Die Exponentialfunktion

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1 Die Eponenilunkion Deiniion Es sei eine posiive reelle Zhl,,. Eine Funkion R + R R : heiß Eponenilunkion. Die posiive reelle Zhl heiß Bsis und die reele Zhl R Eponen der Funkion. Mnchml heiß uch Wchsumskor. Wegen () = = ür lle R +, is ( ) ein Punk im Koordinensysem jeder Eponenilunkion. Die Zhl R + ür eine es gewähle Eponenilunkion ergib sich us () = =. Beispiele ( ) = 2 g( ) = ( ) 2 Dies sind ypische Beispiele zweier Eponenilunkionen. Während die Funkion über lle Mßen wächs (sie wird immer größer), äll g srik (sie wird immer kleiner). Insbesondere is g( ) =. ( ) Mhemiker sgen: seig sreng monoon und g äll sreng monoon. D. h.: Für, R gil 2 < ( ) < ( ) und g( ) g( ) 2 2 Sind und y reelle Zhlen und is, b R +, so gil y y + = und ( ) y y < >. 2 2 b = b. = sowie ( ) PD Dr. rer. n. hbil. Ger Hillebrnd

2 Dies verllgemeiner die Poenzgeseze ür lle rionlen Zhlen r, s Q. r s r s + r = und ( ) s In s llen Anwendungen is jedoch (). Deiniion Es seien R+,, c R. Eine Funkion = r s R R : c heiß Eponenilunkion mi Anngswer () = c. Für eine Eponenilunkion mi Anngswer () c Koordinensysem. Is () beknn, so uch, d = is ( ) c ein Punk im () = c = c. Nürlich knn die Funkion uch durch zwei verschiedene Funkionswere oder Punke besimm werden. Beispiel Besimme die zu den Funkionsweren (2) = 8 und (5) = 28 die zugehörige Eponenilunkion mi Anngswer. Aus (2) = 8 olg 8 = (2) = c 8= c. Ensprechend olg us (5) = 28 die Gleichung Dividieren der zweien Gleichung durch die erse lieer In die erse Gleichung einsezen bring = (5) = c 28= c. 28 c = = = = = = c ( ) = c = c = c 4 4 c= = = = = Die Funkionsgleichung lue olglich ( ) = c = 2 6 = 2 6 = PD Dr. rer. n. hbil. Ger Hillebrnd

3 Beispiel 2 Ein Sprverrg wird mi einer Bnk wie olg bgeschlossen. Bei einer Anlge von 5 über 5 Jhre erhäl der Sprer jedes Jhr % Zinsen. Dbei dr während der 5 Jhre kein Geld ennommen werden. Welches Kpil seh nch 5 Jhren im Buch? Zu Beginn der 5 Jhre (5 ) beräg der Anngswer (Anngskpil oder Srkpil) 5. Also is () = c= 5. Dieser Anngswer wird hier mi c= K und die Funkion mi K ( ) ür die Zei bezeichne. D sich ds Kpil K nch einem Jhr u K, vermehr h, is =,. Die Eponenilunkion K mi Srkpil K lue Ds Kpil nch 5 Jhren knn jez leich mi ( ) ( %) 5, K = K + p =. = 5 berechne werden. 5 K (5) = 5, = 5796,7 Au die Einhei des Eponenen dr verziche werden, wenn sie bsolu eindeuig is. Beispiel Rdiokives Jod I besiz eine Hlbwerszei von ungeähr 8 Tgen. Zur Behndlung von Schilddrüsenerkrnkungen bekomm der Pien 2 mg rdiokives Jod gespriz. Gesuch is die Eponenilunkion mi Anngswer. Wie viel mg rdiokives Jod is nch Tgen noch im Körper vorhnden? Die Hlbwerszei gib n, nch welcher Zei noch die Häle der rdiokiven Msse vorhnden is. Folglich beräg die rdiokive Msse nch 8 Tgen mg. Nch 6 Tgen noch,5 mg, Der Anngswer is dher 2 mg. Er wird mi N bezeichne. D nch 8 Tgen nur noch die Häle srhl, muss N = 2 mg mi muliplizier werden. Nun wird 2 jedoch in Tgen gemessen, so dss ür den Eponenen nur in Frge komm. Dmi 8d lue die Eponenilunkion mi Anngswer 8d 8d N( ) = N = 2mg. Die Funkion knn noch umgeschrieben werden. Nch Tgen sind noch d 8 8 d N( ) = 2 mg = 2 mg d 8 d 2,5 4 7 N(d) = 2mg = 2 mg =,45 mg=, 45 g=,45µg rdiokives Jod im Körper vorhnden. PD Dr. rer. n. hbil. Ger Hillebrnd

4 Deiniion Es seien R+,, c, λ R. Eine Funkion R R : c λ heiß Eponenilunkion mi Anngswer c und Normkor λ. Den Normkor hben wir schon leißig verwende. In Beispiel is λ=, in 2 is λ=. 8 Prkisch knn der Normkor nur rionl gemessen werden, so dss in den Anwendungen λ Q is. Vereinbrung Im Folgenden sprechen wir nur noch von einer Eponenilunkion, wenn us dem Zusmmenhng der Anngswer und der Normkor hervorgeh. Beispiel 4 Die Vernschulichung einer Eponenilunkion zur Bsis = verläu durch die Punke ( 2,5) und ( ) Funkionsgleichung. 2,5. Besimme den Anngswer, den Normkor und die λ Mi = olgen us ( ) = c die Gleichungen λ( ) λ λ(2) 2λ 2,5 = ( ) = c 2,5= c und,5 = (2) = c,5= c. Dividieren der zweien Gleichung durch die erse lieer 2,5 c λ 2 λ 5λ 5λ λ 2,5 5, 4 c λ λ = = = = =. Nun wissen wir, dss ür λ uch 24 λ is. λ muss olglich negiv sein. Nun knn z.b. durch Inervllschchelung λ besimm werden. Dzu berechnen wir 24 =,4... Wir sind noch wei von,2 enern, lso nehmen wir die Häle.,5 24 =, und wieder Zhlen.,295, 24 =,924...,,25 4 PD Dr. rer. n. hbil. Ger Hillebrnd 24 =, Jez lieg,2 zwischen den beiden,29 24 =, Wieder die Mie lieer 24 =,2... Bleiben wir genu in der Mie, lso, =, Fhren wir so weier or, so inden wir λ=, Mi Hile der Inervllschchelung knn λ u beliebig viele Sellen hiner dem Komm besimm werden. Selbsversändlich wird dzu eine Tbelle ngeleg.

5 Der Normkor beräg λ=, Mi eine der beiden Gleichungen wird c besimm. Aus c =, Der Anngswer lue c =, λ, c 2,5= c = olg Jez is die Funkionsgleichung eindeuig besimm. Sie lue ( ) = c, wobei c =, und λ=, Oder λ, ( ) =, Wir werden bld ein einches Verhren kennen lernen, um λ zu besimmen. Dzu benöigen wir ber einen Logrihmus. Dmi du nich so lnge wren muss, gebe ich dir ds Ergebnis beknn. Es sei log : R R die Umkehrunkion der Eponenilunkion ep : R R, + ep ( ) : =. Hier bezeichnen wir sie zum besseren Versändnis. Dnn gil ( ) = R und ( ) log ep ( ), ep log ( ) =, R +. + Nun erhlen wir us, 2= 24 λ die Gleichung log (,2) = log ( 24 λ ) = λ. Der Tschenrechner zeig soor die Zhl λ=, n Leze log(, 2) Beweise, dss log24(, 2) = oder llgemeiner log ( ) b logb log log ( 24) reellen Zhlen, b, gil. = ür lle PD Dr. rer. n. hbil. Ger Hillebrnd 5