Prüfung Grundprinzipien der Versicherungs- und Finanzmathematik 2010

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1 Prüfung Grunprinzipien er Versicherungs- un Finanzmahemaik Aufgabe : (5 Minuen a Gegeben sei ein einperioiger Sae Space-Mark mi rei Zusänen, er aus rei Werpapieren besehe, einer sicheren Anlage zu % sowie zwei risikobehafeen Werpapieren. Werpapier weis abei einen anfänglichen Preis von 4 un en Rückflussvekor (44,44,48 auf, Werpapier einen anfänglichen Preis von 9 un en Rückflussvekor (,8,. i Besimmen Sie ie zugehörige Sae Space-Marix V un en anfänglichen Preisvekor w! ii iii iv Weisen Sie nach, ass er vorsehen spezifiziere Sae Space-Mark arbiragefrei is! Wie laue er preiserzeugene Vekor? Besimmen Sie ie risikoneuralen Wahrscheinlichkeien! Besimmen Sie en arbiragefreien Preis eines Finanziels mi em Rückflussvekor (,,4! b Ein Power-Call besize as allgemeine Rückzahlungsprofil PC = max[(s X,]. Besimmen Sie für en Fall = urch Duplikaion en Preis es Power-Calls mi Ausübungspreis X = in er folgenen Siuaion. Die Kursenwicklung {S } es Basisiels folge einem einperioigen Binomialprozess mi Sarwer s =. In = kann er Kurs um % gefallen oer um % gesiegen sein. Der Einperioenzins berage 4%. Lösungsskizze: eilaufgabe a i. V = w = (, 4, 9 ii Zu überprüfen is, ob as Gleichungssysem V x = w, wobei x = (x, x, x 3, eine srik posiive Lösung besiz. Dies führ auf as folgene Lineare Gleichungssysem (abei muliplizieren wir ie erse Zeile mi 4 Seie von 7

2 (I 44 x + 44 x + 44x 3 = 4 (II 44 x + 44 x + 48 x 3 = 4 (III x + 8 x + x 3 = 9. Aus (II (I folg x 3 =.5 un aus (I (III folg x =.5. Aus (I folg ann x = 9/ =.49. Das Gleichungssysem besiz ami eine srik posiive Lösung, er Sae Space-Mark is somi arbiragefrei. Der preiserzeugene Vekor laue (9/,.5,.5. iii Der risikoneurale Wahrscheinlichkeisvekor q ergib sich zu: q =.(9/,.5,.5 = (.45,.75,.75. iv Die arbiragefreie Bewerung ergib sich urch Diskonierung es risikoneuralen Erwarungswers,.h. P = (. = (. [(.45 + ( (.75] (.75 =.68. Seie von 7

3 C (- = 4 eilaufgabe b Für en Basisiel gil 8 Für en Power-Call ensprechen ( = 4 Duplikaion in = : (I x +.4 y = 4 (II 8x +.4 y = 4 Aus (I-(II folg 4x = un ami x =. Für y resulier hieraus y = 4/(.4 = Der Preis C es Power-Calls ergib sich als Preis es Duplikaionsporfolios zu C = x + y = Aufgabe : ( Minuen a Ein Sanarbon is charakerisier urch ie Zahlungsreihe { Z,...,Z,Z + N} seiner Zinsun ilgungszahlungen. Dabei beeue N en Nennwer es Bons un Z ie Höhe er jeweiligen Zinszahlungen. Der Sanarbon habe eine Laufzei von Jahren un einen anfänglichen Kaufkurs in Höhe von P. Besimmen Sie ie effekive Renie es Sanarbons bei Annahme er Wieeranlage er Zinsrückflüsse zu einem gegebenen Markzins r. b Weisen Sie ie Immunisierungseigenschaf er (Macaulay-Duraion nach! (Nachweis er Eigenschaf eines lokalen Exremwers genüg c Besimmen Sie ie Konvexiä eines Zerobons mi Rückzahlungsberag N un Laufzei. Seie 3 von 7

4 Lösungsskizze: a Enwer er Rückflüsse uner r (q : = + r : Z(q q + + N = Z( + q q + N q = Z + N q Besimmungsgleichung für ie effekive Renie: q P ( + reff = Z + N q Folgerung: q reff = Z + N P q b Gegeben eine Zahlungsreihe { Z,..., Z}, so is gesuch ein Zeipunk s, so ass ie Barwerfunkion in s ein lokales Minimum annimm. Es gil: s Ks (r = Σ Z ( + r ' s K (r = ( + r Σ(s Z ( + r s Hieraus folg ' K (r = s( + r s = s( + r s s Σ Z ( + r P(r ( + r ( + r s Σ Z ( + r s Σ Z ( + r Mi er Beingung K ' s (r = ergib sich hieraus urch Auflösung nach s Σ Z ( + r s = = D(r. P(r. c Es gil allgemein C (r = P''(r / P(r. Im vorliegenen Fall gil P(r = N( + r un ami P''(r (+ = ( + ( + r. P'(r (+ = + sowie N( r Für ie Konvexiä es Zerobon folg hieraus insgesam: ( + N( + r C(r = = ( + ( + r. N( + r Seie 4 von 7

5 Aufgabe 3: ( Minuen Berachen Sie eine im Aler x sofor beginnene vorschüssige Leibrene er Höhe. a Sellen Sie en Leisungsbarwer ieser Leibrene als Funkion er gesuzen Lebensauer ar! b Besimmen Sie auf ieser Grunlage en Erwarungswer ieses Leisungsbarwers! Verwenen Sie hierzu ie Einriswahrscheinlichkeien er gesuzen Lebensauer! c Besimmen Sie zuem ie Varianz ieses Leisungsbarwers! Besimmen Sie en Prämienbarwer (im Falle eines x-jährigen Versicheren un einer n- jährigen Verragslaufzei als Funkion er gesuzen Lebensauer. Gehen Sie abei von vorschüssigen Prämienzahlungen er Höhe aus. Hinweis : Eine Benuzung komplexer versicherungsmahemaischer Symbole is nich erforerlich! Lösungsskizze: Es bezeichne C = C x ie gesuze Lebensauer. a Für en Leisungsbarwer LBW er Leibrene gil ann ( := /v LBW = + v v = ( v C b E(LBW : = [ E(v ]. H(v : = E (v = v E (v = v = C v P(C =, wobei P (C = = p q + ( q. x x = Dami gil insgesam: E(LBW = [ H(v] = ( Ax. x c Var (LBW = = Var (v {E[(v ] E (v }. Seie 5 von 7

6 E(v wure berechne in eilaufgabe b. Zu besimmen is aher noch C + E[(v ] = E[(v ]. Die Funkion H(v gemäß eilaufgabe b is aher auszuweren in v. Insgesam gil ami Var(LBW = [H(v H (v]. Es gil: C + v v PBW = n + v v C =,,...,n C = n, n +,... bzw. ( v PBW = n ( v C =,,...,n C = n, n +,.. Aufgabe 4: (5 Minuen Gegeben sei eine DAX-gebunene Erlebensfallversicherung (.h. eine Versicherungsleisung wir nur im Erlebensfall fällig mi Zinsgaranie. Die Laufzei ieser Versicherung berage zwei Jahre. Die Versicherung erfolg gegen eine Einmalprämienzahlung in =. Beriebskosen weren im Weieren vernachlässig. Die Leisung im Erlebensfall beräg minesens N. Im Falle einer negaiven DAX-Enwicklung umfass ie Erlebensfallleisung zusäzlich eine Parizipaion von α% am Berag er (nich-annualisieren Zweijahres-DAX-Renie. a Welches Leisungsprofil (für ie Überlebenen weis iese DAX-gebunene Versicherung in = auf? b Zerlegen Sie ieses Leisungsprofil in geeigneer Weise mi em Ziel einer Explizierung er Opionskomponene. c Besimmen Sie auf ieser Basis ie zu zahlene Einmalprämie EP (DAX un Serblichkei weren abei als unabhängig vorausgesez bei Annahme frisigkeisabhängiger Zinsen! Formulieren Sie für einen enlichen Sae Space-Mark ie Eigenschaf er sarken Arbiragefreihei sowie ie Eigenschaf es Law of One Price. Weisen Sie nach, ass aus er sarken Arbiragefreihei as Law of One Price folg. Seie 6 von 7

7 Lösungsskizze: DAX( a VL = max N, N α. DAX( b VL DAX( DAX( = N + max, α N DAX( α N = N + max{ DAX( DAX(,}. DAX( Die Max-Komponene ensprich einem zweijährigen DAX-Pu mi Ausübungspreis in Höhe es anfänglichen DAX-Sans,.h. X = DAX(. c Es bezeichne P ie Prämie es Zweijahres-DAX-Pus mi Ausübungspreis DAX(, r ie Zweijahres-Spo Rae, x as Einrisaler es Versicheren un p x ie zweijährige Überlebenswahrscheinlichkei. Der Markwer VL er Versicherungsleisung in = beräg ann VL α DAX N( = N( + r + P. Da iese Versicherungsleisung nur an ie Überlebenen gezahl wir, gil insgesam für ie Einmalprämie: α EP = px VL = px N ( + r + P. DAX( Gegeben sei ein Porfoliovekor x. Es bezeichnen V(x en Vekor er zufallsabhängigen Rückflüsse es Porfolios x in = un w(x en Preis es Porfolios x in =. Sarke Arbiragefreihei: ( V(x un V (x w(x > ( V (x = w(x = Law of One Price (LOP V(x = V(x w(x = w(x Beweis von LOP erfolg auf Basis er zweien eilbeingung für ie sarke Arbiragefreihei. V(x = V(x V(x x = w(x x = w(x = w(x. Seie 7 von 7