Exponential- und Logarithmusfunktionen

Transkript

1 . ) Personen, Personen bzw. Personen ) Ewas weniger als Minuen. (Nach,... Minuen sind genau Personen informier.) ) Ja. Bereis um : Uhr sind (heoreisch) Personen informier. ) Informiere Miarbeierinnen und Miarbeier reffen nich ausschließlich auf uninformiere, weshalb sie Personen, die das Gerüch noch nich kennen, mi forschreiender Zei nich so leich finden werden. Außerdem dauer es nich immer gleich lang nämlich Minuen bis das Gerüch weier geragen wird.. A) beschreib einen eponeniellen Zusammenhang. Wird der -Wer um erhöh, so wird der -Wer verdreifach. B) beschreib einen linearen Zusammenhang. Wird der -Wer um erhöh, so wird der -Wer um, vergrößer. Beim linearen Zusammenhang is die Seigung konsan. Beim eponeniellen Zusammenhang is der Fakor, mi dem die -Were veränder werden, konsan.. Eponenial- und Logarihmusfunkionen beschreib ein lineares Wachsum. Wird der -Wer um erhöh, so seig der -Wer um. beschreib ein eponenielles Wachsum. Wird der -Wer um erhöh, so verdreifach sich der -Wer ) - A: Lineare Funkion, die Seigung beräg k =. - - B: Eponenialfunkion, die -Were werden jeweils halbier. C: Quadraische Funkion, die Punke liegen auf einer Parabel. ) A: = B: = ( _ ) C: =

2 ... ) Der ursprüngliche Funkionswer wird mi muliplizier. ) Der ursprüngliche Funkionswer wird durch dividier. ) Der ursprüngliche Funkionswer wird quadrier.. a =, =,.... ) C) ) D) ) A) bzw. E) ) B). ) Lineare Funkion Die Funkion ha die Form = k + d. ) Quadraische Funkion Die Funkion ha die Form = a + b + c. ) Poenzfunkion Die Funkion ha die Form =. ) Eponenialfunkion Die Funkion ha die Form = c a + d.. Für a > is die Funkion eponeniell seigend. Die Funkionswere vergrößern sich um den Fakor a. Für < a < is die Funkion eponeniell fallend. Die Funkionswere verkleinern sich um den Fakor a.. )... eine Verschiebung in negaiver -Richung. )... Sauchung... in -Richung. )... eponeniell wachsend bzw. sreng monoon seigend. )... -Richung gesauch. )... dem Unendlichen. )... zueinander smmerisch.. a),,,,,, =, = c),,,,,,,,,,,, =, - =, b),,,,,, = = d),,,,,,,,,,,, =, =, Die Basis der Eponenialfunkion is jeweils der Kehrwer der Basis von. Das bewirk eine Spiegelung des Graphen an der -Achse.

3 ... a) b) Der Graph von seig schneller als Der Graph von bzw. fäll schneller als jener von bzw. von. Der Graph von jener von bzw.. Der Graph von is is gegenüber dem Graph von um gegenüber dem Graph von um Einhei in Einheien in negaiver -Richung -Richung verschoben. Der Graph von is verschoben. gegenüber dem Graph von um Einheien in negaiver -Richung verschoben.. ) Die beiden Funkionen sind idenisch. _ ), =, _ = (, _ ) =,. ) und ) ) und haben je zwei Schnipunke, ha einen Schnipunk (= Berührpunk).. ) Die beiden Graphen sind fas idenisch. ),... Die rechnerische Begründung erforder die Kennnis des Logarihmierens (siehe Band, Seie ): Anwenden des naürlichen Logarihmus auf = e λ ergib λ = ln().. a) A:, B:, C:, D: ; is nich dargesell A: Der Graph is sreng monoon fallend. Die Basis a muss also kleiner sein oder im anderen Fall der Eponen negaiv. Dies riff auf und zu. An der Selle = is der -Wer ewas größer als _, das riff auf zu, also is die gesuche Funkion. B: Der Graph is sreng monoon seigend. Die Basis a muss also größer sein oder im anderen Fall der Eponen negaiv. Dies riff auf, und zu. An der Selle = is der -Wer _, also is die gesuche Funkion. C: Der Graph is sreng monoon seigend. Die Basis a muss also größer sein oder im anderen Fall der Eponen negaiv. Dies riff auf, und zu. An der Selle = is der -Wer, also is die gesuche Funkion. D: Der Graph is sreng monoon fallend. Die Basis a muss also kleiner sein oder im anderen Fall der Eponen negaiv. Dies riff auf und zu. An der Selle = is der -Wer _, also is die gesuche Funkion. b) A:, B:, C:, D: ; is nich dargesell c) A:, B:, C:, D: ; is nich dargesell Begründungen bei b) und c) analog zu a).. Es is analog zu. vorzugehen vgl. Buch, Seie.. a) = log () b) = log () c) = ln() d) = log () e) = lg ( _ )

4 ... a) D = { R > } c) D = { R > } e) D = { R > } g) D = { R < } ,,...,,...,,...,...,...,...,..., ,,...,,...,,...,...,...,..., ,,...,,...,,...,...,...,... -,...,...,...,...,,...,,...,, b) D = { R > } d) D = { R > } f) D = { R > } h) D = { R > },,...,,...,,...,...,...,...,...,...,,,...,,...,...,...,...,...,...,,...,,...,,...,,...,,...,,...,,...,...,...,...,...,...,, -, - -, ,, -, - -, -,,,,. ) in ASA in DIN,...,...,...,... ) =. a) D = { R > }; L = { } c) D = { R > }; L = {} b) D = { R > }; L = { e } d) D = { R > }; L = {e }

5 ... a) D = { R > }; L = {,...} c) D = { R < }; L = {,...} b) D = { R > }; L = {,...} d) D = { R > _ }; L = {,...}. ) Falsch. Beim Lösen von logarihmischen Gleichungen muss eine Definiionsmenge besimm werden, da Logarihmen nur für posiive reelle Zahlen definier sind. ) Falsch. Logarihmische Gleichungen können im Allgemeinen nur grafisch oder numerisch gelös werden. Die analische Lösung is nur in Sonderfällen möglich. ) Richig. Eine Gleichung wird dann als logarihmische Gleichung bezeichne, wenn die Variable im Numerus (Argumen) von Logarihmus vorkomm.. a) : A, : C, : keine Zuordnung, : D, B: = b) : A, : C, : keine Zuordnung, : D, B: =, e. a) a =,; c = ; p =,... b) a =,; c = ; p =. a) wird viermal so groß b) verkleiner sich auf _ des ursprünglichen Wers c) verkleiner sich auf = des ursprünglichen Wers d) vergrößer sich um den Fakor _ = e) vergrößer sich um den Fakor a = a f) verkleiner sich auf des ursprünglichen Wers a. ) = + _ s, ) = _ h, ) = _ d, ) =, _ d, ) =, _ d. a) D = { R > }, L = { } b) D = { R > }, L = {,...} c) D = { R > }, L = {,...}. a) D = { R > }, L = {,...} b) D = { R < < }, L = { _ }. ) d ],... m m[ ) ) mindesens,... Jahre e ) d = + e Aler in Jahren,,,,,,,,,,, d in m

6 Wachsumsprozesse. siehe Buch, Seie. ) Variane I: K () =, + Variane II: K () = +, ) Bei einer Leihdauer von Sunden kosen beide Varianen gleich viel. ) Kosenzuwachs pro Zeieinhei bei Variane I:, bei Variane II:,. ) Variane I: K () =, +, Variane II: K () =, +, ) Bei mehr als Sunden is Variane II günsiger. ) Kosenzuwachs pro Zeieinhei bei Variane I:, bei Variane II:,. ) Jahre ) W() = Nach Jahren is der Wer auf null gesunken.. siehe Buch, Seie. ) B() =, ) Besand nach Jahren:,... m ab heue in Jahren:,... m ) nach,... Jahren K (), K () K () K () K (), K () K () K () W() Jahre m B(),,, Jahre h h

7 ... ) J() = J(), ) =,... mm % J(), mm. Beim Wachsumsgesez gil für die Verdopplungszei T: B = B e λ T Lös man diese Gleichung nach T, erhäl man T = ln() Beim Zerfallsgesez gil für die Halbwerszei T: _ B = B e λ T Lös man diese Gleichung nach T, erhäl man ebenfalls T = ln(). ) λ =,..., ) m() = e, ( in Minuen) ) T =,... Minuen ) A), g B),... g C) nach,... Minuen λ λ g, m(),, - -, Minuen. ),... % Grafische Darsellung zu ) und ): ),... Sunden % Ü() ),... Sunden ),... Sunden, in Sunden,. ) w() = e, ( in h) ),... h mg w(), h

8 ... ) p(h) =, e, h A),... m B) Großglockner:,... hpa Moun Everes:,... hpa ),... % hpa p(h),,, h, in m. ) Nach Monaen sind die Lianen, m lang; nach,... Monaen sind sie mehr als m lang. ) Jahr = Monae = Tage, Tage = Woche Wachsumsfakor innerhalb einer Woche ( ) =,..., () in m. siehe Buch, Seie. ) f() = + e, ) nach rund Monaen (rechnerisches Ergebnis:,... Monae) Sück f() in Monaen, in Monaen. ) f() = e, Das Dreifache des Anfangswers wird nach rund Monaen verkauf. (rechnerisches Ergebnis:,... Monae) ) rund Sück (rechnerisches Ergebnis:,... Sück). ) f() = + e, ) A) nach rund s (rechnerisches Ergebnis:,... s) B) rund C (rechnerisches Ergebnis:,... C) Sück f(), in Monaen, C f(),, in Sekunden

9 ... ) f() = + e, ) nach,... Tagen C f(). f() = e, nach,... Minuen. ) f() = e, ) nach ungefähr Jahren in Tagen, C f() in Minuen, Sück f() in Jahren. ) Es lieg eine begrenze Abnahme (= negaives begrenzes Wachsum ) vor. Anfangsbesand: Bewohner/innen jährliche Abnahme: rund % (= jährlicher Zuwachs rund % ) unere Grenze: Bewohner/innen ) nach Jahren ca. Bewohner/innen nach Jahren ca. Bewohner/innen nach Jahren ca. Bewohner/innen nach Jahren ca. Bewohner/innen nach Jahren ca. Bewohner/innen N() = + e,. siehe Buch, Seie

10 ... ) ) A() = + e, ) : nach,... Monaen : nach,... Monaen : nach,... Monaen A(). ) f() = + e, ) A) nach rund Monaen (rechnerisches Ergebnis:,... Monae) B) nach rund Monaen (rechnerisches Ergebnis:,... Monae). ) A) Personen B) ca., Tage (rechnerisches Ergebnis:,... Tage) C) nach Tagen (seilser Ansieg) D) nach Tagen ) Die Wachsumskonsane λ is für die Ausbreiungsgeschwindigkei veranworlich. Zur Beschreibung einer langsameren Verbreiung wäre der Berag von λ zu verringern.,, in Monaen, Sück f() in Monaen,, N() in Tagen,. ) f() = +, ( in Minuen) ) f() =, ( in Sunden) f() f() in Minuen in Sunden ) halb voll: nach, Minuen A) nach Sunden ganz voll: nach Minuen B) nach Sunden C) Lier

11 ... ) e, ) ) nach,... Wochen f(). ), ) nach, s in Wochen,. ), ) nach, Jahren. a),... Jahre b),... Jahre c),... Jahre d),... Jahre. ) f() = + e ) Tage Resberag,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ) nach Tagen f() in Tagen

12 ... ) nach einem Tag: Sück nach Tagen: Sück ) nach Tagen (rechnerisches Ergebnis:,... Tage). ) Hasen ) Hasen ) nach ca. Monaen (rechnerisches Ergebnis:,... Monae) ) nach ca. Monaen (seilser Ansieg) Sück () in Tagen, P(), in Monaen,