das Lager nach der Renovierung einen Mindesbesand an Zwischenproduken aufweisen. Unersuchen und beureilen Sie ohne Rechnungen die Probleme der Lagerhalung bezüglich des Kapialbedarfs und der Finanzierung.

2 Zenrale schrifliche Abiurprüfungen im Fach Mahemaik Lineare Algebra / Analyische Geomerie Grundkurs d) Zukünfig soll die Produkion im Werk A auf eine neue, sicherere Ferigungsechnik umgesell werden. Bei dieser Technik ändern sich in Abhängigkei von einem Technologieparameer sowohl der Rohsoffeinsaz als auch die Ferigungskosen für die Zwischenprodukion. Die Gesamkosen K für die Hersellung von je 1 M der Zwischenproduke belaufen sich in G nach aler Technik auf K = 5000 und nach neuer Technik auf al 3 Kneu = mi ] 0;9]. - Besimmen Sie den Parameer so, dass die Gesamkosen K minimal werden. - rmieln Sie, für welche ganzzahligen Were von das neue Produkionsverfahren kosengünsiger is als das ale Verfahren, und beureilen Sie die neue Kosensiuaion des Beriebes.

3 Lineare Algebra / Analyische Geomerie Grundkurs-Lösungen Zenrale schrifliche Abiurprüfungen im Fach Mahemaik Aufgabe 4 Fruchsäfe a) C = A B und C = Bewerung C = = a31 0 a a + a a + a a + a Hieraus ergib sich: a a 33 = 16 a 31 + a 33 = 6 4a 31 + a 33 = 1 Durch Auflösen von Gleichungen und insezen in die 3. Gleichung erhäl man: a 31 = und a 33 = Cx = xr mix = 00 bedeue 00 = Zur Hersellung von 150 M von 1, 00 M von und 50 M von 3 werden folgende Rohsoffvorräe benöig: M von R 1, 4300 M von R, 6600 M von R 3 und M von R b) 75 e1 B x = xz mi xz = z und x = e e1 e1+ e+ 48 B x = e = 8e + 10e e+ 4 Hieraus ergib sich: e + e + 48 = e + 10e + 1 = z 1 + e + 4 = oder I e + e = 7 1 II 8e + 10e z = 1 1 III + e = 76 1 Aus I folg: e = 7 e1. ingesez in III ergib sich:

4 Zenrale schrifliche Abiurprüfungen im Fach Mahemaik Lineare Algebra / Analyische Geomerie Grundkurs-Lösungen + (7 e ) = e = = 76. e = 1 e = 11 1 Dieses rgebnis in III eingesez ergib e = 5. inseze in Gleichung II liefer z = 150. Bewerung Möglich is auch die formale Lösung des LGS: II + 4 I III + 3 I II + 6 III Hieraus läss sich ablesen: e= 5 z= 150, eingesez in I folg e 1 = 11 Die genannen Zwischenprodukbesände lassen sich bei der Produkion aller ndproduke vollsändig verarbeien. Das Werk A muss dazu 150 M von Z liefern und es können zu den besellen 1 M von 3, 11 M von 1 und 5 M von hergesell werden c) Wenn ein besimmer Lagervorra an Zwischenproduken zur Gewährleisung eines reibungslosen Produkionsablaufes in Werk B bereigehalen werden soll, so erforder dies zunächs Kapial in Höhe der Hersellkosen der Vorräe. Die Finanzierung der Lagervorräe kann enweder aus eigenen Mieln oder durch Kredie (Fremdmiel) erfolgen. In beiden Fällen is das Kapial in den Vorräen gebunden und für andere Zwecke nich verfügbar. Zum Kapialbedarf für die Vorräe kommen noch Folgekosen der Finanzierung hinzu: - bei der igenfinanzierung engehen dem Unernehmen rräge aus der Nuzung anderweiiger Invesiionsmöglichkeien, - bei der Fremdfinanzierung fallen Zinsaufwendungen für die Kredie auf die Lagerhalung an. Jede andere (evenuell kürzere) Darsellung mi obigen Aspeken wird als richig bewere. 5 5 d) Besimmung des Minimums von K: K = + ( ) und K () = 6+ 4 K () = 0 = 0 bedeue = = 0 bzw.

5 Lineare Algebra / Analyische Geomerie Grundkurs-Lösungen Zenrale schrifliche Abiurprüfungen im Fach Mahemaik Bewerung = 4 ± = 4 und = 1. 1/ 1 ] ] lieg nich in 0;9, also wird nur noch 1 berache. 1 is mögliche xremselle und aus K (4) = 48 > 0 folg, dass die Gesamkosen K für 1 = 4 minimal werden. Wann is das neue Verfahren kosengünsiger? Der Nachweis kann z. B. über die Lösung einer Ungleichung oder mihilfe einer geeigneen Wereabelle erfolgen. Ungleichung K ( ) < < < 0 ( ) < = 0 ha die Lösungen 7,4 und 19,4. Aus ( 7,4)( + 19,4) < 0 folg 0 < < 7,4. Da ganzzahlig aus ]0,9] gewähl werden muss, kommen also 1,, 3, 4, 5, 6 oder 7 in Frage. Oder Wereabelle: K() K() Als ganzzahlige Were für kommen demnach nur 1,, 3, 4, 5, 6, oder 7 in Frage. Die neue Kosensiuaion is in Abhängigkei von als posiiv zu beweren, weil durch die Umsellung der Produkion auf die neue Technologie die Bandbreie für eine Kosenminderung (0 < < 7,4) erheblich größer is als für eine Kosenerhöhung (7,4 < 9) Insgesam 100 BW