Bericht zur Prüfung im Oktober 2006 über Finanzmathematik und Investmentmanagement

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1 Berich zur Prüfung im Okober 006 über Finnzmhemik und Invesmenmngemen Grundwissen Peer Albrech Mnnheim Am 07. Okober 006 wurde zum ersen Ml eine Prüfung im Fch Finnzmhemik und Invesmenmngemen nch PO III Grundwissen Teil A durchgeführ. Es wren 9 Teilnehmerinnen und Teilnehmer zu verzeichnen. Die Prüfung besnd us einer 90-minüigen Klusur, in der vier Aufgben gesell wurden, die sämlich zu berbeien wren. Um die Klusur zu besehen, mussen mindesens 40 von 90 möglichen Punken erziel werden. Aufgbe : 3 Punke Unersellen ie für den Bsisiel einer Terminposiion einen zweiperiodigen Binomilgierprozess mi rwer s 0 00 und einer prozenulen Aufwärsbewegung von 0% bzw. einer prozenulen Abwärsbewegung von 0% pro Periode. Der einperiodige Zinssz für eine sichere Kpilnlge bzw. Kpilufnhme berge 5%. Besimmen ie uf Bsis des Duplikionsprinzips den rbirgefreien Preis in 0 eines zweiperiodigen Forwrdkonrkes uf den Bsisiel. Welche Beziehung weisen der rbirgefreie Forwrdpreis und der rwer des Bsisiels uf? b Besimmen ie uf Bsis des Duplikionsprinzips den rbirgefreien Preis in 0 einer zweiperiodigen Cllopion uf den Bsisiel. Der Ausübungspreis der Opion sei 6. Lösungsskizze: Enwicklung Bsisiel: 00 u 0 d 90 uu 44 ud 08 dd 8 0 eie von 8

2 Für die Forwrdposiion gil ensprechend us ich des Invesors: 44 F F 0 8 F 0 0 Dbei is F 0 der zu besimmende rbirgefreie Forwrdpreis. Erwirb der Invesor in 0 Einheien des Bsisiels und y der sicheren Anlge, so gelen für die Duplikionsposiion in die folgenden Bedingungen: y 44 F y 08 F y 8 F 0. Aus beispielsweise resulier und somi. Aus resulier dnn y F chließlich muss in 0 gelen Lw of One Price 0 00 y 00 F Hierus resulier insgesm F Der Forwrdpreis ensprich somi dem um zwei Perioden ufgezinsen Ksspreis Cos of Crry-Formel. b Die ückflüsse der zweiperiodigen Cllopion mi rike 6 ergeben sich zu C uu, C ud, C dd 8, 0, 0. Der Opionspreis is im Unerschied zu Aufgbeneil rekursiv zu besimmen. eie von 8

3 Wir fiieren nun den Zusnd u zum Zeipunk. Die weiere Enwicklung des Prozesses ensprich dnn dem einperiodigen Binomilfll. Erwirb der Invesor in Einheien des Bsisiels und y der sicheren Anlge, so gelen für die Duplikionsposiion in dnn die folgenden Bedingungen: 44.05y y 0. Hierus folg ½ und y In ergib sich hierus C u 0 y D C ud, C dd 0, 0, muss uch C d 0 sein. Duplikion von C u, C d erforder in nloger Weise 0.05y y 0. Hierus folg und dmi Für y resulier hierus y In 0 resulier hierus schließlich C 0 00 y Der gesuche Wer der zweijährigen Cllopion is somi Aufgbe : Punke Gegeben sei der Prozess > 0 s ep{ m W }, 0 wobei W den ndrd-wienerprozess bezeichne. eie 3 von 8

4 Besimmen ie den Drifkoeffizienen, und den Diffusionskoeffizienen, dieses Prozesses. b Weisen ie uf der Grundlge von nch, dss die sochsische Differenilgleichung dln md dw eine äquivlene Drsellung der sochsischen Differenilgleichung d / d dw is, wenn m /. Lösungsskizze: Bezeichne W 0 und W Drif und Diffusion des ndrd-wienerprozesses. Es gil zunächs F, W mi F F, s 0 epm. Dmi gil weier F m s 0 epm mf F s 0 epm F F s 0 epm F. Nch Ios Lemm gil für Drif, und Diffusion, des Prozesses { }: F F F F W F W F F W / / m /F F Fzi:,,,. eie 4 von 8

5 b Gemäß is der Prozess s 0 ep m W durch die sochsische Differenilgleichungen d d dw bzw. äquivlen d / d dw chrkerisier. Es genüg somi nchzuweisen, dss { } uch die sochsische Differenilgleichung dln md dw erfüll. Es gil nun ln ln s 0 m W, d.h. es gil ln F, W mi F, ln s 0 m. Dmi gil weier: F m, F, F 0. Nch Ios Lemm gil somi für Drif ln, und Diffusion ln, des Prozesses {ln }: ln F F W F W/ m F, ln W wobei wieder W 0 und W Drif und Diffusion des ndrd-wienerprozesses bezeichnen. Dmi is der Nchweis geführ. eie 5 von 8

6 eie 6 von 8 Aufgbe 3: Punke Gegeben sei der Zwei-Werppier-Fll sowie die Präferenzfunkion V E Vr. Die Invesmengewiche seien nich uf den Werebereich [0,] beschränk. Besimmen ie einen llgemeinen Ausdruck für die Invesmengewiche des opimlen Porfolios! b Gegeben sei eine Puopion, die nch Blck/choles bewere is. Wie hoch is die ndrdbweichung der Änderung des Weres der Opionsposiion über ein Inervll der Länge h uner Anwendung der Del-Norml-Mehode? Hinweise: Ds Pu-Del uf Bsis der Blck/choles-Formel is gegeben durch ]. [ / d N P Die endie h des Bsisobjeks sei gegeben durch, ~ h h N h. Lösungsskizze: Im Zwei-Werppier-Fll gil:,, Cov Vr Vr Vr E E E wobei, : Cov. Dmi gil: ] [ Vr E V 4 0 d dv Insgesm folg dmi: 4.

7 b Del-Norml-Mehode: P h P h P. Nch Hinweis gil P / N [ d ]. Ferner gil: h h. Insgesm dmi: Folgerung: P ] h P N [ d h. P h P N [ d ] h. Aufgbe 4: 3 Punke Gegeben sei eine zweijährige Akiennleihe mi Kupon 50. Bei Fälligkei der Anleihe knn der Emien enweder den Nennwer in Höhe von 000 zurückzhlen oder 0 Fresenius- Akien ls Tilgungsleisung ndienen. Formlisieren ie den ückzhlungssrom dieser Akiennleihe us ich des Erwerbers der Anleihe Invesor. b Duplizieren ie diesen ückzhlungssrom uner Verwendung eines hor Pu. Wie luen Bsisobjek, Lufzei und Ausübungspreis des Pu? Welcher weiere Finnziel wird in diesem Flle zur Duplikion benöig? c Der Invesor besize bereis 0 Fresenius-Akien. Welche weieren Finnziel muss der Invesor erwerben, dmi seine Gesmposiion die gegebene Akiennleihe duplizier? Lösungsskizze: Der ückzhlungssrom us ich des Invesors is gegeben durch {50, 50 min000, 0 }, wobei den Wer der Freseniuskie zum Zeipunk bedeue. b Es gil min000, min0, min0, m0, 00 und dmi insgesm eie 7 von 8

8 {50, 50 min000, 0 } {50, 050} {0, 0 m0, 00 }. Der ückzhlungssrom wird dmi duplizier durch eine Anleihe mi Nennwer 000 und Kupon 50 sowie einer Europäischen hor Pu-Posiion, besehend us 0 Pus uf ds Bsisobjek mi zwei Jhren Lufzei und Ausübungspreis 00. c Es gil min000, 0 0 min 000 0, min00, m 00, 0. Für die Differenz zwischen ückzhlungssrom Akiennleihe und der besehenden Akienposiion gil somi {50, 50 min000, 0 } 0 {0, 0 } {50, m 00, 0} {0, 0 } {50, 50 0 m 00, 0} {50, 50} {0, 0 m 00, 0} {50, 0} {0, 50} {0, 0 m 00, 0}. Gesmposiion sez sich dher zusmmen us: Einem Zerobond mi Nennwer 50, fällig in b Einem Zerobond mi Nennwer 50, fällig in c Einer hor Cll-Posiion, besehend us 0 Clls uf ds Bsisobjek mi zwei Jhren Lufzei und Ausübungspreis 00. eie 8 von 8