9. EXPONENTIALFUNKTION, LOGARITHMUSFUNKTION

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1 Eponenialfunkion, Logarihmusfunkion 9. EXPONENTIALFUNKTION, LOGARITHMUSFUNKTION 9.. Eponenialfunkion (a) Definiion Im Abschni Zinseszinsrechnung konne die Berechnung eines Kapials K n nach n Perioden der Verzinsung bei einem Zinssaz p ausgehend von einem Anfangskapial K 0 in einer Formel zusammengefaß werden. K n n p n = K0 + Kn = K0 ( + i) Kn = K0 q 00 n Beispiel: Ein Kapial von ÖS 000,- wächs jährlich um 4%. Welchen Berag ha man nach 45 Jahren? Berechne man die Beräge für die einzelnen Jahre und räg die Were in ein Diagramm ein, so ergib sich folgendes Bild: n () K n (y) ,04 = ,04 = 08, ,04 3 = 4, ,04 43 = 5400, ,04 44 = 566, = 584,8 Wie bereis im Rahmen der Zinseszinsrechnung erwähn, seig der Wer des Kapials nich linear an; es ergeben sich immer größer werdende Differenzen zwischen den jährlichen Kapialweren

2 Eponenialfunkion, Logarihmusfunkion Berache man die Formel losgelös von ihrer Anwendung im Bereich der Zinseszinsrechung so ha sie die folgende allgemeine Gesal: y = c a. Eine Funkion dieser Gesal bezeichne man als Eponenialfunkion, da die Veränderliche als Eponen einer bekannen Basis a aufri. Die Eponenialfunkion zur Basis a is die reelle Funkion a ep: y = c a ( c R, a R + ) Die Zahl a wird wie bei der bisherigen Poenzrechnung als Basis a bezeichne, is der Eponen, c is ein konsaner, reeller Fakor. Da Poenzen mi rellen Eponenen nur für posiive Basen wieder aus den rellen Zahlen sind, gil hier für die Basis a, daß sie aus den posiiven, reellen Zahlen sein muß. (b) Graphische Darsellung Berache man den Graph der Eponenialfunkion mi c = für unerschiedliche Basen, so kann zwischen zwei Fällen unerschieden werden. Für a> zeig der Graph der Eponenialfunkion y = a seigenden Verlauf. Alle Funkionswere sind posiiv und alle Kurven gehen durch den Punk D(0 ), was auf die Berechnung a 0 = für beliebiges a R + zurückzuführen is. Die angeführen Beispiele mi a = 0, a = e (Eulersche Zahl) und a = sind wichige Verreer der Eponenialfunkionen. Die Basis 0 finde in Wirschaf und Technik Anwendung; schließlich is sie auch Basis unseres Zahlensysems und alle gängigen Abkürzungen für Größen sind Zehnerpoenzen (Kilo..., Mega...). Die Eulersche Zahl e (e =,788...) finde in naurwissenschaflichen Berechnungen Anwendung. Auf ihre Bedeuung und Herleiung wird im Abschni Grenzwerberechnungen noch näher eingegangen. Die Basis wird auch Boolsche (oder Binäre) Basis genann und finde in der Informaik ensprechend Anwendung

3 Eponenialfunkion, Logarihmusfunkion Gil für die Basis 0<a<, zeig der Graph der Eponenialfunkion y = a fallenden Verlauf. Auch in diesem Fall sind alle Funkionswere posiiv und der Punk D(0 ) is ein Punk der Kurve. In nebensehender Abbildung wurden die Kehrwere der vorigen Basen zur Verdeulichung des Verlaufs gewähl. Ein Fakor c wirk sich in beiden Fällen als Dehnung oder Sauchung des Graphen aus. Is c darüberhinaus negaiv, so erfolg eine Spiegelung an der -Achse. Es sind dann alle Funkionswere negaiv. Abschließend soll das lineare Wachsum mi dem Wachsum der Eponenialfunkion verglichen werden. Nimm man eine lineare Funkion mi großem Ansieg, z.b. y = 00, und vergleich die Funkionswere mi denen einer Eponenialfunkion mi kleinem Zuwachs, z.b. y =,0, so ergib sich folgende Tabelle: 00, , , Obwohl die lineare Funkion deulich särker anzuseigen schein, is bei = 74 der Funkionswer der Eponenialgleichung größer als der der linearen Funkion. Allgemein läß sich sagen, daß bei genügend großen Argumenen die Funkionswere der Eponenialfunkionen größer sind, als die der meisen anderen Funkionen. (c) Anwendungen der Eponenialfunkion Die Eponenialfunkion sell - wie die Zinseszinsrechnung schon andeue - eine ausgezeichnee Möglichkei zur mahemaischen Beschreibung von Wachsumsvorgängen dar. Deshalb finde sie in nahezu allen Bereichen der Naurwissenschafen, der Technik, der Medizin und Wirschaf ihre Anwendung. Die folgenden Beispiele sind diesen Bereichen ennommen und zeigen einige zusäzliche Eigenschafen der Eponenialfunkion auf

4 Eponenialfunkion, Logarihmusfunkion Beispiel: Ein Biologe sell bei der Beobachung einer Bakerienkulur fes, daß sich die von den Bakerien bedecke Fläche im Reagenzglas jede Sunde um 30% vergrößer. Wie groß is die Fläche nach,, 3,..., n Sunden, wenn sie zu Beginn der Beobachung 00 mm groß war? Da sich die Fläche sündlich um 30% vergrößer, muß man den Anfangswer mi a = (+0,3) =,3 muliplizieren, um die bedecke Fläche eine Sunde späer zu erhalen. A( 0) = 00 A( ) = 00, 3 = 30 A( ) = A( ), 3 = 00, 3 = 69 An ( ) = A( 0) 3, n Die Vorgangsweise bei der Berechnung zeig bereis, daß Funkionswere zweier aufeinanderfolgender Argumene ses im gleichen Verhälnis zueinander sehen bzw. ses durch Muliplikaion mi dem gleichen Fakor auseinander hervorgehen. Die im Beispiel aufgeselle allgemeine Wachsumsgleichung beinhale den sogenannen Wachsums-fakor a, der das sündliche Wachsum beschreib. Der Eponen n is also in Sunden anzugeben. Will man einen Prozensaz für das Wachsum in einer halben Sunde errechnen, so is dies mi n = 0,5 möglich. 05, A( 0, 5) = A( 0), 3 = A( 0) 40, Den Fakor,40 kann man nun als Zuwachs um 4,0% pro halber Sunde inerpreieren. Die Berechnung zeig darüberhinaus, daß der Zuwachs unabhängig vom Anfangswer A(0) is. Allgemein lassen sich Eponenialfunkionen, die ein naurwissenschafliches Wachsum beschreiben, folgendermaßen anschreiben: N () = N( 0 ) a N ( + h) = N ( ) a h λ N () = N(0) e Hierbei ensprich N(0) der Menge (o.ä.) zum Zeipunk des Beobachungsbeginns; is die Variable für die Zei (o.ä.), gemessen in der Einhei, der die Wachsumskonsane a ensprich. Zuweilen wird, um einen leichen Vergleich verschiedener Wachsumsfunkionen zu ermöglichen, die Wachsumskonsane als Poenz der Eulerschen Zahl e (und dami nur abhängig vom Eponen λ) angeschrieben

5 Eponenialfunkion, Logarihmusfunkion Beispiel: Die Erdbevölkerung wächs im wesenlichen eponeniell an. In einem Land berage dieses Wachsum 6% pro Jahr. Wie groß is die Bevölkerung in 5 und in 0 Jahren, wenn sie heue 9,3 Millionen beräg? N ( ) = N( 0) 06, N( 0) = N( 5) = N( 0) = Im vorigen Beispiel wurden die jeweiligen Ergebnisse immer aufgerunde, da Nachkommasellen keinen Sinn machen. Beispiel: Wie groß is die Wachsumsrae in einem Land, das vor 8 Jahren Millionen Einwohner hae und heue 6,3 Millionen Einwohner zähl? Wieviele Einwohner werden es in weieren 5 Jahren sein? N( 0) = 0, N( 8) = 630, , = 0 a , 3 a = 8 =, N( ) = N( 3) = N( 0 ), An dieser Selle sell sich die Frage, mi welcher Genauigkei für den Wer von a man nun die weiere Berechnung durchzuführen ha. Im folgenden sind die Ergebnisse für N(3) mi 3, 5 und 8 Nachkommasellen angeführ. 6 3 N( 3) = 0, 039 = N( 3) = , = N( 3) = , = Wie zu ersehen is, führen die kleinsen Änderungen bei den Nachkommasellen bereis zu großen Änderungen des Ergebnisses. Wie bei der Zinsenrechnung gil daher auch hier, daß die Anzahl der Nachkommasellen der verwendeen Wachsumskonsanen der Anzahl der Sellen des Anfangsweres ensprechen solle. Es empfiehl sich, die Berechnungen mi allen Sellen, die der Taschenrechner zur Verfügung sell, durchzuführen

6 Eponenialfunkion, Logarihmusfunkion Beispiel: Der Lufdruck nimm mi zunehmender Höhe ab. Er sink jeweils auf die Hälfe, wenn die Höhe um 5,5 km zunimm. Der Lufdruck auf Meeresniveau beräg p 0 =03 hpa. Welchen Wer ha er in 300 m Höhe? p 3, h p = p a ( h in km) h 0 p = p a 0 0 = a 55, 55, 55, a = 0, 5 = 0, , = 03 0, 8859 = 685, 39 p = 685, 39 hpa 3, Beispiel: Für Unerwasserfoos is die Kennnis der Lichinensiä L() in verschiedenen Tiefen nöig. An der Oberfläche sez man sie zweckmäßigerweise mi L(0)=00 fes. Messungen haben ergeben, daß mi jedem in die Tiefe geauchen Meer 7% der Lichinensiä verloren gehen. Wie groß is die Inensiä in 3,75m? L( 0 ) = 00, a = ( 0, 07 ) = 0, 93 L ( ) = 00 0, , L( 375, ) = , = 76, Die Lichinensiä in 3,75m beräg 76,%. In diesen beiden Beispielen war die Wachsumskonsane kleiner. Dies ensprich einer Abnahme der Anfangsgröße bei Anseigen der Veränderlichen. Es gil also: a > Zuwachs 0 < a < Abnahme Viele Berechnungen, bei denen nur die prozenuelle Änderung ineressier (siehe lezes Beispiel), sind unabhängig von der Anfangsgröße durchführbar. In diesen Fällen kann man diese Anfangsgröße auch mi 00 (für 00%) ansezen, um so einen Prozensaz als Ergebnis zu erhalen

7 Eponenialfunkion, Logarihmusfunkion Beispiel: Bei vielen medizinischen Unersuchungen werden dem Paienen schwach radioakive Subsanzen injizier. Diese lagern sich an besimmen Sellen des Körpers an und ermöglichen so die Unersuchung des Organs. Die Zeidauer des Aufreens solcher Subsanzen werden in ihren Halbwerszeien angegeben. Die Halbwerszei is jene Zei, in der die Hälfe der vorhandenen Soffmenge zerfallen is. Die Halbwerszei für eine Subsanz berage 0 Tage. Wie laue die Eponenialgleichung für diesen Zerfallsvorgang? Wieviel Prozen der ursprünglichen Menge sind 30 Tage nach der Unersuchung noch vorhanden? N(0 ) = N( 0 ) 0 N( 0 ) a = N( 0 ) 0 a = 0, 5 = 0, N ( ) = N( 0 ) 0, Da in diesem Beispiel keine Angaben über die Anfangsmenge bekann sind, is die Wachsumskonsane mi allen zur Verfügung sehenden Nachkommasellen zu verwenden. N( 30 ) = N( 0 ) 0, N( 30 ) = N( 0 ) 0, 5 Nach 30 Tagen sind noch,5% der ursprünglichen Menge vorhanden. 30 (d) Eponenialgleichungen Die Eponenialgleichungen lassen sich in drei Gruppen unereilen. Man unerscheide Eponenialgleichungen mi gleichen Basen, Eponenialgleichungen mi gleichen Eponenen und Eponenialgleichungen mi unerschiedlichen Basen und Eponenen. Kann man eine Eponenialgleichung durch Äquivalenzumformungen auf die Form a f() = a g() (a R +, a ) bringen, so kann die Gleichung nur dann erfüll sein, wenn auch f() = g() gil

8 Eponenialfunkion, Logarihmusfunkion Beispiel: Lösen Sie die Gleichung 6 =. 3 4 = 5 = 4 5 = 4 5 =, L = { } Kann man eine Eponenialgleichung durch Äquivalenzumformungen auf die Form a f() = b f() + (a,b R, a, b ) bringen, so kann die Gleichung nur dann erfüll sein, wenn f() = 0 gil. mi a b Beispiel: Lösen Sie die Gleichung = = = = 3 ( 3 8) = = 0 = 3, L = { 3}. In beiden Fällen ließ sich die Eponenialgleichung auf eine Berachung des Eponenen reduzieren. Sind in einer Eponenialgleichung Basen und Eponenen verschieden, also a f() = b g(), so is ein Lösen der Gleichung mi den derzeiigen Mieln nich möglich. Der anschließende Abschni Logarihmusfunkion wird diesem Problem Abhilfe schaffen. Is die Basis in einer Eponenialgleichung unbekann, so is ein Lösen - wie bereis im Abschni Zinseszinsrechnung beschrieben - miels Wurzelziehen möglich. Aus der allgemeinen Gleichung y = c a erhäl man dann für die Basis a: a y = c Beispiel: Lösen Sie die Gleichung a 5 = a = 00 a =,

9 Eponenialfunkion, Logarihmusfunkion 9.. Logarihmusfunkion (a) Problemsellung Im 6. Jahrhunder war die Mahemaik sark durch die Nowendigkeien der Asronomie besimm. Die Beobachungen von Kopernikus und Kepler über die Planeenbewegungen in unserem Sonnensysem haen immer mühsamere Berechnungen zur Folge. Michael Sifel veröffenliche 544 in seinem Werk arihmeica inegra ersmals Zusammenhänge der Muliplikaion bzw. Division und den ensprechenden Rechenoperaionen im Bereich der Eponenen. Das folgende Beispiel soll das verdeulichen. Beispiel: Berechnen Sie das Ergebnis folgender Aufgaben: , 4096: 56, 64, 5 In diesen Aufgaben reen nur Poenzen der Basis auf. Wie die Rechenregeln der Poenzrechnung zeigen, lassen sich alle diese Aufgaben daher auf Berechungen im Bereich der Eponenen reduzieren. Die beiden Mengen P (Poenzbereich) und E (Eponenenbereich) sollen den Zusammenhang zeigen. P = {,, 5, 863,,, 64, 8, 56, 504,, 048, 4096,... } = {,,,,,,,,,,,,,...} E = { ,,,,,,,,,,,,,... } Die obigen Berechnungen lassen sich daher einfach durchführen: = = Ergebnis: = : 56 = : 8 = 4 Ergebnis: = = ( ) 6 = Ergebnis: = = 9: 3 = 3 Ergebnis: = Die Vorgangsweise zeig, daß sich Berechnungen dann leicher durchführen lassen, wenn der Eponen für eine Basis a (in den vorigen Beispielen a = ) jeweils bekann is. Die Aufgabe 3 häe sich derar nich lösen lassen, da es derzei nich möglich is, die Zahlen und 3 als Poenz der Basis darzusellen. Das folgende Beispiel aus der Zinseszinsrechnung zeig aber den Bedarf der Darsellung einer Zahl als Poenz einer besimmen Basis a

10 Eponenialfunkion, Logarihmusfunkion Beispiel: Nach wievielen Jahren ha sich ein Kapial, das zu 6% p.a. verzins wird, verdoppel? K = K q, q = 06, 0 K = K 06, 0 0 = 06, Es sell sich also nun die Aufgabe, die Unbekanne in der Hochzahl zu berechnen. Näherungsweise kann man versuchen, die Lösung für durch Probieren zu ermieln. [ 0; 5 ] [ ; 4 ] [ 5, ; ] [ 6, ; 9, ] [ 89, ; 899, ] [ 895, ; 897, ] 06, < < 06, , < < 06, 4, 06, < < 06, 5 06, < < 06,, 6, 9 06, < < 06,, 89, , < < 06,, 895, , < <, , < <, , < <, , < <, , < <, , < <, 0005 Dieses Verfahren des links- und rechsseiigen Eingrenzens eines gesuchen Weres nenn man Inervallschachelung. Im Kapiel Grenzwerberechnungen wird dieses Verfahren noch einmal genauer berache. In diesem Beispiel erhäl man also nun 896, (b) Definiion Die Lösung der Gleichung a = b (a,b R +, a ) in den reellen Zahlen nenn man den Logarihmus von b zur Basis a: = a log(b) Der Logarihmus von b zur Basis a is jene reelle Zahl, mi der man a poenzieren muß, um b zu erhalen: a a log(b) = b Das Besimmen des Logarihmus einer Zahl bezüglich einer gegebenen Basis wird als Logarihmieren bezeichne

11 Eponenialfunkion, Logarihmusfunkion Logarihmen sind daher Eponenen. Es gib daher von negaiven Zahlen und von der Zahl Null keine Logarihmen. Der Name Logarihmus wurde von dem schoischen Mahemaiker John Neper eingeführ und leie sich von den griechischen Woren logós (Ursache) und arihmós (Zahl) ab. Für die wichigsen Basen a = 0, a = e, a = o.ä. wurden Logarihmenafeln - eilweise durch Inervallschachelung - ersell. In ihnen konne man für beliebige Zahlen den Logarihmus zur jeweiligen Basis nachschlagen. Dieses Nachschlagen übernimm heue der Taschenrechner auf Knopfdruck. Für die Basis a = 0, den dekadischen Logarihmus, wird meis die Bezeichnung und die Tase log oder lg verwende; für den sogenannen naürlichen Logarihmus zur Basis e die Tase ln und für die Basis, den binären oder boolschen Logarihmus, die Tase lb. Dekadischer Logarihmus Basis 0 Schreibweise 0 log bzw. lg Naürlicher Logarihmus Basis e Schreibweise e log bzw. ln Boolscher Logarihmus Basis Schreibweise log bzw. lb Beispiele: lg( 000) = 3 7 log( 49) = lb = 3 8 lg( 0, ) = 3 wegen 0 = = 49 3 = 8 0 = 0, (c) Rechengeseze für Logarihmen Folgende allgemeine Regeln gelen für Logarihmen: a log(a) = da a = a a log() = 0 da a 0 = a log(a n ) = n da a n = (a n ) a log = n da a n = a n a n Da, wie bereis erwähn, Logarihmen Eponenen sind, gelen die Rechenregeln für Poenzen. Bei den folgenden Regeln is keine Basis a angegeben, da die Regeln für beliebige Basen gelen

12 Eponenialfunkion, Logarihmusfunkion Der Logarihmus eines Produks is gleich der Summe der Logarihmen der Fakoren log( u v) = log( u) + log( v) Beispiel: lg( 0 000) = lg( 0) + lg( 000) = + 3 = 4 Der Logarihmus eines Quoienen is gleich der Differenz aus dem Logarihmus des u Dividenden und dem Logarihmus des Divisors log = log(u) log( v) v Beispiel: lg = lg( 00000) lg( 000) = 5 3 = 000 Der Logarihmus des Kehrweres einer Zahl is gleich dem negaiven Logarihmus dieser Zahl log log( u) u = Beispiel: lg = lg( 0000) = Der Logarihmus einer Poenz is gleich dem Produk aus dem Eponenen und dem Logarihmus der Basis der Poenz log( u n ) = n log( u) 4 Beispiel: lg( 00 ) = 4 lg( 00) = 4 = 8 Der Logarihmus einer Wurzel is gleich dem Quoienen aus dem Logarihmus des n log( u) Radikanden und dem Wurzeleponenen log( u) = n 3 lg( 000) 3 Beispiel: lg( 000 ) = = =

13 Eponenialfunkion, Logarihmusfunkion (d) Graphische Darsellung Es sei a R +, a. Die Funkion, die jedem R + Logarihmusfunkion zur Basis a die Zahl a log() zuordne, heiß f() = a log() Aus der Definiion des Logarihmus, also aus y = a ergib sich = a log(y), erkenn man, daß das Argumen der Logarihmusfunkion der Funkionswer der Eponenialfunkion is und umgekehr. Ohne eine Beweis dieses Sazes kann man daher vermuen: Die Logarihmusfunkion is die Umkehrfunkion der Eponenialfunkion. Eine Funkion f heiß umkehrbar, wenn es zu jedem Elemen y der Zielmenge genau ein Elemen der Definiionsmenge gib, sodaß f() = y gil. Diese Bedingung erfüll die Eponenialfunkion und die Logarihmusfunkion offensichlich. Die Logarihmusfunkion erhäl man auch durch Spiegelung der ensprechenden Eponenialfunkion an der ersen Mediane (y = ). In der nebensehenden Skizze sind die Logarihmusfunkionen für die Basen a = 0, a = e und a = gezeichne. Das is also der dekadische (lg), der naürliche (ln) und der boolsche (lb) Logarihmus. Alle Kurven gehen durch den Punk N( 0), was darauf zurückzuführen is, daß a log() = 0 für beliebiges a gil. Zusäzlich is zu beachen, daß die Funkion nur für posiive Argumene definier is. Die Logarihmusfunkion ermöglich nun das Berechnen unbekanner Hochzahlen. Die folgenden Beispiele zeigen einige Anwendungsbereiche, wobei anzumerken is, daß alle Anwendungsbereiche der Eponenialfunkion genau dann auch zur Berechnungen mi Logarihmen werden, wenn ein Eponen ermiel werden muß

14 Eponenialfunkion, Logarihmusfunkion (e) Anwendungen der Logarihmusfunkion Beispiel: Nach wievielen Jahren ha sich ein Kapial, das zu 6% p.a. verzins wird, verdoppel? K = K q, q = 06, 0 K = K 06, 0 0 = 06, Zur Berechung der Zei wird nun die ganze Gleichung logarihmier. Allgemein bedeue das, daß die vorkommenden Zahlen als Poenz einer Basis a dargesell werden; zweckmäßigerweise is das eine Basis, für die der Taschenrechner die Logarihmen zur Verfügung sell, also a = 0 oder a = e. 0 = 0 lg( ) lg(, 06) lg( ) = lg( 06, ) lg( ) = =, lg( 06, ) Das Kapial ha sich nach,9 Jahren verdoppel. In diesem Beispiel wurde genau genommen der Logarihmus von zur Basis,06 berechne. Allgemein läß sich die Berechnung des Logarihmus einer Zahl b zu einer Basis a miels des Logarihmus zu einer anderen Basis z.b. 0 folgendermaßen anschreiben: Umrechnung des Logarihmus a log( b) = lg( b) lg( a) Die Logarihmusfunkion ermöglich auch die Berechnung der Basis bei bekannen Eponenen. Beispiel: Ein Kapial wuchs in 30 Jahren von ÖS 000,- auf ÖS 43,94 an. Berechnen Sie den Zinssaz. K( 30) = K( 0) q, 4394, = 000 q lg( 4394, ) = lg( 000) + 30 lg( q) lg( q) = 0, , q = 0 = ,... 05,

15 Eponenialfunkion, Logarihmusfunkion Beispiel: Wie lange brauch ein Kapial um bei einem Zinsaz von 3% von ÖS 0000,- auf ÖS 7500,- anzuwachsen? 7500 = 0000, 03 75, = 03, lg( 75, ) = lg( 03, ) lg( 75, ) = = 8, lg( 03, ) Es dauer 8,93 Jahre. Beispiel: Ein Paien schluck auf Anweisung seines Arzes um Uhr und um 6.30 Uhr je eine Tablee Aspirin. Jede dieser Tableen enhäl 400 mg Wirksubsanz, welche im Körper nach ewa Sunden zur Hälfe abgebau wird. Berechnen Sie nach welcher Zei sich nur noch 40 mg der Subsanz im Körper des Paienen befinden und wann daher wieder eine Tablee eingenommen werden solle. N( 0) = N( 0) a a = 05, 45, N( 4, 5) = 400 a = 84, 089 Um 6.30 wird die zweie Tablee eingenommen und es ergib sich ein neues N(0). N( 0) = 84, = 484, = 484, 089 a 0, = a lg( 0, 086..) = lg( a) lg( 0, ) = = 7, lg( 0, ) = 7h Die nächse Tablee muß um ca Uhr eingenommen werden

16 Eponenialfunkion, Logarihmusfunkion Anhang: Übungsbeispiele zum 9. Kapiel 9/ Berechnen Sie die Funkionswere aller ganzzahligen Argumene im Inervall [ 3;5] der folgenden Eponenialfunkionen: a) f( )= 3 b) f( ) = 5, c) f( ) = d) f( ) = 0, 9/ Berechnen Sie die Funkionswere aller ganzzahligen Argumene im Inervall [ 5;3] der folgenden Eponenialfunkionen: a) f( ) = 0, b) f( ) = 06, c) f( ) = 00, d) f( ) = 099, 9/3 Von einer Menge des radioakiven Isoops Jod 3 sind nach einem Tag nur noch 9% vorhanden. Sellen Sie das Zerfallsgesez auf. 9/4 Die Anzahl der Bakerien in einer Kulur ha sich in 5 Sunden vervierfach. Sellen Sie dieses Wachsum durch eine Eponenialgleichung dar. 9/5 Die Bevölkerung eines Saaes wachse eponeniell, wobei pro Jahr ein Zuwachs von 8% zu verzeichnen sei. Wie groß wird die Bevölkerung nach 5, 6, 0 Jahren sein, wenn sie heue 8,5 Millionen beräg. 9/6 Die Keime in der Kuhmilch vermehren sich annähernd eponeniell. In cm 3 Kuhmilch waren 3 Sunden nach dem Melken Keime, Sunden späer, Millionen. Wieviele Keime waren es bzw. 6 Sunden nach dem Melken?

17 Eponenialfunkion, Logarihmusfunkion 9/7 Die Bevölkerung einer Sad wachse eponeniell. Im Jahre 970 hae die Sad Einwohner, 980 waren es Einwohner. Wieviele Einwohner ha diese Sad heue? 9/8 In einer Sad mi 7% jährlicher Preisseigerung seigen die Löhne durchschnilich um 9,5% im Jahr. Um wieviel Prozen wächs die Kaufkraf der Löhne durchschnilich in einem bzw. in fünf Jahren? 9/9 Vor 8 Jahren berug der Holzbesand eines Waldes 6500 m 3. Heue ha dieser Wald 8400 m 3. Berechnen Sie den Holzbesand in fünf Jahren. 9/0 Berechnen Sie den Holzbesand des Waldes aus Beispiel 9/9 uner der Annahme, daß am Beginn jedes Jahres 50 m 3 Holz geschläger werden. 9/ Eine besimme Glasplae absorbier % des durchgehenden Liches. Wieviel Prozen der ursprünglichen Lichmenge ergib sich nach sieben dieser Glasplaen? 9/ In einer Bakerienkulur sind nach 0 Sunden 0000 Bakerien, nach Tagen Bakerien. Wieviele waren es am Anfang? 9/3 Die Lichinensiä in Wasser beräg in 5 m Tiefe 66% der ursprünglichen Inensiä. Berechnen Sie die Inensiä in 50 m Tiefe. 9/4 Der Lufdruck nimm mi der Höhe eponeniell ab; er sink jeweils auf die Hälfe des ursprünglichen Wers, wenn die Höhe um 5500 m zunimm. In 500 m Seehöhe miß man einen Lufdruck von 980 mbar. Welchen Druck kann man in 8000 m Höhe messen? 9/5 Angenommen, ein Gerüch wird von jemanden an zwei weiere Personen weiererzähl, die das Gerüch jeweils wieder zwei weieren Personen erzählen und so for. Versuchen Sie durch Probieren zu ermieln, wie lange es dauer, bis die gesame Erdbevölkerung informier is, wenn jede Weiergabe eine Minue dauer

18 Eponenialfunkion, Logarihmusfunkion 9/6 Lösen Sie folgende Eponenialgleichungen: a) 3 = 9 b) 9 = 7 c) 4 = 3 d) 4 = /7 Lösen Sie folgende Eponenialgleichungen: a) 4 = b) 0, 5 = 5 + c) + 3 = 8 d) 7 7 = /8 Lösen Sie folgende Eponenialgleichungen: a) 3 9 = 3+ b) 8 = 5 c) 9 4 = d) = /9 Ermieln Sie durch Inervallschachelung die fehlenden Eponenen: a) = 0 b) e = c) 0 = 50 d) 0 = e

19 Eponenialfunkion, Logarihmusfunkion 9/0 Zerlegen Sie die folgenden Terme mi Hilfe der Logarihmensäze: a) log( y ) b) log 4 3 y c) log( a b) d) log( 6rs 3 ) 9/ Zerlegen Sie die folgenden Terme mi Hilfe der Logarihmensäze: a) log( c 3 d) b) log 3 a b c) log y z d) log r + s ( r s) 9/ Sellen Sie die folgenden Angaben als Logarihmus eines einzigen Terms dar: a) log( ) log( a) + log( b ) b) log( ) + log( y) log( z) 3 c) log( ) + log( + ) log( ) 9/3 Sellen Sie die folgenden Angaben als Logarihmus eines einzigen Terms dar: a) [log( ) + log( y)] log( ) log( y) 3 4 b) 3log( ) log( y ) [ 5 log( a b ) + log( c )] c) log( ) + [log( a) log( a b)] 4-9 -

20 Eponenialfunkion, Logarihmusfunkion 9/4 Eine Glasplae einer besimmen Sore absorbier 8% des durchgehenden Liches. Wieviel Prozen der ursprünglichen Lichmenge ergib sich nach sieben Glasplaen? Wie viele solcher Plaen müssen übereinandergeleg werden, dami nur noch 0% des Lichs hindurchgeh? 9/5 In einer Bakerienkulur sind nach 0 Sunden 0000 Bakerien, nach Tagen Bakerien. Nach wievielen Sunden werden es Keime sein? 9/6 Eine Sad wachse eponeniell. Im Jahre 970 hae die Sad Einwohner, 980 waren es Wann wird die Einwohnerzahl dieser Sad übersiegen haben? 9/7 In einem Land gib es eine jährliche Preisseigerung von 6%. Nach wie vielen Jahren kose eine Ware das doppele des ursprünglichen Preises? 9/8 Im Jahr 950 berug die Welbevölkerung, Milliarden Menschen, heue beräg sie 5,7 Milliarden Menschen. Berechnen Sie die daraus folgende Verdopplungszei. 9/9 Ein durch chemische Schadsoffe verunreiniges Gewässer kann jährlich 0% der Schadsoffe abbauen. Nach wie vielen Jahren wird die Schadsoffmenge nur noch % der ursprünglichen Menge beragen? 9/30 Ein Wald wachse um 3,8% pro Jahr. Heue beräg der Holzbesand dieses Waldes 700 m 3. Man ha vor, in 3 Jahren 000 m 3 Holz zu schlägern. Wann wird dieser Wald den heuigen Holzbesand wieder erreichen? 9/3 Berechnen Sie die Zahl der Sellen von M = 976 (Hinweis: M is die größe bekanne Primzahl, Sand Augus 997). Wieviel Plaz würde diese Zahl in diesem Skripum ungefähr brauchen? 9/3 Ordnen Sie die Zahlen der Größe nach: , und