Abiturprüfung 2017 ff Beispielaufgabe Grundkurs Mathematik; Analysis Beispiel Wirkstoff

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Maike Winter
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1 Die Bioverfügbarkei is eine Messgröße dafür, wie schnell und in welchem Umfang ein Arzneimiel resorbier wird und am Wirkor zur Verfügung seh. Zur Messung der Bioverfügbarkei wird die Wirksoffkonzenraion im Blu zu verschiedenen Zeipunken gemessen. Die Fläche uner dieser Kurve verhäl sich proporional zu der Wirksoffmenge, die in den Organismus gelang is. Nach Verabreichung eines besimmen Medikamens an eine Tesperson is die halbsündlich gemessene Wirksoffkonzenraion im Blu in folgender Tabelle noier worden: Zei [Sunden] 0 0,5,5 2 Wirksoffkonzenraion W() [µg/ml] 0 2,,3 0,55 0,23 a) Der zeiliche Verlauf der Wirksoffkonzenraion soll zunächs mi einer ganzraionalen Funkion k für 0 modellier werden. Dabei wird als Maßzahl der Zei zur Einhei Sunde, k() als Maßzahl der Wirksoffkonzenraion zur Einhei µg/ml aufgefass. Zum Zeipunk = 0 is das Medikamen verabreich worden. () Besimmen Sie eine Gleichung einer ganzraionalen Funkion k vieren Grades, deren Graph durch die in der Tabelle angegebenen fünf Messpunke verläuf. Dabei sind die Were der Koeffizienen auf die 4. Nachkommaselle gerunde anzugeben. a) () Es gil folgender Ansaz: k( ) = a + b + c + d + e mi 0 und a, b, c, d IR. Wegen k (0) = 0 folg e = 0. Daraus ergib sich das folgende LGS: 0,0625 0,25 5,0625 3, ,25 0,5 2,25, ,,3 0,55 0,23 Mi Hilfe des GTR ergeben sich:,733; 9,0733; 6,47; 0,357. Die gesuche Funkionsgleichung laue somi: =,733 +9,0733 6,47 +0,357. (5 Punke) Alernaive Lösung: Es gil: k(0, 5) = 2,; k() =, 3; k(, 5) = 0, 55; k(2) = 0, 23. Mihilfe des GTR liefer die Regression vieren Grades:,733; 9,0733; 6,47; 0,357. Die gesuche Funkionsgleichung laue somi: =,733 +9,0733 6,47 +0,357.

2 a) (2) Wenn man auf die 3. Nachkommaselle runde, is =,73 +9,073 6,42 +0,352, IR eine Gleichung der Funkion k aus a)(). Besimmen Sie den zur Modellierung sinnvollen Definiionsbereich und begründen Sie, warum die Funkion nur innerhalb dieses Inervalls den zeilichen Verlauf der Wirksoffkonzenraion beschreiben kann. (4 Punke) a) (2) Zeichne man mihilfe des GTR den Graphen von k, so besimm man näherungsweise folgende Nullsellen von k: = 0 oder 2,34. Die Wirksoffkonzenraion im Blu muss größer oder gleich Null sein. Die Funkion k, die die Wirksoffkonzenraion W() (gemessen in µ g / ml ) beschreib, darf deshalb nur posiive Were oder den Wer Null annehmen. Dami ergib sich als Definiionsbereich im Sachzusammenhang 0 2,34. Nur im angegebenen Inervall ha der Graph von k seine Nullsellen und verläuf oberhalb der -Achse. Außerhalb dieses Inervalls werden die Funkionswere negaiv. Deshalb is dies der gesuche Zeibereich. Eine alernaive Modellierung des zeilichen Verlaufs der Wirksoffkonzenraion kann näherungsweise beschrieben werden durch die Funkion f mi der Gleichung =5! " #! " # =5! " #! #, 0. 2 Der Graph der Funkion f is in der Abbildung dargesell: 2,5 f 2,5 0,5-0,5-0,25 0 0,25 0,5 0,75,25,5,75 2 2,25-0,5 Abbildung MaheGrafix.de b) () Berechnen Sie die prozenuale Abweichung des Funkionswers f (0,5) vom zugehörigen Tabellenwer W(0,5). (2 Punke)

3 b) () Es gil: f (0, 5) 2,7 =, 034. Der Funkionswer ( 0,5) W (0, 5) 2, zugehörige Tabellenwer W ( 0,5). f is ca. 3,4 % größer als der b) (2) Begründen Sie, dass es bei der hier verwendeen Modellierung durch die Funkion f nie zu einem vollsändigen Abbau des Wirksoffs im Blu der Tesperson käme. 3 b) (2) Es gil: f ( ) 5 e ( e ) =. Für alle > 0 gil 3 e > 0 und e > (3 Punke). Folglich gil auch f ( ) > 0. Dami kann es nie zu einem vollsändigen Abbau des Wirksoffes im Blu kommen. Alernaive Lösung: Wie an dem Graphen von f zu erkennen is, verläuf der Graph von f für > 0 im ersen Quadranen und sreb für große Were von gegen die -Achse. Mi Hilfe des GTR läss sich zusäzlich besimmen, dass f keine weieren Nullsellen ha. Also komm es auch auf lange Sich zu keinem vollsändigen Abbau des Wirksoffes im Blu. c) () Besimmen Sie rechnerisch den Zeipunk im Inervall [0;2], zu dem die durch f beschriebene Wirksoffkonzenraion im Blu der Tesperson am größen is, und berechnen Sie den zugehörigen Maximalwer c) () Es ergib sich: f ( ) 5 ( 2e ( 3e )) 5 e ( 3 2e ) = =. Die nowendige Bedingung liefer wegen 3 5 e 0 > die Gleichung ( e ) (8 Punke) 3 2 = 0 und dami mi Hilfe des GTR 0,405 als einzige Selle des Graphen mi waagerecher Tangene. Durch Einsezen erkenn man, dass f an der Selle 0,405 das Vorzeichen von + nach wechsel. Also lieg an dieser Selle ein lokales Maximum mi f 0, 405 = 2, 222 vor. ( ) Dieses is wegen ( 0) 0 f = und ( ) f 2 0, 238 auch das globale Maximum der Funkion f im Inervall [0; 2]. Die Wirksoffkonzenraion erreich zum Zeipunk 0,405 h ihren Maximalwer von ca. 2,222 &' ().

4 c) (2) Besimmen Sie die Zeipunke im Inervall [0;2], zu denen die durch f beschriebene Wirksoffkonzenraion am särksen anseig bzw. am särksen abfäll, und berechnen Sie jeweils die momenane Änderungsrae der Wirksoffkonzenraion zu diesen Zeipunken. [Zur Konrolle: = 5! " # 3 2! # ] (7 Punke) c) (2) Die maximale oder minimale Änderungsrae der Wirksoffkonzenraion kann nur an den Wendesellen oder den Rändern des Inervalls angenommen werden. Mi Hilfe des GTR kann die Wendeselle als lokale Minimumselle von f auf zwei Nachkommsellen bei 0,8 am Graphen von f abgelesen werden. Weier gil: 0 = 5; 0,8,98 +, 2 0,44. Die Wirksoffkonzenraion nimm am särksen bei = 0 h mi 5 &' am särksen bei 0,8 h mi ca.,98 &' (). ab. (). zu und nimm d) () Man berache die Funkion F: F(), 0, die die Maßzahl der Fläche zwischen dem Graphen von f und der -Achse im Inervall [0;] angib. Zeichnen Sie den Graphen von F in der Abbildung und begründen Sie sein Seigungsverhalen. d) () Zeichnung des Graphen von F: (4 Punke) f 2,5 F 2,5 0,5-0,5-0,25 0 0,25 0,5 0,75,25,5,75 2 2,25-0,5 MaheGrafix.de Zum Zeipunk = 0 exisier kein Flächeninhal, deshalb muss F(0) = 0 gelen.

5 Da der Graph von f für > 0 oberhalb der -Achse verläuf und die Fläche zwischen dem Graphen von f und der -Achse bis zum Hochpunk sark anwächs, muss der Graph von F sark anseigen. Danach seig der Graph von F weier, wird aber flacher. Für größere Were von nimm die Fläche zwischen dem Graphen von f und der - Achse weierhin zu. Wegen des immer geringer werdenden Zuwachses wird der Graph von F immer flacher seigen. Insgesam seig der Graph von F im Inervall [0; ] also sreng monoon. d) (2) Vergleichen Sie die Maßzahl A der Fläche zwischen dem Graphen von f und der - Achse im Zeiinervall [0;2] mi der Maßzahl B der Fläche zwischen dem Graphen der ganzraionalen Funkion k (aus Aufgabeneil a)) und der -Achse im Zeiinervall [0;2]. Begründen Sie, dass mi beiden Modellen die Bioverfügbarkei in diesem Inervall modellier werden kann. (7 Punke) d) (2) Nach dem Bisherigen is bekann, dass die Graphen beider Funkionen f und k im beracheen Inervall oberhalb der -Achse verlaufen. Der gesuche Flächeninhal kann demnach mi 0 als unerer und 2 als oberer Grenze miels Inegraion mi Hilfe des GTR berechne werden. Für die gesuchen Maßzahlen gelen: / = 0 2,375 und 2 = 0 2,267. Wegen 3 =,56,048 is die Maßzahl der Fläche A mi ca. 4,8 % nur geringfügig 4,75 größer als die Maßzahl der Fläche B. Die beiden Funkionen geben nach dem Bisherigen die Wirksoffkonzenraion im Blu zu jedem Zeipunk mi 0 an. Im Eingangsex wird beschrieben, dass sich die Fläche uner der Kurve proporional zu der Wirksoffmenge, die in den Organismus gelang is, verhäl. Also kann die berechnee Fläche als Indikaor für die Bioverfügbarkei genuz werden. Da die im bisherigen ermielen Abweichungen aus b) () und d) (2) uner 5 % liegen, scheinen beide Funkionen geeigne zu sein, die Bioverfügbarkei des Wirksoffes zu ermieln.

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