Freie ungedämpfte Schwingung eines Massenpunktes (Federschwinger) = 2a. Die allgemeine Lösung der DGL ist dann eine Linearkombination beider Lösungen:

Transkript

1 Die Schwingungs-Differenilgleichung Freie ungedämpfe Schwingung eines Mssenpunes Federschwinger Bei Auslenung des Mssenpunes: Hooesches Gesez F - Federonsne Die Bewegungsgleichung lue dher: d m oder m d d mi d m Als Lösungsnsz verwende mn ep λ Eingesez ergib ds λ und dmi λ / ± i. Dmi erhäl mn die beiden Lösungen ep i ; ep i, die für liner unbhängig d. Die llgemeine Lösung der DGL is dnn eine Linerombinion beider Lösungen: ep i ep i D eine reelle Funion sein muss, muss für die ompleen Konsnen gelen: * ep i ep i Sez mn für die ompleen Konsnen und verwende die Eulersche Formel: bi, * bi i i i i ep bzw. ep so ergib sich für die llgemeine Lösung: b oder mi ; b Dr. Hempel / Mhemisch Grundlgen - Die Schwingungs-Differenilgleichung Seie

2 Uner Kennnis des Addiionsheorems y y y läss sich uffssen ls ϕ und ls ϕ Dmi ergib sich: ϕ Dr. Hempel / Mhemisch Grundlgen - Die Schwingungs-Differenilgleichung Seie

3 Freie gedämpfe Schwingung eines Mssenpunes Als Ausgngspun unsere Berchungen möge der eben behndele Federschwinger dienen dieses ml ber bedämpf durch eine Krf, die wir proporionl zur jeweiligen Geschwindigei nnehmen wollen. Ein solcher Fll lieg z.b. bei einer lminren Umsrömung des schwingenden Körpers in einem Medium vor. Die Bewegungsgleichung lue jez: m β& m & β & β && & m m mi β m und m & & im Flle von und wählen wir einen Lösungsnsz: ep λ > eingesez ergib sich die chrerisische Gleichung: λ λ mi der Lösung λ / ± Drus erwächs die Nowendigei der Unerscheidung verschiedener Fälle: Dr. Hempel / Mhemisch Grundlgen - Die Schwingungs-Differenilgleichung Seie 3

4 . Fll: >, d.h. sre Dämpfung, Kriechfll λ, λ d reell, negiv und voneinnder verschieden Als Lösung ergib sich dmi: ep λ ep λ Dr. Hempel / Mhemisch Grundlgen - Die Schwingungs-Differenilgleichung Seie

5 . Fll:, d.h. sre Dämpfung, periodischer Grenzfll λ λ < Als Lösung ergib sich dmi: ep ep - Bewegungsbluf wie im Fll - schwingungsfähige Syseme ommen in diesem Fll m schnellsen zur Ruhe Einschwingverhlen von Messgeräen / Zeigerinsrumenen Dr. Hempel / Mhemisch Grundlgen - Die Schwingungs-Differenilgleichung Seie 5

6 3. Fll: <, d.h. schwche Dämpfung, Schwingfll λ d onjugier omplee Wurzeln / / i λ ± mi Als Lösung ergib sich dmi: e oder ähnlich der Behndlung freier Schwingungen - miels Addiionsheorem umgeform, Ae ϕ - gedämpfe hrmonische Schwingung - ein periodischer Vorgng! mi A, nϕ - zeig, dss im Flle der gedämpfen Schwingung die Kreisfrequenz leiner ls die Kreisfrequenz der freien Schwingung is es folg T > T. - chrerisier wird ds Verhlen der gedämpfen Schwingung durch ds Verhälnis zweier ufeinnderfolgender, gleichgericherer Ampliuden: n T e mi T Λ - logrihmisches Deremen T n Dr. Hempel / Mhemisch Grundlgen - Die Schwingungs-Differenilgleichung Seie 6

7 Erzwungene Schwingung Wir greifen wieder uf unseren Federschwinger zurüc, berchen ihn bedämpf und uner der Wirung einer periodisch nregenden Krf F m Anregungsfrequenz sehend. & & & Zur Lösung verfhren wir, wie gelern: - versümmeln der inhomogenen Gleichung - lösen der homogenen Gleichung - ergänzen der Lösung durch eine priuläre Lösung llgemeine Lösung Die homogene Differenilgleichung & & wurde im Kpiel zur freien, gedämpfen Schwingung behndel. Für geringe Dämpfung Schwingfll ergb sich die Lösung, die wir hier für den homogenen Teil nuzen: hom Ae ϕ mi Zu besimmen bleib nun noch eine priuläre Lösung der inhomogenen Differenilgleichung, um die llgemeine Lösung zu gewinnen. Als Ausgngspun dfür nuzen wir eine eperimenelle Beobchung: Ds Sysem schwing demnch immer mi der Erregerfrequenz hier, die Eigenfrequenz des Sysems spiel eine Rolle! Dher wählen wir den Lösungsnsz in einer Form pr b Einfcher gesle sich die Rechnung jedoch, wenn wir einen Umweg über einen ompleen Ansz wählen. i i Wegen Re e wählen wir e. pr Dmi ergib sich der omplee Ansz: i & & e und mi dem Lösungsnsz e i e e i i i e i i Zur Anlyse des Ausdrucs unerscheide mn Fälle Klmmerusdruc gleich oder ungleich Null. Dr. Hempel / Mhemisch Grundlgen - Die Schwingungs-Differenilgleichung Seie 7

8 Dr. Hempel / Mhemisch Grundlgen - Die Schwingungs-Differenilgleichung Seie 8. Fll: i d.h. Releil und/oder Imginäreil i i erweiern ojugier omple muliplizieren i e i Re Unser Bemühen, eine weiere Vereinfchung uf ähnliche Weise, wie im Flle der freien ungedämpfen Schwingung miels des Addiionsheorems y y y vorzunehmen funionier, wenn wir einen For uslmmern. Ers dnn läss sich die für die Winelfunionen nowendige Bedingung: erfüllen. Re e i mi Re e pr i mi n Dmi ergib sich für die Lösungsgesmhei die llgemeine Lösung pr hom Für große Zeien sreb der Aneil der homogenen Lösung gegen Null. Ds bedeue: im sionären Zusnd wird ds Verhlen des Sysems durch die priuläre Lösung besimm. ϕ e A

9 . Fll: ; Resonnz Wegen des Anwchsens der Ampliude versuch mn einen priulären Ansz mi linerem Zuwchs: i e pr nch Einsezen folg: i ; i Re i e pr Dmi ergib sich die Lösungsgesmhei llgemeine Lösung: Hier sorg der priuläre Lösungsneil für die großen Ausschläge, die mn im Resonnzfll erwren solle wächs für. Dr. Hempel / Mhemisch Grundlgen - Die Schwingungs-Differenilgleichung Seie 9