Mathematische Methoden in den Ingenieurwissenschaften 4. Übungsblatt

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1 Prof Dr M Gerds Dr A Dreves J Michael Winerrimeser 6 Mahemaische Mehoden in den Ingenieurwissenschafen 4 Übungsbla Aufgabe 9 : Mehrmassenschwinger Berache wird ein schwingendes Sysem aus Körpern der Masse m und 3 Federn mi der Federkonsane k, wie es im unen sehenden Bild dargesell wird Die Auslenkungen x und x bezeichnen die Auslenkung der Massepunke aus der Ruhelage, die zum Vekor x [x x ] zusammengefass wird Durch eine vorgegebene Anfangsauslenkung und -geschwindigkei x x, ẋ v wird das Sysem in Schwingung versez Leien sie die Bewegungsgleichungen mi Hilfe des Hamilonprinzips her Lösung: Die kineische Energie ergib sich zu m ẋ + ẋ und die poenielle Energie des Sysems is die in den Federn gespeichere Energie V kx + kx x + kx k x + x x + x Dami ergib sich die Lagrangefunkion als Lx, x, ẋ, ẋ m ẋ + ẋ k x + x x + x

2 Die Bewegungsgleichungen ergeben sich aus der ersen Variaion des Funkionals W x, x, ẋ, ẋ Lx, x, ẋ, ẋ d Variiere x mi der Funkion v und x mi der Funkion v, wobei aufgrund der Anfangswere jeweils gil v, v V : { v C, v v } δw x, v d dε W x + εv ε d dε m ẋ + ε v + ẋ + ε v d dε Lx + εv, x + εv, ẋ + ε v, ẋ + ε v d ε k x + εv + x x + ε v v + x + εv ε d m ẋ + ε v v + ẋ + ε v v k x + εv v + x x + ε v v v v + x + εv v d ε m ẋ v + ẋ v k x v + x x v v + x v d mẋ v k x x v + mẋ v k x x v d Sez man v erhäl man mẋ v k x x v d v V und analog für v mẋ v k x x v d v V Führ man bei beiden Variaionsgleichungen eine parielle Inegraion durch, so erhäl man mẋ v mẍ + k x x v d, v V

3 mẋ v und dami die Bewegungsgleichungen mẍ + k x x v d, v V mẍ kx + kx, mẍ kx kx Bemerkung: Eine Auswerung der Randbedingungen, wie es bei den vorherigen Variaionsproblemen der Fall war, würde jeweils auf eine falsche Randbedingung mẋ mẋ führen Deshalb läss sich bei einem vollsändig beschriebenen Anfangszusand und freiem Endzusand lediglich die Differenialgleichung herleien Durch den vollsändig beschriebenen Anfangszusand und die Differenialgleichung is der Zusand x bereis fesgeleg Deshalb muss der Raum der Variaionen rückwirkend als v, v V : { v C, v v v, } gewähl werden, wodurch das Wegfallen der Randerme erklär werden kann Aufgabe : Isoperimerisches Variaionsproblem Ein Jogger will eine fese Zei > einen Crescendolauf machen, dh mi seig wachsender Geschwindigkei laufen Dabei will er eine fese Menge E > seiner Kohlenhydrareserven verbrauchen Wir nehmen an, dass bei dieser Laufform sein Kalorienverbrauch proporional zum Quadra der Geschwindigkei mi der Proporionaliäskonsane c > und zum Quadra der Beschleunigung mi der Proporionaliäskonsane > is Der Jogger sare zum Zeipunk mi der Geschwindigkei v und der Beschleunigung v Wie muss er seine Geschwindigkei wählen, dami er eine möglichs lange Srecke in der Zei zurückleg Lösung: Sei x die vom Jogger zum Zeipunk zurückgelege Srecke und v seine Geschwindigkei zum Zeipunk Dann versuch der Jogger x zu maximieren Der Kalorienverbrauch wird durch vd x c v + v d E beschrieben Dami muss der Jogger das isoperimerische Variaionsproblem min vd udn v + v d E, v, v 3

4 lösen Als Lagrange-Funkion erhalen wir und somi muss in der Lösung Lv, v v + λc v + v, L v v, v d L d v v, v + λc v λ v gelen Daraus ergib sich λ und die Differenialgleichung c v v λ Diese ha die Lösung v Ae c + Be c + λ Aus den Anfangsbedingungen erhalen wir v A B A B, Hiermi folg v A + B + λ A λ v Ae c + Ae c A A cosh Aus der Monoonie von v sieh man, dass es ein Crescendolauf is v > für alle > Um die verbleibende Konsane A zu besimmen nuzen wir noch die leze Nebenbedingung E 4c A v + v d 4c A cosh 8c A 8c A sinh + cosh cosh 4 A [4c + c sinh + 4 A c cosh cosh sinh d sinh 8c sinh d + + sinh ] Da A posiiv sein muss sons wird v negaiv, erhalen wir die Konsane d A E [ 4c + ] / c sinh 8c sinh 4

5 Insgesam erhalen wir somi die von den Eingabeparameern abhängige Geschwindigkei E cosh v [ 4c + ] / c sinh 8c sinh Aufgabe : Schießverfahren Lösen Sie mi dem Einfachschießverfahren das Zweipunk-Randwerproblem x 4x, x, x Saren Sie dabei mi einer beliebigen Sarschäzung η [] Lösung: Wir formulieren die Differenialgleichung zweier Ordnung zunächs in eine erser Ordnung um: x v, x, x v 4x Sezen wir nun y : x, v und gy : y y, ry, y : 4y y, so ha unser Problem die Sandardform y gy, ry, y Wählen wir nun eine beliebige Sarschäzung η [] η [], η [] Dann müssen wir das Anfangswerproblem y gy y, y η [], 4 lösen Die Eigenwere der Marix sind und mi den zugehörigen Eigenvekoren 4, und, Dami erhalen wir y Ae + Be Aus der Anfangsbedingung folg die Bedingung η [] A B A y η [] A + B B Durch inverieren der Marix erhalen wir A η [] B 4 η [] 5 η[] + 4 η[] η[] + 4 η[]

6 Also is die Lösung y; η [] η[] + 4 η[] e η [] cosh + η[] + sinh η [] sinh + η [] cosh Nun berechnen wir F η [] ry; η [], y; η [] y ; η [] y ; η [] η[] + 4 η[] e η [] η [] cosh + η[] sinh Als nächses müssen wir die Jacobimarix von F besimmen In unserem Fall is die Ableiung auf Grund der Lineariä leich zu besimmen Wir erhalen F η [] cosh sinh Einschub: Allgemein müsse man hier die Sensiiviäs-Differenialgleichung S g yy; η [] S S, S I 4 lösen Analog zu oben häen wir die Lösung Ae S Be Ae + Be Ce De Ce + De Aus der Anfangsbedingung folg S A B A + B C D C + D und somi A, B, C, D Insgesam also 4 4 S e + e 4 e 4 e cosh sinh e e e + e sinh cosh Dami häen wir dann ebenfalls F η [] r y a + r y cosh b Sb + sinh sinh cosh cosh sinh Nun berechen wir die Newon-Richung d als Lösung von cosh sinh d F η [] d F η [] 6 η [] η [] cosh + η[] sinh

7 und erhalen d η [] η [] + sinh η [] η [] + d sinh Nun gil aber F η [], also haben wir in einem Schri unabhängig vom Sarparameer die Lösung sinh sinh y, y, y cosh cosh sinh sinh sinh Insbesondere erhalen wir dami auch die Lösung für unser Ausgangsproblem x sinh sinh 7