3.4 Systeme linearer Differentialgleichungen

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1 58 Kapiel 3 Invarianen linearer Transformaionen 34 Syseme linearer Differenialgleichungen Die Unersuchung der Normalformen von Marizen soll nun auf die Lösung von Differenialgleichungssysemen angewende werden Uner einem Sysem gekoppeler linearer Differenialgleichungen erser Ordnung mi konsanen Koeffizienen verseh man ein Sysem von Gleichungen folgender Form: y () a y () + a 2 y 2 () + + a n y n () y 2() a 2 y () + a 22 y 2 () + + a 2n y n () y n() a n y () + a n2 y 2 () + + a nn y n () Dabei sind a ij vorgegebene Zahlen und y,,y n sind gesuche differenzierbare Funkionen in der Variablen R Wir können die Koeffizienen a ij zu einer n n- Marix A zusammenfassen, und y,,y n als Komponenen einer vekorwerigen Funkion Y : R R n auffassen Sind alle Komponenen y i der Funkion Y differenzierbar, nennen wir auch Y differenzierbar und sezen y () Y () : y n() Dami erhalen wir für das Differenialgleichungssysem folgende kompake Schreibweise: y () y () A oder Y () A Y () y n() y n () Schauen wir unszunächs den Fall an, in dem A Diagonalform ha Sei also λ A eine Diagonalmarix mi den Eigenweren λ,,λ n Das λ n zugehörige Gleichungssysem is dann: y () λ y () y 2() λ 2 y 2 () y n() λ n y n () Die Gleichungen sind also eigenlich enkoppel, und die Lösungen lauen, wie wir aus dem Fall n bereis wissen: y k () c k e λ k, für k,,n, R Dabei sind c,,c n R frei wählbar Wenden wir uns nun wieder der allgemeinen Siuaion zu

2 34 Syseme linearer Differenialgleichungen Bemerkung Die Lösungsmenge L {Y : R R n Y () A Y ()} eines linearen Differenialgleichungssysems bilde einen linearen Unerraum des Vekorraums V aller differenzierbaren Funkionen von R nach R n Denn sind Y,Y 2 Lösungen, so auch αy + βy 2 für alle α,β R Wie wir späer zeigen werden, ha jedes Anfangswerproblem in diesem Zusammenhang eine eindeuige Lösung: 34 Saz Seien A M n n, Y R n und R gegeben Das Differenialgleichungssysem Y () A Y () ha genau eine Lösung Y V zur Anfangsbedingung Y ( ) Y 342 Folgerung Der Lösungsraum L der Differenialgleichung Y () A Y (), gegeben durch eine n n-marix A, ha die Dimension n Beweis Die Zuordung L R n, Y Y (), definier durch Auswerung an der Selle, is linear und wegen der eindeuigen Lösbarkei von Anfangswerproblemen sogar bijekiv Also handel es sich um einen Vekorraumisomorphismus und daraus folg dim L n qed Eine Basis des Lösungsraums L wird in diesem Zusammenhang als Fundamenalsysem der Differenialgleichung bezeichne Zum Beispiel können wir im oben angegebenen Fall eines enkoppelen Sysems, definier durch eine Diagonalmarix mi Eigenweren λ,,λ n, als Fundamenalsysem folgende Lösungen wählen: Y () e λ, Y 2() e λ 2,, Y n() Diese n Lösungen sind linear unabhängig, denn es gil für alle R: e λn de(y (),,Y n ()) e λ e λ 2 e λn e (λ + +λ n) > 343 Saz (a) Is v ein Eigenvekor zum Eigenwer λ der Marix A, so is Y () e λ v eine Lösung des Differenialgleichungssysems Y () A Y () (b) Is A M n n diagonalisierbar, und sind v,,v n linear unabhängige Eigenvekoren von A zu den Eigenweren λ,,λ n, so bilden die vekorwerigen Funkionen Y k () : e λ k v k, k,,n ein Fundamenalsysem des Sysems Y () A Y () 344 Beispiel Wir berachen das Differenialgleichungssysem y () 3y () + 2y 2 () y 2() y () + 4y 2 ()

3 6 Kapiel 3 Invarianen linearer Transformaionen Eigen Dann is A Für diese Marix sind v 4 und v 2 vekoren zu den Eigenweren λ 5 bzw λ 2 2 von A Die Funkionen e Y () e e e 5 und Y 2 () e 2 2 e 2 bilden ein Fundamenalsysem von Y () A Y (), wie man durch Einsezen überprüfen kann Beweis des Sazes: (a) Is v ein Eigenvekor zum Eigenwer λ, so gil A(e λ v) e λ (Av) e λ λv Andererseis is d d (eλ v) λe λ v Also lös Y () e λ v das Differenialgleichungssysem (b) Aus Teil (a) wissen wir bereis, dass die Funkionen Y k jeweils Lösungen sind Diese Lösungen sind auch linear unabhängig, denn für alle R gil: de(y (),,Y n ()) de(e λ v,,e λn v n ) e λ e λn de(v,,v n ) qed Im Allgemeinfall können wir die Lösungen mihilfe der Exponenialabbildung von Marizen beschreiben Man definier in Analogie zur gewöhnlichen Exponenialfunkion für eine quadraische Marix A und R: e A : E + A A2 + + k k! Ak + k k k! Ak Für jede beliebige Marix A konvergier diese Reihe und zwar gegen eine Marix von demselben Typ wie A Ausserdem gelen ähnliche Rechenregeln wie für die Exponenialfunkion, nämlich zum Beispiel: ) Daraus er- e (+s)a e A e sa für alle,s R, A M n n ( λ λ 345 Beispiele Is A, dann is A λ k k 2 λ k 2 gib sich: ( e A λ k ) k! λk + λ 2 k k! λk 2 ( ) k k k! λk e λ e λ 2 k k k! λk 2 Für B folg durch Indukion B k erhäl man: ( 2 e B k für alle k N Dami ) ( k ) k k + k! k! + k k!

4 34 Syseme linearer Differenialgleichungen 6 ( k k k! k k (k )! k k k! ) e e e λ Für C gil: e λ C e λ a b cos(b) sin(b) Sei D (a,b R) Dann is e b a D e a sin(b) cos(b) (siehe Übungsaufgabe) 346 Saz Seien A M n n und Y R n vorgegeben Das Differenialgleichungssysem Y () A Y () zur Anfangsbedingung Y () Y ha genau eine Lösung Y : R R n, nämlich Y () e A Y für R Die Spalen der Marix e A bilden ein Fundamenalsysem für das Differenialgleichungssysem Beweis Wir rechnen zunächs nach, dass die angegebene Funkion die Differenialgleichung lös Einerseis is Y () d d ((E + A A2 + )Y ) A Y + A 2 Y A3 Y + k k (k )! Ak Y Andererseis gil: A Y () A ((E + A A2 + ) Y Die beiden Ausdrücke simmen überein, also is Y eine Lösung Auch die Anfangsbedingung is erfüll, denn für erhalen wir durch Einsezen: Y () e A Y E Y Y Nun zur Eindeuigkei der Lösung: Nehmen wir an, Y sei irgendeine Lösung der Differenialgleichung mi Y () Y Dann folg aus der Produkregel für alle R: d d e A Y () e A A Y () + e A Y () e A A Y () + e A A Y () Die Funkion e A Y () is also konsan Daraus folg: e A Y () e A Y () Y für alle R

5 62 Kapiel 3 Invarianen linearer Transformaionen Wir erhalen also wie behaupe: Y () e A Y Die j-e Spale Y j der Marix e A erhäl man durch Muliplikaion der Marix mi dem j-en kanonischen Basisvekor Also is Y j die Lösung des Differenialgleichungssysems zur Anfangsbedingung Y j () e j Ausserdem sind die Spalen Y,,Y n linear unabhängig, denn es gil für alle R: de(e A ) e Spur(A) > Dazu evenuell mehr in den Übungsaufgaben qed 347 Beispiel Aus dem lezen Beispiel ( lesen) wir ab: Ein Fundamenalsysem λ für die Differenialgleichung Y () Y () is gegeben durch die λ Funkionen Y () e λ ( a b Die Differenialgleichung Y () b a cos(b) Y () e a und sin(b) e λ und Y 2 () e λ ) Y () ha das Fundamenalsysem sin(b) Y 2 () e a cos(b) Die Berechnung der Exponenialmarix e A zu vorgegebener Marix A is nich immer einfach Wenn man die Form der Lösungen eines Differenialgleichungssysems bereis ahn, kann ein geeigneer Ansaz mi zu besimmenden Parameern möglicherweise schneller zum Ergebnis führen Zum Abschluss dieses Abschnis berachen wir homogene lineare Differenialgleichungen n-er Ordnung mi konsanen Koeffizienen: ( ) y (n) + a n y (n ) + a y + a y Hier sind a k fes gewähle reelle Zahlen Eine solche Gleichung läss sich auf ein Sysem linearer Differenialgleichungen erser Ordnung zurückführen Dazu verwenden y() y () wir folgenden Trick, wir sezen: Y () : Erfüll y die Gleichung y (n ) () (*), so is Y eine Lösung des folgenden Sysems von Differenialgleichungen und umgekehr: y () y 2 () y n () y n () y n() a y () a y 2 () a n y n ()

6 34 Syseme linearer Differenialgleichungen 63 Die Koeffizienenmarix dieses Sysems laue: A a a n 2 a n Das charakerisische Polynom von A simm mi dem Polynom überein, das aus den Koeffizienen a k gebilde wird: p A (λ) λ n + a n λ n + a λ + a Dies ergib sich durch vollsändige Indukion über n Denn für n gil: p A (λ) de(λe A) λ + a Sei jez n > Dann erhalen wir mi der Indukionsannahme durch Enwicklung der Deerminane nach der ersen Spale: λ p A (λ) de(λe A) λ a a n 2 λ + a n λ λ λ + ( ) n+ a ( ) n a a n 2 λ + a n λ(λ n + a n λ n 2 + a ) + a λ n + a n λ n + a λ + a Man bezeichne p deshalb auch als das charakerisische Polynom der Gleichung (*) und nenn A die dazugehörige Begleimarix Da die Lösungsmenge des Sysems Y () A Y () ein n-dimensionaler Vekorraum is, gil dasselbe auch für die Lösungsmenge L der Differenialgleichung (*) Eine Basis der Lösungsmenge wird hier wiederum als Fundamenalsysem bezeichne, und ein Saz von Funkionen (ϕ,,ϕ n ) is genau dann eine Basis von L, wenn die daraus gebildeen Funkionen Y : ϕ ϕ ϕ (n ),,Y n : ϕ n ϕ n ϕ (n ) n eine Basis des Lösungsraums des ensprechenden Sysems erser Ordnung bilden An der Deerminane können wir wiederum ablesen, ob Y,,Y n linear unabhängig sind Wir erhalen also folgende Aussagen:

7 64 Kapiel 3 Invarianen linearer Transformaionen 348 Saz Die Lösungsmenge einer linearen Differenialgleichung n-er Ordnung mi konsanen Koeffizienen is ein reeller Vekorraum der Dimension n Gegebene Lösungen ϕ,,ϕ n dieser Differenialgleichung bilden genau dann ein Fundamenalsysem, wenn die zugehörige Wronski-Deerminane an einer Selle R nich verschwinde: W() : de ϕ () ϕ n () ϕ () ϕ n() ϕ (n ) () ϕ n (n ) () Wie für homogene lineare Differenialgleichungen 2-er Ordnung mi konsanen Koeffizienen können wir auch für den Fall höherer Ordnung konkree Fundamenalsyseme angeben, und zwar benöig man dafür lediglich die Nullsellen des charakerisischen Polynoms und deren Vielfachheien Hier das Resula: 349 Saz Ha das charakerisische Polynom p nur reelle Nullsellen und zwar λ,,λ r mi Vielfachheien m,,m r, dann bilden die Funkionen k e λ j (j,,r, k,,m j ) ein Fundamenalsysem für die Differenialgleichung (*) Is uner den Nullsellen ein Paar komplex konjugierer Zahlen λ α + iβ und λ α iβ mi Vielfachhei m, so sind k e α cos(β), k e α sin(β) (k,,m ) linear unabhängige Lösungen von (*) Beweis Diese Aussagen kann man durch Einsezen und Nachrechnen überprüfen (wie wir das schon im Fall n 2 gean haben) qed 35 Beispiele Berachen wir die Differenialgleichung y 3y y + 3y Das zugehörige charakerisische Polynom p(λ) λ 3 3λ 2 λ + 3 ha die Nullsellen λ, λ 2 und λ 3 3 Also bilden die Funkionen y () e, y 2 () e y 3 () e 3 eine Basis des Lösungsraums Die Begleimarix zu p laue A 3 3

8 34 Syseme linearer Differenialgleichungen 65 und die ensprechenden Lösungen der Differenialgleichung Y () A Y () lauen Y () e, Y 2 () e, Y 3 () e Man kann nachrechnen, dass die hier aufauchenden Vekoren jeweils Eigenvekoren von A zu dem ensprechenden Eigenwer λ j sind Wir erhalen also dasselbe Fundamenalsysem wie in Saz 343 Die Wronskideerminane laue hier: W() 3 9 e3 6e 3 Also is W() für alle R Die Differenialgleichung y 3y + 4y ha das charakerisische Polynom p(λ) λ 3 3λ Die Nullsellen sind hier 2 (doppel) und (einfach) Also bilden die Funkionen y () e 2, y 2 () e 2 y 3 () e ein Fundamenalsysem Die Begleimarix laue hier A 4 3 und die ensprechenden Lösungen Y j () : y j() y j() (j, 2, 3) der Diffe- y j () renialgleichung Y () A Y () sind Y () e 2 2, Y 2 () e , Y 3 () e Wieder kann man nachrechnen, dass Y j asächlich Lösungen sind, und die Unabhängigkei ergib sich aus: W() e3 9e 3 für alle R